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v2.2 Nov.2015
回路の磁気エネルギー
キルヒホッフの電圧則より
V
1
Magnetic energy of circuit element
d
dB
 Ri  NS
 Ri  (1)
dt
dt

I
  Li  (2)
N
V
回路方程式をLを使って書き直すと
I
L
R
l
S
V
di
V  L  Ri  (3)
dt
電源が di増えたことで抵抗の発熱
した仕事蓄えられたエ（ジュール熱）
ネルギー
（面積Ldiに等しい）
式(1)の両辺に idt を掛けると
Vidt  NSidB  Ri dt  (4)
Li
面積
Lidi
アンペアの法則より
di
I

i H
C
1
1
Wm   Lidi  LI 2   I [J]  (5)
0
2
2
I
キルヒホッフの電流則より
Electric energy of circuit element
I  I C  I R  (1)
dQ
v
, I R   Gv, Q  Cv  (2)
dt
R
を式 (1) に代入すると
I
I
V
d
I
S 
D
dQ
dv v
 Gv  C 
 (3)
dt
dt R
Q
電源が
dv 上がったことで
抵抗の発熱
した仕事蓄えられたエネルギー（ジュール熱）
（面積 Cvdv に等しい）
コイルに加える電圧 v を 0 → V に増やした
とき，コンデンサ全体の蓄積エネルギーは
We  
V
0
1
1
Cvdv  CV 2  QV
2
2
C
[J]  (5)
傾き C
Cv
0
Q  Cv
面積
Cvdv
dv
V v
H
誘電体の電気エネルギー
Electric energy of
キルヒホッフの電流則より
式(3)の右辺第1項目は
R
dWS  vIdt  (2)
v2
dt  (3)
R
電源が dQ 増えたこと
した仕事で蓄えられたエ
dWs
ネルギー dWe
ガウスの法則より


C D  d s  Q D Q
DS  Q, E  
 S
抵抗の発熱
（ジュール熱）
dWj
DQ
D
dD
Qd
Q  Ed SD
S
 SdE D  (4)
we  E D
dwe  EdD [J/m3 ]  (5)
電荷を 0 → Q に増やしたとき，即ち，
電束密度が 0 → D に増えたとき
D
D
we   dwe   EdD  (6)
0
0
通常の誘電体のようにED特性に線形性
がある場合は
1
1
ED   E 2
2
2
1D
1 D2
D

2
2 
we 
コンデンサの電位差vは
 Qd
d 
v   E  d l 
0
S
dielectric material
従って，誘電体の全体積 Sd [m3] に対し
て単位体積あたりの蓄積エネルギーは
式(1) の両辺に vdt を掛けると
vIdt  vdQ 
4
We  vQ 
電源が微小時間 dt の間にする仕事は
コンデンサ
の抵抗分
両辺に vdt を掛けると
v2
vIdt  Cvdv  dt  (4)
R
V
0
1
1
1
HB  H (  H )   H 2
2
2
2
2
1B
1B

B
[J/m3 ]  (8)
2
2 
H i
dQ v
I

 (1)
dt R
等価回路
ここで，
0
wm 
B
dB
Hl  Ni  (6)
3
B
もしも，反磁性や常磁性のようにBH曲線
に線形性がある場合は
B 


H  d l  Ni  (5)
B
wm   dwm   HdB  (8)
抵抗の発熱
（ジュール熱）
dWj
コイル内の磁界は
回路の電気エネルギー
IC 
磁束密度を 0 → B に増やしたとき，単位
体積あたりの蓄積エネルギーは
両辺に idt を掛けると
  Li
dWm  SHldB  SlHdB [J]  (6)
dwm  HdB [J/m3 ]  (7)
V (idt )  NSidB  Ri 2 dt  (3)
dB 増えたこと
電源が
した仕事で蓄えられた
エネルギー
dWs
dWm
magnetic material
式(6)を式(4)右辺第1項に代入すると
磁性体の全体積 Sl [m3] に対して，単位
体積あたりの蓄積エネルギーは
2
傾き L
コイルに流す電流 i を 0 → I に増やしたとき，
コイル全体の蓄積エネルギーは
d
dB
 Ri  NS
 Ri  (1)
dt
dt
dWS  Vidt  (2)
B
Vidt  Lidi  Ri 2 dt  (4)
キルヒホッフの電圧則より
電源が微小時間 dt の間にする仕事は
コイルの
抵抗分
両辺にidtを掛けると
磁性体の磁気エネルギー
Magnetic energy of
V
等価回路
線形コイル（常磁性，反磁性）の場合
2
E
Ev
[J/m3 ]  (7)
強磁性体の磁気エネルギー
5
電磁気エネルギーのまとめ
Summary of electromagnetic energy
【例題9.3】図のようなヒステリシス特性を有する強磁性体に交流磁界を加えたとき，
これを磁化するのに要する1周期あたりのエネルギーを求めよ。
Magnetic energy
保磁力
Br
Hc
H [A/ m]
永久磁石向き
（硬鋼 : hard）
非線形磁性体は借りたエネルギーを返さない捻くれ者
線形磁性体は借りたエネルギーを返す素直者
磁気エネルギー
C
I
Wm   Lidi 
0
1 2
LI
2
L
1
  I [J]
2


1
1
1
1
D wm  HB   H 2
ED   E 2
B
2
2
2
2
1D
1 D2
1B
1 B2
D
[J/m3 ]

B
[J/m3 ]

2
2
2   [N/m ]
2
2   [N/m 2 ]
 [Pa]
 [Pa]
we 
※ 単位体積あたりのエネルギー [J/m3] は [J] = [N・m] の関係より、
圧力（応力） [N/m2] = [Pa] に等しい。
安達，大貫，``電気磁気学第2版,’’ p.151, 森北出版, 2002
磁気損失の種類
V
1
We   Cvdv  CV 2
0
2
1
 QV [J]
2
誘電体・磁性体
残留磁気
電磁石向き
（軟鉄 : soft）
電気エネルギー
of ferromagnetic
material
回路素子
B [T]
6
7
8
磁気エネルギーと力 Magnetic energy
Iron loss, core loss
電磁石
磁性損失（磁気損失，鉄損）
I
2
S [m ]
ヒステリシス損（磁気履歴による）
z
y
渦電流損（ジュール熱による）
x
変圧器の鉄芯などのように，交流磁束が流れている
磁性体中でエネルギーが失われる現象。
磁性体の磁気履歴によるヒステリシス損失と，渦電流
のジュール熱による渦電流損失とに分けられる。
いずれも熱エネルギーとして失われ，その磁性体の
温度は上昇する。
and force
所で，アンペアの法則より
2
l2
l1
1


C
l1
0
x エア
ギャップ
鉄片


H  d l  NI
l2
x
H1dl   H 2 dl  2  H 0 dl  NI
0
0
H1l1  H 2l2  2 H 0 x  NI
B1
1
l1 
B2
2
l2 
2 B0
0
x  NI
ギャップの磁気エネルギーは単位体積あ磁束密度の連続性より B = B = B = B
1
2
0
たり、次式となる。これは圧力（応力また


l
l
2
x
は単位面積あたりの力）の単位に等しい。
1
2
1 B2
wm 
[J/m3 ]  [N/m 2 ]  [Pa]
2 0
吸引力はこれに断面積 2S
Fm 
[m2]
1 B2
B2
2S 
S [N]
2 0
0
を掛けて
B 

  NI
 1  2 0 
従って，磁束密度は
B
l1
1

NI
l2
2

2x
0

0 NI
2x
μ1, μ2 >>μ0
のときの近似

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