志村多様体のintegral canonical modelの定義

志村多様体の INTEGRAL CANONICAL MODEL の定義
松本雄也
Abstract. 志村多様体の integral canonical model の定義（で要請
される extension property に用いられる試験スキームの範囲）がい
くつかあるのを調べたのでまとめました．ご意見ご指摘歓迎．
歴史については Milne の [Mil92, Addendum (on web version)] や Moonen の [Moo98, Comments 3.4, Remarks 3.9] を参照．
レベル n 次数 d2 偏極アーベル多様体のモジュライ Ag,d2 ,n を，Mumford
が GIT を用いて構成（[Mum65, Chapter 7]）
（以下使うのは d = 1 の場
合のみ）．
Langlands が，hyperspecial compact subgroup をもつ群の志村多様
体は smooth な整モデルをもつと予想 [Lan76, page 411?]1．
（また Langlands–Rapoport の予想 [LR87] というのもあり，整モデ
ルの Fp 値点が何になるかを述べているようだが，まだ読んでいない．
[Mil08]，[Mil05, Chapter 16] を参照？）
Milne [Mil92] が，整モデルの特徴づけとして次の extension property
を提唱．以下，O は reflex field（またはその有限次拡大体）L の整数環
の p の上での素点での局所化とする．
定義 0.1 ([Mil92, Definitions 2.1, 2.2, 2.5]). 志村多様体 Shp (G, X) の
O 上のモデルとは，G(Apf ) 作用の入った O スキーム S で，generic fiber
が（作用込みで）Shp (G, X)L と同型なもの．
モデルが smooth であるとは，ある有限レベル K0 のところで smooth
であり，かつそこより細かいレベル間の射がエタールであること．
S が extension property を満たすとは，任意の O 上の正則スキーム Y
であって YL が Y の中で稠密なものに対し，Hom(Y, S) → Hom(YL , SL )
が全単射である（つまり，generic fiber 間の射が全体の射に一意に延長
できる）ことをいう．
extension property を満たす smooth なモデルを integral canonical
model とよぶ．
注 0.2. 試験スキームとして S 自身をとることで，integral canonical
model の一意性が従う．
（存在するとは言っていない．
）
Date: 2015/07/02.
1published version を見ていない．web で見れる version の page 9?
1
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松本雄也
そしてこの定義の有用性の例として，Mumford の Ag,1,n の逆極限
limp̸ |n Ag,1,n がこの property を満たすことを “証明” する [Mil92, Theo←−
rem 2.10]．証明中で，
「Y が正則スキームで，Y の生成点はすべて YQ
上にあり，U ⊂ Y が開部分スキームで，codim(Y \ U ) ≥ 2 ならば，U
上のアーベルスキームは Y 上のそれに（一意に）延長される」という
Faltings–Chai の結果 [FC90, Corollary V.6.8] を用いている．
しかし Faltings–Chai のこの結果は間違っていた．Raynaud–Ogus–
Gabber による反例が de Jong–Oort [dJO97, Section 6] に（また Moonen
[Moo98, Comments 3.4] にも簡単に）載っている．ちなみにこの例（Y =
Spec W (Fp )[[x, y]]/(p−(xy)p−1 )，p は任意の素数）では分岐指数は p−1．
したがって上記の Milne の特徴づけも改めなければならない（少な
くとも，limp̸ |n Ag,1,n を integral canonical model と呼びたいのならば）．
←−
Moonen [Moo98, Definition 3.5] は，任意の正則スキームではなく，
次を extension property の試験スキームとして用いることを提唱．
定義 0.3. O スキーム Y が O 上の admissible test scheme とは，各点が
次を満たすアフィン近傍 Spec A をもつこと：部分代数の列 O ⊂ O′ ⊂
A0 ⊂ A であって，次を満たすものが存在する：
• O′ は O 上忠実平坦不分岐な DVR で，O′ /(π) は O/(π) 上分離
的．2
• A0 は O′ 上滑らか．
• Spec A → Spec A0 はプロエタール．
命題 0.4 (Moonen [Moo98, Corollary 3.8]). p > 2 ならば，admissible
test scheme Y に関しては，Faltings–Chai の上記の結果が成り立つ．
したがって，p > 2 ならば，limp̸ |n Ag,1,n ⊗ Z(p) は，
（この Moonen の
←−
意味での）extension property を満たし，ShKp (GSp2g,Q , Hg± ) の integral
canonical model である．
一方，Vasiu [Vas99] は試験スキームとして正則 healthy スキームを
提唱（[Vas08] も同様）．
定義 0.5 ([Vas99, Definition 3.2.1 2)]). 正規な（Spec Z 上の）スキー
ム Y が healthy とは，Y の任意の開部分スキーム U であって U ⊃ YQ
かつ codim(Y \ U ) ≥ 2 なるものに対し，U 上の任意のアーベルスキー
ムが Y 上のそれに延長できること．
Kisin [Kis10, 2.3.7] では正則かつ O 上 formally smooth なスキームを
試験スキームとして用いている．
これらの概念の間に次が成り立つ．
2こう書いてあるんだけど，
「不分岐」の定義って何だっけ？
志村多様体の INTEGRAL CANONICAL MODEL の定義
3
命題 0.6.
