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剰余項◆
目的
• 平均値 定理 導
• 1 次・2 次
。
展開 式
剰余項
性質
定理
示
。
1 平均値 定理
, 平均値 定理 証明
1.1 Rolle (
試
。
補題
定理 示
。
定理
)
定理
f (x)
区間 [a, b]
連続
a<c<b
微分可能
, (a, b)
′
f (c) = 0
存在
c
。
, f (a) = f (b)
。
【証明】
。
f (a) = f (b) = k
f (x)
大
k
, f (c) > k
f (x)
値
常
中
,
最大
。c
a<c<b
近傍
定理
,
k
値
取
点
′
点
c
∆f
≧0
∆x
, ∆x = c′ − c
, ∆x < 0
∆f
≦0
, f ′ (c) ≦ 0 導
。
様 , ∆x > 0
∆x
f (x) k 以下 値
取 場合 , 最小値 同様 考察 行
。
自明
。
c, 最大値
f (c)
。
′
, ∆f = f (c ) − f (c) ≦ 0
, f ′ (c) ≧ 0
, f ′ (c) = 0
良
導
言
。同
。
。 ■
1.2 平均値 定理
平均値 定理
f (x)
区 間 [a, b]
f (b) − f (a)
= f ′ (c)
b−a
【証明
連続
, (a, b)
c
存在
微分可能
。
, a < c < b
。
】
定理
雰囲気
似 定理
,
定理 主張
満
関数
考
。
【証明】
用
, g(a) = g(b) = 0
関数 g(x) = f (x) − Ax 定
。
f (b) − f (a)
。
満
A=
b−a
,
定理
a < c < b
g ′ (c) = 0
c 存在
。
g ′ (c) =
f (b) − f (a)
= f ′ (c)
c 存在,
定理 主張
f ′ (c) − A
,a<c<b
b−a
定数 A
示
。■
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展開
2
最後
剰余項
定理 示
定理 紹介
。
定理
2.1
定理
区間 [a, a + h]
f (x)
連続
次 式
,0<θ<1
, (a, a + h)
満
存在
θ
f (a + h) =
n−1
∑
k=0
n 階微分可能 (C n 級 関数)
。
:
hk f (k) (a) hn f (n) (a + θh)
+
k!
n!
(1)
【注意】
定理
証明
, 平均値 定理 証明 同様 行
可能
。
, 式 一見
,
, f (a + h) = f (a) + hf ′ (a + θ1 h)
h2
, f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + f ′′ (a + θ2 h)
2
• n=1
• n=2
書
主張
用
。)
表現
必要
便宜
多項式
,θ 含
hn f (n) (a + θh)
lim
=0
n→∞
n!
) 可能
。
,
0,
関数
。(後
項 剰余項
式
。
, 関数 f (x)
級数
変数 θ1 , θ2
, 剰余項 極限値
展開 (
収束半径
級数
別
議論
。
,n=1
時
,
式
平均値
定理
式
定理 平均値
定理
拡張
2.2 剰余項
最後
次 定理
f (x)
証明
。各自確
分
。
。
。
定理
区間 [a, a + h]
連続
, Taylor 展開
表
書換
定理
剰余項
, f ′′ (a) ̸= 0
, (a, a + h)
2 階微分可能 (C 2 級 関数)
。
f (a + h) = f (a) + hf ′ (a + θ1 h)
,
lim θ1 =
h→0
上記
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【証明】
先
【注意】
説明
f (a + h) = f (a) + hf ′ (a + θ1 h) = f (a) + hf ′ (a) +
。
第2式
第3式
引
h{f ′ (a + θ1 h) − f ′ (a)} −
, 両辺
h2
割
, 次 式 (3)
h2 ′′
f (a + θ2 h)
2
得
。
h2 ′′
f (a + θ2 h) = 0
2
(3)
, 整理
f ′ (a + θ1 h) − f ′ (a)
1
= f ′′ (a + θ2 h)
h
2
。
, 左辺 変形
1
f ′ (a + θ1 h) − f ′ (a)
= f ′′ (a + θ2 h)
θ1 h
2
, θ1 h → 0, θ2 h → 0
極限
( lim θ1 )f ′′ (a) =
h→0
式 (6)
両辺
f ′′ (a)
(4)
,
θ1
,h→0
(2)
割
気
1 ′′
f (a)
2
, 定理 主張 示
3 参考文献
[1] 高木貞治 (2010)『定本 解析概論』岩波書店。
(5)
,
(6)
。 ■
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