Orthogonal decompositions of integral trace forms of certain

Orthogonal decompositions of integral trace forms of certain algebraic
number fields via Bezoutians
大竹秀一 (Shuichi OTAKE)・早稲田大学基幹理工学部
概要
有限次代数体 K やその整数環上には, 有理数体 Q 上の trace 写像が定める二次形式が付随しており, K の trace
form 或いは integral trace form と呼ばれる. 本稿では, K が円分体や, ある種の trinomial から定まる場合に, そ
の integral trace form の有理整数環 Z 上の直交分解や, p 進整数環 Zp 上の標準形に関する結果を紹介する.
1 Introduction
K を有限次代数体とし, K の Q 上の最小多項式を f (x) とする; K ≃ Q[x]/(f (x)). このとき, 写像
TrK/Q : K × K → Q ; (α, β) → traceK/Q (αβ)
は K 上の symmetric Q-bilinear form を定めるが, これを K あるいは f の trace form と呼び, symmetric Q-bilinear
form space (K, TrK/Q ) を TrK または Trf と表すことにする. また, TrK/Q を K の整数環 OK に制限すると, トレー
スの性質から値は有理整数環 Z に取ることが分かり, OK 上の symmetric Z-bilinear form trK/Q が定まる. これを K
あるいは f の integral trace form と呼び, symmetric Z-bilinear form module (OK , trK/Q ) を trK または trf と表す.
以下, trf の Zp への係数拡大を trK,p または trf,p と表す.
一般に, trace form あるいは integral trace form の本格的な研究は, O. Taussky [?] から始まったとされており, そ
の後 Conner-Perlis [?] や Serre [?] 等により, 興味深い問題の提出や, Galois cohomology との関連から Galois の逆問
題への応用等がなされ, 現在までの研究の道筋がつけられた. 数多くある (integral) trace form に関連する話題のうち,
本稿で扱う問題は次のものである.
Problem 1.1 symmetric Q (Z)-bilinear form のうち, (integral) trace form から定まるものを全て決定せよ. または,
全ての (integral) trace form を具体的に計算せよ.
本稿の目的は, [?], [?] に基づき, 円分体の integral trace form と, ある種の trinomial から定まる integral trace
form に関し, その Z 上の直交分解と, p 進整数環 Zp 上の標準形の具体的な明示式を紹介をすることである.
最後に記号の準備をしておく ([?] 参照). R を単位的可換環とし, (X1 , β1 ), (X2 , β2 ) を symmetric R-bilinear form
module とする. (X1 , β1 ) と (X2 , β2 ) が symmetric R-bilinear form module として同型となるとき, (X1 , β1 ) ≃R
(X2 , β2 ) (または単に X1 ≃R X2 ) と表し, (X1 , β1 ) と (X2 , β2 ) の (symmetric R-bilinear form module としての) 直
和を (X1 , β1 ) ⊕ (X2 , β2 ) (または単に X1 ⊕ X2 ) と表す. 特に, 0 以上の整数 m ∈ Z≥0 に対し, m × (X1 , β1 ) (または
単に m × X1 ) で, (X1 , β1 ) の m 個の直和を表す;


