Abstracts - Nagoya University

20th Conference on Algebra for Young
Researchers in Japan
Abstracts
Nagoya University, Japan
March 18–20, 2015
The Serre functor for a representation
of a finite tensor category
Kenichi Shimizu✻ (Nagoya University)
✉ [email protected]
Abstract. Let C be a monoidal category with tensor product ⊗ and unit object .
A (left) C-module category is a category M endowed with a functor ! : C×M → M
(called the action) and natural isomorphisms
∼ (X ⊗ Y ) ! M and
∼ M (X, Y ∈ C, M ∈ M)
X ! (Y ! M ) =
!M =
obeying certain axioms similar to those for a monoidal category. This notion is
a natural generalization of the notion of a representation of a monoid. As in the
case of many other algebraic objects, the “representation theory” is an important
subject in the theory of monoidal categories.
We say that a C-module category M is closed if, for every M ∈ M, the functor
from C to M given by X &→ X ! M has a right adjoint. For a closed C-module
category M, the internal Hom functor Hom : Mop × M → C is defined by
∼ HomM (X ! M, N )
HomC (X, Hom(M, N )) =
for X ∈ C and M, N ∈ M. Now we introduce the following terminology:
Definition. Suppose that C is a rigid monoidal category. The Serre functor for
a closed C-module category M is a functor S : M → M such that there exists a
natural isomorphism Hom(M, N )∗ ∼
= Hom(N, S(M )) for M, N ∈ M.
The Serre functor is unique up to isomorphism if it exists. An important case is
when C is a finite tensor category over a field k [EO] and M is a finite C-module
category (i.e., M is a finite abelian category over k and the action ! : C × M → M
is right exact in the first variable). In such a case, the Serre functor for M exists
if and only if M is an exact C-module category in the sense of [EO].
In this talk, I introduce basic results of the Serre functor for an exact module
category and review some of results of [ENO], [Shi14a] and [Shi14b] from this point
of view. I explain that the categorical version of Radford’s S 4 -formula [ENO] is a
consequence of basic properties of the Serre functor. I also show that the Frobeniustype property of a module functor between exact module categories is controlled
by the Serre functor. From this point of view, some results on the Frobenius-type
property of a tensor functor [Shi14a, Shi14b] can be understood as explicit formulas
of the Serre functor in practical cases.
References
[EO]
P. Etingof and V. Ostrik, Finite tensor categories. Mosc. Math. J. 4 (2004), 627–654,
782–783.
[ENO]
P. Etingof, D. Nikshych, and V. Ostrik, An analogue of Radford’s S 4 formula for finite
tensor categories. Int. Math. Res. Not. (2004), 2915–2933.
[Shi14a] K. Shimizu. Characterizations of unimodular finite tensor categories. arXiv:1402.3482.
[Shi14b] K. Shimizu. The relative modular object for a certain kind of tensor functor. arXiv:
1412.0211.
✻
The speaker is supported by Grant-in-Aid for JSPS Fellows (24·3606).
On the decomposition of the Hochschild cohomology
group of a monomial algebra satisfying a separability
condition
Ayako Itaba (Tokyo University of Science)∗
This is a joint work with T. Furuya and K. Sanada.
Let k be an algebraically closed field and Q a finite connected quiver. Then kQ
denotes the path algebra of Q over k. If an admissible ideal I of kQ is generated by a
finite number of paths in Q, we call Λ = kQ/I a monomial algebra.
In [B], for a monomial algebra Λ, Bardzell determined a minimal projective resolution of Λ as a right Λe -module using the idea of an associated sequence of paths
introduced in [GHZ]. Therefore, by using this resolution, it is possible to calculate the
Hochschild cohomology groups HHn (Λ) := ExtnΛe (Λ, Λ) (n ≥ 0), where Λe := Λop ⊗k Λ
is the enveloping algebra of Λ.
