付録１前線形成関数の導出と解説＊・前線形成関数の各項の計算式について式(2.2.2)の前線形成関数の各項の計算式を以下に導出する。 d d 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝜃 ଶ ඨ F ≡ ห∇ 𝜃ห = ൬ ൰ + ൬ ൰ dt ௣ dt 𝜕𝑥 𝜕𝑦 1 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝜃 ଶ = ቊ൬ ൰ + ൬ ൰ ቋ 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝜃 ଶ = ቊ൬ ൰ + ൬ ൰ ቋ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ି ି ଵ ଶ ଵ ଶ ൬ d 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝜃 ଶ ቊ൬ ൰ + ൬ ൰ ቋ dt 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝜃d 𝜕𝜃 𝜕𝜃d 𝜕𝜃 + ൰ 𝜕𝑥dt 𝜕𝑥 𝜕𝑦dt 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝜃 ൤൬ + 𝑢 + 𝑣 + 𝜔 ൰ ൨ + ൤൬ + 𝑢 + 𝑣 + 𝜔 ൰ ൨ൠ 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝜃𝜕𝜕𝜃 𝜕𝜃𝜕𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜕𝜃 𝜕𝜃𝜕𝜕𝜃 𝜕𝜃𝜕 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕 𝜕𝜃 ିଵ 𝜕 = ห∇௣ 𝜃ห ൬ + +𝑢 +𝑢 +𝑣 +𝑣 𝜕𝑥𝜕𝑡𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑡𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑦 𝜕𝜃𝜕 𝜕𝜃 𝜕𝜃𝜕 𝜕𝜃 +𝜔 +𝜔 ൰ 𝜕𝑥𝜕𝑝𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑝𝜕𝑦 ିଵ = ห∇௣ 𝜃ห ப஘ ここで、 ப୲ ିଵ F = ห∇௣ 𝜃ห ൜ = ୢ஘ ୢ୲ డ஘ డ஘ డ஘ −𝑢 −𝑣 −𝜔 డ௫ డ௬ డ௣ を使う。 𝜕𝜃𝜕 𝑑𝜃 𝜕θ 𝜕θ 𝜕θ 𝜕𝜃 𝜕 𝑑𝜃 𝜕θ 𝜕θ 𝜕θ ൬ −𝑢 −𝑣 −𝜔 ൰+ ൬ −𝑢 −𝑣 −𝜔 ൰ 𝜕𝑥𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑝 𝜕𝑦𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑝 𝜕𝜃𝜕𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜕𝜃 +𝑢 +𝑢 +𝑣 +𝑣 +𝜔 𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑝𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝜕𝜃 +𝜔 ൨ 𝜕𝑦𝜕𝑝𝜕𝑦 ൤ 𝜕𝜃 𝜕𝑑𝜃 𝜕𝜃𝜕𝑑𝜃 𝜕𝑢 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝑣𝜕𝜃𝜕θ 𝜕𝜔𝜕𝜃𝜕θ 𝜕𝑢𝜕θ 𝜕𝜃 + − ൬ ൰ − − − 𝜕𝑥𝜕𝑥𝑑𝑡 𝜕𝑦𝜕𝑡𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑝 𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕θ ଶ 𝜕𝜔𝜕𝜃𝜕θ − ൬ ൰ − ቉ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑝 𝜕𝜃𝜕 𝑑𝜃 𝜕𝜃𝜕 𝑑𝜃 𝜕𝑢 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝑣 𝜕θ ଶ 𝜕𝜃𝜕θ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ିଵ = ห∇௣ 𝜃ห ቊ൤ ൬ ൰+ ൬ ൰൨ − ቈ ൬ ൰ + ൬ ൰ ቉−൤ ൬ + ൰൨ 𝜕𝑥𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕θ 𝜕𝜔𝜕𝜃 𝜕𝜔𝜕𝜃 −൤ ൬ + ൰൨ቋ 𝜕𝑝 𝜕𝑥𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑦 ିଵ = ห∇௣ 𝜃ห ቈ 各項について、次の通り Fc（合流項）、Fs（シアー項）、Ft（立ち上がり項）、Fd（非断熱項）を定義すると、F は式(2.2.2)のとおり、これらの和と等しくなる。 