⊕ · · · ⊕ X1
X
}
| 1 {z
m × (X1 , β1 ) = m × X1 :=
m

⟨0⟩
m ≥ 1,
m = 0.
次に, (X1 , β1 ) と (X2 , β2 ) のテンソル積を (X1 , β1 ) ⊗ (X2 , β2 ) (または単に X1 ⊗ X2 ) と表す. また, R 係数の n × n
対称行列 M に対し, M が定める Rn 上の symmetric R-bilinear form module を ⟨M ⟩R と表すものとし, 記号の簡単
のため, ⟨a⟩ X1 := ⟨[a]⟩ ⊗ X1 (∀a ∈ R) とおく. 特に, G, H で以下の空間を表す;
⟨[
G=
2 1
1 2
]⟩
⟨[
, H=
R
0 1
1 0
]⟩
.
R
2 Relationships between (integral) trace forms and Bezoutian forms
f1 (x), f2 (x) ∈ R[x] を R 上の多項式とし, n ≥ max{deg f1 , deg f2 } を満たす整数 n に対し,
n
∑
f1 (x)f2 (y) − f1 (y)f2 (x)
=
αij xi−1 y j−1 ∈ R[x, y],
x−y
i,j=1
Bn (f1 , f2 ) :=
Mn (f1 , f2 ) := [αij ]1≤i,j≤n
とおく. このとき, Mn (f1 , f2 ) は R 係数の対称行列となり, Rn 上の symmetric R-bilinear form を定める. この
symmetric R-bilinear form を f1 と f2 の Bezoutian form (Bezout の二次形式) と呼ぶ. 以後, Mn (f1 ) := Mn (f1 , f1′ )
(f1′ は f1 の形式的な微分) と表す. Bezoutian form (Bezout の二次形式) に関しては, 高木 [?], Krein-Naimark [?] に
優れた解説がある. 本稿で述べる結果は全て, 次の定理により (integral) trace form を Bezoutian form と見ることに
より得られる結果であることを注意しておく.
Theorem 2.1 K = Q(θ) を n 次の代数体とし, θ の Q 上の最小多項式を f (x) とおく. このとき, TrK ≃Q ⟨Mn (f )⟩Q .
ここで, θ を適当に整数倍して f (x) ∈ Z[x] としておくと, trK ≃Z ⟨Mn (f )⟩Z となるための必要十分条件は, 1, θ, · · · ,
θn−1 が K の整基底をなすことである. 特に, この条件が成り立つときは, trK,p ≃Zp ⟨Mn (f )⟩Zp である.
3 Main results for cyclotomic fields
以後, 1 の原始 n 乗根 ζn に対し, trn := trQ(ζn ) とおく. 一般性を失うことなく, n が偶数ならば 4 で割れていると仮
定する. また, I (r) で集合 {0, 1} の r 個の直積を, i(r) = (i1 , i2 , · · · , ir ) で I (r) の任意の元を表すものとする.
Theorem 3.1 n を 3 以上の整数とし, その素因数分解を n = 2e pe11 pe22 · · · perr とし, n′ = pe11 pe22 · · · perr とおく.
(i) e = 0 のとき,
trn ≃Z
⊕
⟨(−1)
∑r
m=1 im
i(r) ∈I (r)
ここで,
(r)
Xn(i
)
= ⟨1⟩ ⊕
r
(∏
n
r
∏
(r)
pimm ⟩Xn(i
)
.
m=1
)
pemm −1 (pm − 2)im +1 − 1 /2 × H.
m=1
(ii) e ≥ 2 のとき,
{
(
)
⟨2e−1 ⟩ ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ ⊕ (2e−2 − 1) × H ,
n′ = 1,
∑r
trn ≃Z ⊕
(r)
∏
(i )
r
im
m=1 im (n/2)
, n′ > 1.
i(r) ∈I (r) ⟨(−1)
m=1 pm ⟩Yn
ここで,
(r)
Yn(i
)
r
∏
(
)
= ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ ⊕ 2e−2
pemm −1 (pm − 2)im +1 − 1 ×H.
m=1
次に, trn,p := trQ(ζn ),p の標準形に関する結果を述べる. そのため, 以下では φ(∗) で Euler’s totient function を,
Dn で円分体 Q(ζn ) の判別式をそれぞれ表すものとする. また, p を奇素数とする時, 任意の p 進単数 a ∈ Z×
p に対し,
{
2
1,
a ∈ (Z×
p) ,
ua,p :=
× 2
up , a ∈
/ (Zp )
とおく. ここで, up は p を法として平方非剰余となる正の整数のうち, 最小のものを表す. 他方, p = 2 の時は, ua,2
(a ∈ Z×
2 ) を次のように定義する;
ua,2

