n) が (1) - SUUGAKU.JP

年番号
1
正の実数 pi ; qi (i = 1; 2; Ý; n) が
n
P
i=1
pi =
n
P
i=1
qi = 1 を満たすとき，
(1) 不等式 log x 5 x ¡ 1 が成り立つことを証明しなさい．
n
n
P
P
(2) 不等式
pi log pi =
pi log qi が成り立つことを証明しなさい．
(3) F =
i=1
i=1
pi log pi の最小値を求めなさい．
(4) 正の実数 ai (i = 1; 2; Ý; n) に対して，G =
n
P
i=1
ai log ai の最小値を求
めなさい．
（大分大学 2015 ）
2
実数の定数（パラメータ）k に対して，放物線 y = x2 と直線 y = x + k，
x = ¡1，x = 2 で囲まれた図形の面積の最小値と，そのときの定数 k を求
次の問いに答えなさい．
i=1
n
P
3
氏名
曲線 y = x2 の上を動く点 P(x; y) がある．この動点の速度ベクトルの大
きさが一定 C のとき，次の問いに答えよ．ただし，動点 P(x; y) は時刻 t
に対して x が増加するように動くとする．
¡
!
dy
dx
< を x で表せ．
(1) P(x; y) の速度ベクトル v = $
;
dt
dt
¡
!
d2 y
d2 x
< を x で表せ．
;
(2) P(x; y) の加速度ベクトル ® = $
dt2
dt2
(3) 半径 r の円 x2 + (y ¡ r)2 = r2 上を速度ベクトルの大きさが一定 C で動く
点 Q があるとき，この加速度ベクトルの大きさを求めよ．
(4) 動点 P と Q の原点 (0; 0) での加速度ベクトルの大きさが等しくなるとき
の半径 r を求めよ．
（大分大学 2013 ）
めよ．
（大分大学 2011 ）
4
5
微分可能な関数 y = f(x) が次の方程式を満たすとする．
an f
(n)
(x) + an¡1 f
(n¡1)
(x) + Ý + a1 f
(1)
a; b は b = a > 0 をみたす定数とする．x; y が x = 0; y = 0; x3 +y3 = 1
をみたしながら変化するとき，a2 x + b2 y のとり得る値の範囲を求めよ．
(x) + a0 f(x) = 0
(A)
（大分大学 2008 ）
ここに n は自然数，ai (i = 0; 1; 2; Ý; n) は実数の定数で，an Ë 0 であ
る．また，y(k) = f(k) (x) は f(x) の k 次導関数で y(0) = f(0) (x) = f(x)
とする．(A) のような方程式を第 n 階微分方程式といい，(A) に対して t の n
次方程式
an tn + an¡1 tn¡1 + Ý + a1 t + a0 = 0
(B)
を (A) の特性方程式という．このとき次の問いに答えよ．
(1) 特性方程式 (B) の解が実数 r であるとき，関数 y = erx が方程式 (A) を満
6
n = 2 を自然数とする．
(1) 関数 f(x) = nx ¡ 1 + (1 ¡ x)n の極値を求めよ．
たすことを証明せよ．
(2) n 次方程式 (B) が実数 r を k 重解 (注) にもつとき，次の t に関する方程式は
r を k ¡ 1 重解にもつことを証明せよ．ただし，k = 2; 3; Ý とする．
nan tn¡1 + (n ¡ 1)an¡1 tn¡2 + Ý + 2a2 t + a1 = 0
(2) 次の各不等式を示せ．
(a) (1 ¡ x2 )ex 5 1 + x 5 ex
x2 x
x n
; 5
e
(b) 0 5 ex ¡ #1 +
n
n
(x = ¡1)
(x = ¡n)
（大分大学 2007 ）
(注)
t の m 次方程式が適当な多項式 Q(t) を用いて (t ¡
r)k Q(t)
= 0と
なるとき，t = r をこの方程式の k 重解と定義する．ただし，k = 1; 2; Ý
とする．
(3) 実数の定数 r に対して x の関数を yi = xi erx (i = 0; 1; 2; Ý) と
(n)
する．このとき，yj
(n¡1)
を x; yj¡1
(n)
および yj¡1 を用いて表せ．ただし，
j = 1; 2; 3; Ý とする．
(4) 実数 r が n 次方程式 (B) の k 重解であるとき yi
= xi erx (i =
0; 1; 2; Ý; k ¡ 1) が微分方程式 (A) を満たすことを証明せよ．ただし，k
は自然数とする．

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