This talk is based on [IFS]. In this talk, we consider a finite connected quiver Q
(1)
(2)
(1)
(2)
having two subquivers Q(1) and Q(2) with Q = Q(1) ∪ Q(2) = (Q0 ∪ Q0 , Q1 ∪ Q1 ).
Let Λ = kQ/I, Λ(1) = kQ(1) /I (1) and Λ(2) = kQ(2) /I (2) , where I is a monomial ideal
of kQ and I (i) is a monomial ideal of kQ(i) for i = 1, 2. We assume that I and I (i)
(i = 1, 2) are admissible ideals. For any n ≥ 2, AP (n) denotes the set of paths obtained
by linking the associated sequence of paths as defined in [B] and [GHZ], where we set
AP (0) = Q0 and AP (1) = Q1 . Similarly, AP (i) (n) denotes the set of paths obtained
by linking the associated sequence of paths for i = 1, 2. For the monomial algebra
Λ, under a separability condition AP (1) (1) ∩ AP (2) (1) = ∅ introduced in [IFS], we
investigate a relationship between the minimal projective bimodule resolution of Λ
given by Bardzell ([B]) and that of Λ(i) (i = 1, 2). Moreover, we show that, for n ≥ 2,
the Hochschild cohomology group HHn (Λ) of Λ is isomorphic to the direct sum of the
Hochschild cohomology groups HHn (Λ(1) ) and HHn (Λ(2) ).
References
[B] M. J. Bardzell, The alternating syzygy behavior of monomial algebras, J. Algebra 188
(1997), no. 1, 69–89.
[EH] K. Erdmann and T. Holm, Twisted bimodules and Hochschild cohomology for selfinjective algebras of class An , Forum Math. 11 (1999), no. 2, 177–201.
[FS] T. Furuya and N. Snashall, Support varieties for modules over stacked monomial algebras, Comm. Algebra 39 (2011), no. 8, 2926–2942.
[GHZ] E. L. Green, D. Happel and D. Zacharia, Projective resolutions over Artin algebras
with zero relations, Illinois J. Math. 29 (1985), 180–190.
[GSS] E. L. Green and N. Snashall, The Hochschild cohomology ring modulo nilpotence of
a stacked monomial algebra, Colloq. Math. 105 (2006), no. 2, 233–258.
[GSS] E. L. Green, N. Snashall and Ø. Solberg, The Hochschild cohomology ring modulo
nilpotence of a monomial algebra, J. Algebra Appl. 5 (2006), no. 2, 153–192.
[IFS] A. Itaba, T. Furuya and K. Sanada, On the decomposition of the Hochschild cohomology group of a monomial algebra satisfying a separability condition, to appear in Comm.
Algebra.
∗
Kagurazaka 1-3, Shinjuku, Tokyo 162-0827, Japan
e-mail: [email protected]
Tilting objects in stable categories of preprojective algebras
木村雄太 (名古屋大学)
以下 Q を非輪状有限クイバーとし, 多元環はある代数閉体上考えるものとする. クイバー Q に付随する前射
影多元環 Π = ΠQ は, Q の前射影表現を研究するために Gelfand-Ponomarev によって導入された. 以降, 前
射影多元環は多元環の表現論のみならず, 量子群の結晶基底, クライン特異点の解消, 箙多様体等様々な分野に
現れ, 研究されている. 特に最近では, Fomin-Zelevinsky によって導入された団多元環の圏化の視点からの研
究が盛んである.
クイバー Q に付随する前射影多元環 Π に対して, Buan-Iyama-Reiten-Scott [BIRS] らは, Q から得られる
コクセター群を用いることで, 団傾対象を持つ 2-Calabi-Yau 三角圏 (2-CY) を構成した. ここで 2-CY 性は団
傾対象の変異に欠かせない性質であり, 団傾対象は団多元環の団に対応しているものである. w をコクセター
群の元とするとき, Π のイデアル Iw が得られる. 彼らは商多元環 Πw = Π/Iw が有限次元かつ移入次元が 1 以
下の多元環であることを示した. このとき有限生成 Πw -加群のなす圏 mod Πw の充満部分圏
!