1



3
=

5



7
2
a ∈ (Z×
2) ,
× 2
a ∈ 3(Z2 ) ,
2
a ∈ 5(Z×
2) ,
× 2
a ∈ 7(Z2 ) .
Theorem 3.2 p を奇素数とする. また, n を 3 以上の整数とし, n = pe n′ (e ≥ 0, p ∤ n′ ) と表す.
(1) e = 0 のとき,
trn,p ≃Zp (φ(n) − 1) × ⟨1⟩ ⊕ ⟨uDn ,p ⟩.
(2) e ≥ 1 のとき,
(
)
(
)
trn,p ≃Zp ⟨pe−1 ⟩ (n1 × ⟨1⟩) ⊕ ⟨ua1 ,p ⟩ ⊕⟨pe ⟩ (n2 × ⟨1⟩) ⊕ ⟨ua2 ,p ⟩ .
ここで,
{
a1 =
e−1
(−1)1+(p
Dn′ ,
−1)/2
{
e−1
(−1)(p (p−2)−1)/2 , n′ = 1,
a2 =
Dn ′ ,
n′ > 1
n′ = 1,
n′ > 1,
,
かつ
n1 = φ(n′ )pe−1 − 1,
n2 = φ(n′ )pe−1 (p − 2) − 1.
Theorem 3.3 n を 3 以上の整数とし, その素因数分解を n = 2e pe11 pe22 · · · perr とし, n′ = pe11 pe22 · · · perr とおく.
(1) e = 0 のとき,
trn,2 ≃Z2
( ⊕
⟨(−1)
∑r
m=1 im
n
i(r) ∈I (r)
(2) e ≥ 2 のとき,
trn,2 ≃Z2
r
∏
) (
)
pimm ⟩ ⊕ (φ(n) − 2r )/2 × H .
m=1
{
(
)
⟨2e−1 ⟩ ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ ⊕ (2e−2 − 1) × H ,
n′ = 1,
(
)
e−1
r+1
⟨2 ⟩ Zn ⊕ ⟨−1⟩Zn ⊕ (φ(n) − 2 )/2 × H , n′ > 1.
ここで,
⊕
Zn =
∑r
⟨(−1)
m=1 im
n′
i(r) ∈I (r)
r
∏
pimm ⟩.
m=1
4 Main results for certain trinomial extensions
Pn (x) := xn + nklxs + l を以下の性質 (P.1), (P.2), (P.3) を満たす trinomial とする;
(P.1) 1 ≤ s < n かつ gcd(n, s) = 1.
(P.2) k, l ∈ Z かつ n の素因数は l の素因数でもある.
(P.3) l と d := 1 + (−1)n−1 (n − s)n−s k n (ls)s は平方因子を持たない.
また, n(s) := 2s + 1 とおき, s′ を次のように定義する;
{
s
n(s) ≤ n,
s :=
n − s n(s) > n.
′
ここで, s′ ≥ 2 ならば, ユークリッドの互除法から
r0 = n, r1 = s′ ,
rm−1 = qm−1 rm + rm+1 (0 < rm+1 < rm , 1 ≤ m ≤ ω), rω = qω rω+1 (rω+1 = 1)
を満たす正整数 qm と rm が取れる. s′ = 1 のときは, q0 = n − 1, r2 = 1 とおくこととする.
Theorem 4.1 n を上記の条件を満たす任意の整数とし, n が奇数ならば,
{
{
s{−(n − s)k}q0 −1 kl
n(s) ≤ n,
(n − s)k
a0 =
b
=
0
s′ {−(n − s′ )kl}q0 −1 k n(s) > n,
(n − s′ )kl
am = (−am−1 )qm bm−1 , bm = am−1 (1 ≤ m ≤ ω − 1),


s′ = 1,
a0
d0 = −aω−2 bω−2 s′ ≥ 2, rω−1 = rω + 1, rω : odd,


aω−1
それ以外
n(s) ≤ n,
n(s) > n,
とおく. このとき,
ここで,
(
)
trPn ≃Z ⟨n⟩ ⊕ ⟨−nl⟩ X0 ⊕ n0 × H .
 [
⟨ d

