χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
樋口さぶろお
龍谷大学理工学部数理情報学科
確率統計☆演習 I L14(2015-01-17 Sat)
今日の目標
正規分布にしたがう確率変数の標本の不偏標本
分散の確率分布が説明できる
標本から母分散を区間推定できる
母分散に関する χ2 検定ができる
樋口さぶろお (数理情報学科)
2
L14 χ
分布・母分散の区間推定・χ
2
検定
http://hig3.net
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χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
なぜ χ2 分布
ここまで来たよ
1
χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
なぜ χ2 分布
母分散の区間推定
母分散の検定
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なぜ χ2 分布
ばらつき (分散) のばらつきを考えたい
ポテトフライ S の重さのばらつきって? →
√
不偏標本分散
母分散の点推定の精度って?
不偏標本分散ってどんな分布にしたがうの?
の点推定
母平均値
µ
母分散
σ2
の区間推定
標本平均値
X̄ = n1 [X1 + · · · ]
不偏標本分散
1
S 2 = n−1
[(X1 − X̄)2 + · · · ]
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X̄ −
√
< µ < X̄ +
√
? < σ 2 <?
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χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
なぜ χ2 分布
X が N(0, 12 ) にしたがうとき,
2X
X +3
X2
X12 + X22
..
.
X12 + X22 + · · · Xk2
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χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
なぜ χ2 分布
χ2 分布
χ2 分布
X1 , . . . , Xk : 標準正規分布 N(0, 12 ) に従う独立な確率変数とするとき,
確率変数 χ2 = X12 + · · · + Xk2 とおく.
χ2 は, 自由度 k の χ2 分布 χ2 (k) に従う.
きょう出てくる χ2 はひとかたまりの (正の) 変数と思おう.
言語
英語
ギリシャ語
小
x
χ
大
X
X
読み
エクス
カイ
χ2 (k) の確率密度関数
{
0
fk (x) =
k
1
Ck × x 2 −1 e 2 x
(x < 0)
(x ≥ 0)
Excel 2010 では chisq.dist, chisq.inv
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なぜ χ2 分布
母分散の区間推定
母分散の検定
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母分散の区間推定
不偏標本分散のしたがう分布
不偏標本分散のしたがう分布
確率変数 X が正規分布 N(µ, σ 2 ) に従うとする. サイズ n の標本の不偏
標本分散
1
S2 =
((X1 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2 )
n−1
を考えたとき,
(n − 1) ×
S2
σ2
は自由度 k = n − 1 の χ2 分布に従う.
証明略.
−µ でなく −X̄ であるために自由度は n−1 になる.
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母分散の区間推定
母分散の区間推定
χ2α (k) の定義 α = P (χ2 > χ2α (k)).
(
)
s2
2
2
P χ1−α/2 (n − 1) < (n − 1) 2 < χα/2 (n − 1) = 1 − α
σ
σ 2 について解いて, 標本の不偏標本分散が s2 のとき,
信頼係数 1 − αの信頼区間は
(n − 1)s2
(n − 1)s2
2
<
σ
<
χ2α/2 (n − 1)
χ21−α/2 (n − 1)
上の不等式が, 確率 1 − α で成立.
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母分散の区間推定
χ2 分布のグラフと数表
α = P (χ2 > χ2α (k)).