#
m
"
Sub Πw := X ∈ mod Πw | X ⊂
Πw , m > 0
j=1
は Frobenius 圏であり, よって安定圏を取ることで三角圏 Sub Πw が得られる. 彼らは Sub Πw が 2-CY 三角
圏であることを証明し, かつこの圏において団傾対象を構成した.
一方, Amiot-Reiten-Todorov [ART] らは, コクセター群の任意の元 w に対して, Sub Πw がある有限次元代
数 Aw のクラスター圏と三角圏同値であることを証明した. ここでクラスター圏とは, Aw の有界導来圏から構
成される 2-CY 三角圏であり, Amiot [A] によって導入されたものである.
本講演では Amiot-Reiten-Todorov の結果と類似の三角圏同値を, 導来圏において示すことを目的とする.
Πw は自然に次数付き多元環の構造を持つ. これにより有限生成次数付き Πw -加群のなす圏 modZ Πw の充満部
分圏
Z
Sub Πw :=
!
Z
X ∈ mod Πw | X ⊂
m
"
j=1
Πw (ij ), ij ∈ Z
#
が考えられ, この圏は Frobenius 圏となる. そこで三角圏 SubZ Πw が得られるが, 本講演ではこの圏において
傾対象を見つけることで, SubZ Πw がある多元環の有界導来圏と同値となることを示す.
参考文献
[A] C. Amiot, Cluster categories for algebras of global dimension 2 and quivers with potential, Ann. Inst.
Fourier (Grenoble) 59 (2009), no. 6, 2525-2590.
[ART] C. Amiot, I. Reiten, G. Todorov, The ubiquity of the generalized cluster categories, Adv. Math.
226 (2011), no. 4, 3813-3849.
[BIRS] A. Buan, O. Iyama, I. Reiten, J. Scott, Cluster structures for 2-Calabi-Yau categories and unipotent groups, Compos. Math. 145 (2009), no. 4, 1035-1079.
Rings derived equivalent to Z
Hirotaka KOGA (Tokyo Denki University)∗
Derived equivalences (see [2]) of algebras are extensively studied in many ways.
However there is a luck of study on derived equivalences of rings. In this talk, we
determine rings derived equivalent to Z. Namely, we show that such rings are just
Morita equivalent to it. We refer to [1, 3] for basic facts on derived categories.
References
[1] R. Hartshorne, Residues and duality, in: Lecture Notes of a seminar on the work of A.
Grothendieck, given at Harvard 1963/64, Lecture Notes in Math., 20, Springer, Berlin,
1966.
[2] J. Rickard, Morita theory for derived categories, J. London Math. Soc. (2) 39 (1989),
no. 3, 436–456.
[3] J. L. Verdier, Cat´egories d´eriv´ees, ´etat 0, in: Cohomologie ´etale, 262–311, Lecture Notes
in Math., 569, Springer, Berlin, 1977.
2010 Mathematics Subject Classification: Primary: 16E35, 13D09; Secondary: 16E60.
Keywords: Derived equivalence, Tilting complex, Principal ideal domain.