0

X0 =
1


⟨d⟩
1
(1 − d)/d0
]
⟩
n : odd,
{
n0 =
n : even,
(n − 3)/2 n : odd,
(n − 2)/2 n : even.
次に, trPn を Zp まで係数拡大して得られる trPn ,p の標準形に関する結果を述べる. 以下, 任意の r ∈ Zp に対し,
vp (r) で r の p 進付値を表すものとする. また, 多項式 f (x) ∈ Q[x] に対し, d(f ) で f の判別式を表すものとする.
Theorem 4.2 p を奇素数とし, n = pεn np , d = pεd dp , l = pεl lp (εn = vp (n), εd = vp (d), εl = vp (l)) と表す.
(1) p ∤ l かつ p ∤ d のとき,
trPn ,p ≃Zp (n − 1) × ⟨1⟩ ⊕ ⟨ud(Pn ),p ⟩.
(2) p ∤ l かつ p | d のとき,
(
)
trPn ,p ≃Zp ⟨p⟩⟨ud′0 ,p ⟩ ⊕ (n − 2) × ⟨1⟩ ⊕ ⟨ud′1 ,p ⟩ .
ここで,
{
d′0
(3) p | l のとき,
=
ndp l/d0
−ndp l
n : odd,
d′1 =
n : even,
{
(−1)(n−1)/2 nn−1 d0 ln−2
(−1)(n−2)/2 nn−1 ln−2
n : odd,
n : even.
(
)
trPn ,p ≃Zp ⟨pεn ⟩⟨unp ,p ⟩ ⊕ ⟨pεn +1 ⟩ (n − 2) × ⟨1⟩ ⊕ ⟨ud′2 ,p ⟩ .
ここで,
{
d′2
=
(−1)(n−1)/2 nn−1
dlpn−1
p
n/2 n−1 n−1
(−1) np dlp
n : odd,
n : even.
Theorem 4.3 n = 2εn n2 , l = 2εl l2 (εn = v2 (n), εl = v2 (l)) とおく.
(1) 2 ∤ n のとき,
trPn ,2 ≃Z2
(2) 2 | n のとき,
{
⟨un,2 ⟩ ⊕ G ⊕ (n − 3)/2 × H
(
)
⟨un,2 ⟩ ⊕ ⟨2εl ⟩ (n − 1)/2 × H
2 ∤ kl, n = 3 or 2 ∤ kl, s′ = 2,
それ以外.
(
)
trPn ,2 ≃Z2 ⟨2εn ⟩⟨un2 ,2 ⟩ ⊕ ⟨2εn +1 ⟩ ⟨u−n2 dl2 ,2 ⟩ ⊕ (n − 2)/2 × H .
参考文献
[1] P. E. Conner; R. Perlis. A survey of trace forms of algebraic number fields. Series in Pure Mathematics, 2.
World Scientific Publishing Co., Singapore, 1984.
[2] M. G. Krein; M. A. Naimark. The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of the separation
of the roots of algebraic equations. Linear and Multilinear Algebra 10 (1981), no. 4, 265-308.
[3] J. Milnor; D. Husemoller. Symmetric bilinear forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete,
Band 73. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.
[4] S. Otake. Orthogonal decompositions of integral trace forms of cyclotomic fields and their canonical forms
over the ring of p-adic integers. J. Number Theory 134 (2014), 258-279.
[5] S. Otake. A Bezoutian approach to orthogonal decompositions of trace forms or integral trace forms of some
classical polynomials. Linear Algebra Appl. 471 (2015), 291-319.
[6] T. Takagi, daisuugakukougi kaiteishimban. (Japanese) Kyouritsushuppan (1965).
[7] O. Taussky. The discriminant matrices of an algebraic number field. J. London Math. Soc. 43 (1968), 152-154.
[8] J. P. Serre. L’invariant de Witt de la forme Tr(x2 ). Comment. Math. Helv. 59 (1984), no. 4, 651-676.

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