• Moonen の意味で admissible ⇒ healthy（上記の命題
0.4 に他ならない）．
• Moonen の意味で admissible ⇒ 正則かつ O 上 formally smooth
([Moo98, 3.5.2])．
• e < p − 1 ならば（つまり例えば O = Z(p) で p > 2 ならば），正
則かつ O 上 formally smooth ⇒ healthy ([Moo98, Lemma 3.6],
[Vas99, 3.2.17]3, [Vas04, Proposition 4.1])．
また e = 1 のときも（とくに，上の例で p = 2 のときも）こ
れが成立（[Vas04, Theorem 1.3]4）．
ちなみに [Mil05, Section 16] では，integral canonical model という語
は用いず，Ô 上の formally smooth スキームに対する extension property
を満たす smooth なモデルを canonical good reduction と呼んでいる．
ところで，p で self-dual でない格子 L に対する SO(L) や GSpin(L)
は hyperspecial 部分群をもたず5，それゆえ Langlands の言った範囲か
らは外れるが，Madapusi Pera [MP14, Theorem 7.4, Proposition 7.9]
はいくつかの場合については条件を緩めた次のようなモデルを構成し
ている．
(1) L が maximal かつ t ≤ 1 のとき（例えば L = L2d で ordp (d) = 1
のとき6），locally healthy7スキームに対する extension property を満た
すが smooth は要請しない（正則 locally healthy だけ要請する）整モデ
ルを構成．一意性は自明．
(2) L が non-maximal かつ disc(L) = Ľ/L が cyclic のとき（例えば
L = L2d で ordp (d) ≥ 2 のとき），正則かつ Z(p) 上 formally smooth なス
キームに対する extension property（“smooth extension property”）を
満たす，正則かつ formally smooth な整モデルを構成．一意性は自明．
（これを smooth integral canonical model と呼んでいるが，紛らわしい
のでは？）
謝辞. さまざまなご指摘をお寄せ下さいました越川皓永氏に感謝します．
3これの証明には誤りがある（[Vas08,
Appendix]）ので，より一般的な命題を証明
したこの次の文献を参照せよ．
4この定理のいま問題にしていない一部についての erratum が [VZ10] にある．
5たぶん……
6L は次数 2d の偏極つき K3 曲面の H 2 の primitive 部分に同型な格子で，⟨−2d⟩⊕
2d
U ⊕ U ⊕ E8 ⊕ E8 に同型．記号の説明は省略．
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Y が locally healthy とは，余次元 ≥ 2 の任意の点 y での完備局所環 ÔY,y が
quasi-healthy であること．局所環 (R, m) が quasi-healthy とは，正則で Z(p) 上忠実
平坦であり，Spec R \ {m} 上の任意のアーベルスキームが Spec R 上に延長できるこ
と．locally healthy ならば healthy．
（[VZ10, Definition 2], [MP14, Definition 2.12,
Remark 2.13]）
4
松本雄也
References
[dJO97] A. J. de Jong and F. Oort, On extending families of curves, J. Algebraic
Geom. 6 (1997), no. 3, 545–562.
[FC90] Gerd Faltings and Ching-Li Chai, Degeneration of abelian varieties,
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 22, Springer-Verlag, Berlin, 1990.
With an appendix by David Mumford.
[Kis10] Mark Kisin, Integral models for Shimura varieties of abelian type, J. Amer.
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Montreal, QC, 1992, pp. 151–253.
[Mil05] J. S. Milne, Introduction to Shimura varieties, Harmonic analysis, the
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[Mil08]
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[Moo98] Ben Moonen, Models of Shimura varieties in mixed characteristics, Galois representations in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996),
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[Mum65] David Mumford, Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik
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type, Asian J. Math. 3 (1999), no. 2, 401–518.
[Vas04]
, A purity theorem for abelian schemes, Michigan Math. J. 52
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, Integral canonical models of unitary Shimura varieties, Asian J.
Math. 12 (2008), no. 2, 151–176.
[VZ10] Adrian Vasiu and Thomas Zink, Purity results for p-divisible groups and
abelian schemes over regular bases of mixed characteristic, Doc. Math.
15 (2010), 571–599.
Graduate school of mathematical sciences, University of Tokyo
E-mail address: [email protected]

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