∗
e-mail: [email protected]
導来圏における
MATLIS DUAL と DUALIZING DUAL
小野舞子 (岡山大学自然科学研究科)
以下、(R, m) を剰余体 k を持つ可換な Noether 局所環とし、dim R = d と
する．R は dualizing complex IR をもつと仮定する．また、IR は normalize さ
i = 0 for i < 0 かつ H 0 (I ) ̸= 0 と仮定する. D − (R) を
れているとする、i.e. IR
R
R 加群からなる上（右）に有界な鎖複体全体のなす導来圏とする．X ∈ D− (R)
に対して、X ∨ = RHomR (X, ER (k)), X † = RHomR (X, IR ) と表すことにす
る．さらに、有限生成とは限らない R 加群 M について、dim R/p ≥ n + 1 と
なる素イデアル p に対して常に Mp = 0 が成立するとき、dim SuppM ≤ n と
書く．
以上の設定の元で次の定理が証明できたので、紹介したい．
定理 1. Y ∈ D− (R) に対して、H i (Y ) = 0 for i > 0 かつ dim SuppH j (Y ) = 0
for j < 0 と仮定する．このとき、D+ (R) における次のような自然な同型
∼
τ >0 (Y ∨ ) −−→ τ >0 (Y † [d])
nat
が存在する．ここで、τ >0 は truncation を表す．
この定理をもう少し一般化した次の定理も証明できた．
定理 2. Y ∈ D− (R) に対して、H i (Y ) = 0 for i > 0 かつ dim SuppH j (Y ) ≤ 1
for j < 0 と仮定する．このとき、次のコホモロジーの完全列が得られる．
d−1
HomR (H −1 (Y ), IR
) −−−−→ H 1 (Y ∨ ) −−−−→ H d+1 (Y † ) −−−−→
d−1
HomR (H −2 (Y ), IR
) −−−−→ H 2 (Y ∨ ) −−−−→ H d+2 (Y † ) −−−−→
······
d−1
HomR (H −i (Y ), IR
)
−−−−→
H i (Y ∨ )
−−−−→
H d+i (Y † )
−−−−→
d−1
HomR (H −i−1 (Y ), IR
) −−−−→ H i+1 (Y ∨ ) −−−−→ H d+i+1 (Y † ) −−−−→
これらの定理は、Auslander-Reiten 双対の一般化と考えることもできる．
References
[1] R.HARTSHORNE, Residues and Duality, Springer Lecture Notes in Mathematics,
no.20(1966)
[2] Y.YOSHINO, Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings, London Mathematical Society Lecture Note Series, 146, Cambridge University Press, Cambridge(1990)
1
A noncommutative approach to Landau-Ginzburg B-brane categories
∗
C
X
LG
W
(X, W )
B
(X, W )
Landau-Ginzburg
(LG
)
DB(X, W )
DB(X, W ) := Dsg (W −1 (0)) := Db (cohW −1 (0))/Perf(W −1 (0))
W −1 (0)
LG
Fano
DB
Calabi-Yau
DB
Baranovsky-Pecharich[BP]
Theorem 1. (Xi , Wi )
P ∈ Db (cohX1 ×W1 ,C,W2 X2 )
DB(X1 , W1 ) ∼
= DB(X2 , W2 )
LG
Fourier−Mukai
Db (cohX1 ) ∼
= Db (cohX2 )
Van den Bergh
[BP]
DB
Bondal-Van den Bergh
Theorem 2.
[BVdB]
X
(DGA)A
Db (cohX) ∼
=
Perf(A)
DGA
Bondal Kapranov
Kontsevich Van den Bergh
DGA
DGA
DG
[BP]
DGA
LG
DG
B
[BVdB]
[BP]
[BP] V. Baranovsky and J. Pecharich. On equivalences of derived and singular categories. Cent. Eur. J.
Math., 8(1):114, 2010.
[BVdB] A. Bondal, M. Van den Bergh, Generators and representability of functors in commutative and
noncommutative geometry, Mosc. Math. J. 3 (2003), no. 1, 136, 258.