ିଵ 𝐹𝑐= −ห∇௣ 𝜃ห 𝜕𝑢 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝑣 𝜕θ ଶ ቈ ൬ ൰ + ൬ ൰ ቉ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 *黒良龍太（気象庁予報部予報課） -141- 𝜕𝜃𝜕θ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ൬ + ൰൨ 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 θ 𝜕𝜔𝜕𝜃 𝜕𝜔𝜕𝜃 ିଵ 𝜕 𝐹𝑡= −ห∇௣ 𝜃ห ൤ ൬ + ൰൨ 𝜕𝑝 𝜕𝑥𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑦 𝜃𝜕 𝑑𝜃 𝜕𝜃𝜕 𝑑𝜃 ିଵ 𝜕 𝐹𝑑= ห∇௣ 𝜃ห ൤ ൬ ൰+ ൬ ൰൨ 𝜕𝑥𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦𝜕𝑡 𝑑𝑡 ିଵ 𝐹𝑠= −ห∇௣ 𝜃ห ∴ ൤ F = 𝐹𝑐+ 𝐹𝑠+ 𝐹𝑡+ 𝐹𝑑 (2.2.2) ・Petterssen frontogenesis の計算式(2.2.3)の解説 𝐹ு = 𝐹஼ + 𝐹 ௌ = について説明する。 ଵ ଶ ห∇௣ 𝜃ห( 𝐸 cos 2𝛽 + 𝐶𝑜𝑛𝑣) (2.2.3) 𝜕𝑢 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝑣 𝜕θ ଶ 𝜕𝜃𝜕θ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ൬ ൰ + ൬ ൰ ቉+൤ ൬ + ൰൨ቋ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝜃 ଶ 1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝜃 ଶ ିଵ = −ห∇௣ 𝜃ห ቊ ൬ + ൰ ቈ൬ ൰ + ൬ ൰ ቉ + ൬ − ൰ ቈ൬ ൰ − ൬ ൰ ቉ 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝜃𝜕θ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 +൤ ൬ + ൰൨ቋ 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 = − ห∇௣ 𝜃ห ൬ + ൰ 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ିଵ 𝐹ு = 𝐹𝑐+ 𝐹𝑠= −ห∇௣ 𝜃ห ቊቈ 1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝜃𝜕θ ିଵ − ห∇௣ 𝜃ห ቊ൬ − ൰ ቈ൬ ൰ − ൬ ൰ ቉ + 2 ൤൬ + ൰ ൨ቋ 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 この第一項は収束に関する項、第二項は変形に関する項である。ここで、第二項を FHd とする。 1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝜃𝜕θ ିଵ 𝐹ுௗ = − ห∇௣ 𝜃ห ቊ൬ − ൰ ቈ൬ ൰ − ൬ ൰ ቉ + 2 ൤൬ + ൰ ൨ቋ 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 式(2.2.3)への変形については、北畠(2005)を参照。なお、Conv と E は、次のとおりである。 𝐶𝑜𝑛𝑣= − ൬ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 + ൰ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ଶ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ଶ 𝐸= ඨ൬ − ൰ + ൬ + ൰ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ここでは Petterssen frontogenesis の合流変形に関する項について、直感的に理解できる解説を行う。合流変形場の効果を考察するため、収束発散が 0 となる点の近傍で合流変形となっている場合を考える。その点を中心に xy 平面を𝜕𝜃⁄𝜕𝑥= 0となるように回転すると、FHd は次のように変形できる。 1 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝜃 ଶ 𝜕𝑢 ିଵ 𝜕 𝐹 ห ൬ − ൰ ൬ ൰ = ห∇௣ 𝜃ห ுௗ = ห∇௣ 𝜃 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 この式から、FHd は、温位傾度と合流の強さの積であることがわかり、frontogenesis かどうかは𝜕𝑢⁄𝜕𝑥の符号が正かどうかで判別できる。付録第 1.1 図に𝜕𝑢⁄𝜕𝑥が最大（正）、0、最小（負）の合流変形の流れ、つ -142- まり合流変形場における FHd の正（Frontogenesis）、0、負（Frontolysis）となる合流変形の場の模式図を示す。付録第 1.1 図 Petterssen frontogenesis の合流変形の効果点線は等温位線、矢印は流れ、破線は変形の拡大軸を示す。このことから、合流変形による frontogenesis は、付録第 1.2 図の変形の拡大軸と等温位線のなす角（β）が 45 度より小さいかで判断できる。式(2.2.3)から FHd と cos2βは比例することから、βが 30°の場合はβ=0 の Frontogenesis の半分となる。 Petterssen frontogenesis において、βが大きくなると合流変形の寄与は小さくなり、収束発散の効果が相対的に大きくなる。付録第 1.2 図合流変形による frontogenesis の模式図点線は等温位線、矢印は流れ、破線は変形の拡大軸を示す。βが 0°以上 45°未満の場合に Frontogenesis となる。参考文献北畠尚子, 2005: 前線の考え方の過去と現在. 気象研究時報,57, 27-57． -143-