k\α
0.995
0.99
1 .04 3927 .03 1571
2
.01003
.02010
3
.07172
.1148
4
.2070
.2971
5
.4117
.5543
6
.6757
.8721
7
.9893
1.239
8
1.344
1.646
9
1.735
2.088
10
2.156
2.558
11
2.603
3.053
12
3.074
3.571
13
3.565
4.107
14
4.075
4.660
15
4.601
5.229
16
5.142
5.812
17
5.697
6.408
18
6.265
7.015
19
6.844
7.633
20
7.434
8.260
30
13.79
14.95
40
20.71
22.16
50
27.99
29.71
60
35.53
37.48
70
43.28
45.44
80
51.17
53.54
90
59.20
61.75
100
67.33
70.06
1, 5, 10
0.975
.03 9821
.05064
.2158
.4844
.8312
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
16.79
24.43
32.36
40.48
48.76
57.15
65.65
74.22
樋口さぶろお (数理情報学科)
0.95
.02 3932
.1026
.3518
.7107
1.145
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.12
10.85
18.49
26.51
34.76
43.19
51.74
60.39
69.13
77.93
0.9
.01579
.2107
.5844
1.064
1.610
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
9.312
10.09
10.86
11.65
12.44
20.60
29.05
37.69
46.46
55.33
64.28
73.29
82.36
0.1
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
10.64
12.02
13.36
14.68
15.99
17.28
18.55
19.81
21.06
22.31
23.54
24.77
25.99
27.20
28.41
40.26
51.81
63.17
74.40
85.53
96.58
107.6
118.5
0.05
3.841
5.991
7.815
9.488
11.07
12.59
14.07
15.51
16.92
18.31
19.68
21.03
22.36
23.68
25.00
26.30
27.59
28.87
30.14
31.41
43.77
55.76
67.50
79.08
90.53
101.9
113.1
124.3
0.025
5.024
7.378
9.348
11.14
12.83
14.45
16.01
17.53
19.02
20.48
21.92
23.34
24.74
26.12
27.49
28.85
30.19
31.53
32.85
34.17
46.98
59.34
71.42
83.30
95.02
106.6
118.1
129.6
0.01
6.635
9.210
11.34
13.28
15.09
16.81
18.48
20.09
21.67
23.21
24.72
26.22
27.69
29.14
30.58
32.00
33.41
34.81
36.19
37.57
50.89
63.69
76.15
88.38
100.4
112.3
124.1
135.8
0.005
7.879
10.60
12.84
14.86
16.75
18.55
20.28
21.95
23.59
25.19
26.76
28.30
29.82
31.32
32.80
34.27
35.72
37.16
38.58
40.00
53.67
66.77
79.49
91.95
104.2
116.3
128.3
140.2
L14 χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
n=
確率統計☆演習 I(2014)
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χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
母分散の区間推定
L14-Q1
Quiz(母分散の区間推定)
あるファーストフードチェーンのポテトフライ S の重さは正規分布に従
うという.
お店で 9 個のポテトフライ S サイズを買って重さを量ったところ, 下のよ
うだった (単位は g).
78, 78, 78, 78, 80, 82, 82, 82, 82,
母平均値と母分散を区間推定しよう.
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母分散の区間推定
L14 χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
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母分散の区間推定
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母分散の検定
ここまで来たよ
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なぜ χ2 分布
母分散の区間推定
母分散の検定
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χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
母分散の検定
母分散の χ2 検定 (母平均値未知)
母分散が σ02 かどうか判定したい!
正規分布 N(µ, σ12 ) にしたがう確率変数 X の, サイズ n の標本を考える.
µ, σ1 未知.
対立仮説 σ1 ̸= σ0 .
帰無仮説 σ1 = σ0 .
不偏標本分散を S 2 としたとき,
P (χ21−α/2 (n − 1) < (n − 1)
S2
< χ2α/2 (n − 1)) = 1 − α
σ02
.
この不等式の定める領域の外側が, 有意水準 α での棄却域.
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母分散の検定
L14-Q2
Quiz(母分散の検定)
あるファーストフードチェーンのポテトフライ S の重さは, 母分散
σ02 = 4g2 の分布であることが定められているという.
トレーニング中のアルバイトの人に, ポテトフライ S サイズを 9 個作って
もらったところ, 重さは下のようだった (単位は g).
76, 76, 76, 76, 80, 84, 84, 84, 84.
このアルバイトの作るポテトフライ S の重さの母分散 σ12 は, σ02 と異な
るか? アルバイトのほうの重さが正規分布にしたがうと仮定し, 有意水準
5% で, 母分散の χ2 検定で判定しよう.
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L14 χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
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母分散の検定
Quiz 略解+コメント:母分散の検定
略解
1
2
3
4
5
有意水準 α = 0.05 で,
母分散の χ2 検定を行う.
帰無仮説を, 「アルバイトの…重さの正規分布の母分散 σ12 は,
σ02 = 4 に等しい」とする
2
サイズ n の標本の不偏標本分散を S 2 とすると, 量 χ2 = (n − 1) σs 2
は, 自由度 n − 1 の χ2 分布に従う. この量を検定統計量として用
いる.
2
この標本に対して χ2 = (n − 1) σs 2 = (9 − 1) · 16
4 = 32.
0
0
6
χ2 分布表より, この値は, 棄却域 χ2 < χ21−α/2 (n − 1) = 2.180 or
χ2 > χ2α/2 (n − 1) = 17.53 に含まれるので帰無仮説を棄却する. 母分
散が異なると (有意水準 0.05 で) 結論する.
樋口さぶろお (数理情報学科)
L14 χ2 分布・母分散の区間推定・χ2 検定
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