∗
e-mail: [email protected]
Theta characteristics on hypersurfaces and tuples of symmetric
matrices
∗
k
)
S ⊂ Pm
k
Pm
1. m ≥ 2
(
X0 , X 1 , . . . , X m
n
M = (M0 , M1 , . . . , Mm ) ∈ Matn (k)m+1
m+1
S ⊂ Pm
det(X0 M0 + X1 M1 + · · · + Xm Mm ) ∈ k[X0 , X1 , . . . , Xm ]
S
M, M ′
S
a ∈ k×
P ∈ GLn (k)
atP Mi P = Mi′
0≤i≤m
S ⊂ Pm
Hesse
1844
Dixon,
Beauville([2]), Ho([3])
characteristic
theta
S
[4]
Artin–Tate–van den Bergh
2 ([4, Corollary 6.8]). k
• S
[1]
m≥2
n≥2
S ⊂ Pm
n
theta characteristic M
∼
λ : M −→ HomS (M(2 − m), ωS )
(M, λ)
• S
[1] M. Artin, J. Tate and M. Van den Bergh, Some algebras associated to automorphisms of elliptic
curves. The Grothendieck Festschrift, Vol. I, Progr. Math., vol. 86, Birkh¨auser Boston, Boston, MA,
pp. 33-85, 1990.
´
[2] A. Beauville. Vari´et´es de Prym et jacobiennes interm´ediaires. Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. (4),
Vol. 10, No. 3, pp. 309–391, 1977.
[3] W. Ho. Orbit parametrizations of curves. Ph.D Thesis, Princeton University, 2009.
[4] Y. Ishitsuka. Orbit parametrizations of theta characteristics on hypersurfaces over arbitrary fields.
arXiv:1412.6978, 2014.
∗
[email protected]
1
strongly Koszul
)∗
(
[n] = {1, . . . , n},
E(G)
, [n] 2
A, B(A ∪ B = [n], A ∩ B = ∅)
|E(G)|
δA|B (G) ∈ Z
:
G
δA|B (G)ij =
!
1 if |A ∩ {i, j}| = 1
0 otherwise
.
, (0, 1)-
(ij ∈ E(G)).
,
XG =
.
"#
$
#
$%
δA1 |B1 (G)
δAN |BN (G)
,...,
⊂ Z|E(G)|+1
1
1
,K
,
(N = 2n−1 )
K[q], K[s, T ]
K[q] = K[qA1 |B1 , . . . , qAN |BN ]
K[s, T ] = K[s, tij | ij ∈ E(G)]
.
,
πG
πG : K[q] → K[s, T ] qAl |Bl '→ s ·
.
IG
, IG = ker πG G
(see [1]).
RG strongly Koszul
2
&
tij
|Al ∩{i,j}|=1
ij∈E(G)
, RG = K[q]/IG
XG
,
,
.
[1] B. Sturmfels and S. Sullivant, Toric geometry of cuts and splits, Michigan Math. J., 57
(2008), 689-709.
∗
171-8501
3-34-1
e-mail: [email protected]
Polytopes, as algebras
(
)
,
polytopal algebra
(Bruns-Gubelaze
)
:
,
2
,
.
,
,
.
[0, 1]
.
,
[0, 1]
.
[0, 1],
.
Barr-Beck
.
,
.
[T1] Takagi, S.: Compactifying Spec Z, Preprint, arXiv: mathAG/1203.4914
[T2] Takagi, S.: Linear algebra -from the categorical point of view, Preprint, available on http://researchmap.jp/moderatissimo/
代数系の圏構造の分解を通じた代数系の分類の試み
井澤昇平
Universal Algebra（普遍代数学、一般代数系などと訳される）は代数系の一般的な性質を研究する数学
の一分野である。他の数学の諸分野と同様に、一般代数系でも研究対象である代数系の性質を調べること
や「性質を十分反映した分類を行なう」ということは重要な目標の一つである。
今回の発表では被覆理論と呼ばれるもの（[1] により核となるアイディアが提唱され、[2] による代数系の
圏構造の記述を用いて [3],[4],[5] により整理された）と、その応用の紹介を行なう予定である。
被覆理論とは
• べき等演算により代数系 A をより小さな代数系 U1 , · · · , Un に“ 分解 ”する
• 代数系の族 U が与えられたときに分解が U に一致する代数系の分類を与える
という分解と合成を通じて代数系の性質を調べる手法である。この合成はさらに
• 行列積構成：与えられた代数系の族の直積集合に、各成分への“ 制限 ”が持つ演算はもとの代数系の
演算に一致するような代数系の構成
• 圏同値変形：与えられた代数系と“ 生成する ”代数系のクラスの圏構造を変えない代数系の構成
の二段階に分けることができる。
分解により現れる（素な）代数系の族が一致するという条件、圏構造が変わらないという条件は、いずれ
も代数系の性質を強く反映するものである。また、台集合が有限な代数系に限ればこの分解・合成の手続き
は具体的な記述が可能である。
そのため、（特に）有限代数系の記述や性質の研究に有用であることが期待される。
この枠組みの適用例として既約な代数系の族が、全ての演算を持つ代数系（感覚的には生成する代数系の
クラスが“ 最も単純な ”構造をしている、ということと同値である）のみからなる場合について考察する。
このような族の合成で得られる代数系には代数的な特徴付けが知られている。被覆理論を用いるとその
ような代数系は組み合わせ論的とでも言えそうな、単純な記述が可能である。
このようにしてある代数的性質をみたす代数系の分類が得られるのである。
参考文献
[1] L´aszl´o Z´adori, Relational sets and categorical equivalence of algebras, International Journal of Algebra and Computation 7, No.5(1997) 561-576
[2] K. Denecke, O. L¨
uders. Categorical equivalence of varieties and invariant relations, Algebra Universalis 46(2001), 105-118.
[3] Keith A. Kearnes. Tame Congruence Theory is a localization theory, Lecture Notes from “A Course
in Tame Congruence Theory” Workshop, Budapest, 2001.
[4] Mike Behrisch. Relational Tame Congruence Theory and subalgebra primal algebras. Master’s thesis,
Dresden University of Technology, 2009.
[5] Shohei Izawa, Composition of matrix products and categorical equivalence, Algebra Universalis 69
(2013), 327-356.
1
Immanants の極限挙動
田端亮
(広島大学大学院理学研究科)∗
正規化された immanant とは, n 次対称群 Sn の既約表現 λ に対して定まる n 次正方
行列上の関数であり, 行列 A = (aij )1≤i,j≤n に対して, 次で定義される.
1 !
dλ (A) =
tr (λ(σ)) a1σ(1) · · · anσ(n) .
dim λ
σ∈Sn
対称群 Sn の既約表現は, ヤング図形と一対一に対応するので, 同じ記号を用い, immanant もまたヤング図形 λ でラベル付けできる. また, 行列式 (determinant) や恒
久式 (permanent) の一般化であり, λ = (1n ) (すなわち, λ が交代表現) のとき, d(1n ) は
determinant であり, λ = (n) (すなわち, λ が自明表現) のとき, d(n) は permanent であ
る. ここで, permanent とは, determinant の符号変化を取り除いたものである.
Immanant に関する問題に不等式があり, その中で重要なものが Schur [3] の不等式
と Lieb [1] の permanetal dominance 予想である. これらの不等式のある精密化を考え
ると, ほとんどの immanant に対し, ある行列 Yn がその極大値を与えることが予想さ
れる. 本講演では, この行列 Yn に絞り, その immanant の極限挙動を観察する.
n → ∞ とするとき, 行列のサイズが大きくなるとともに, immanant にラベル付け
されているヤング図形の箱の数も大きくなっていく. 今回はいくつかの「大きなヤン
グ図形」を考える. Logan-Shepp [2], Vershik-Kerov [4] の与えた Plancherel 測度によ
√
るランダムヤング図形の極限形状は, 箱の数 n に対して, 1/ n のスケーリングを用い
て描かれる (このとき, ヤング図形の面積は 1 で一定となっている). 同様のスケーリン
グの下, ヤング図形の行 (もしくは列) を有限として考えると, その形状は薄くなって見
えなくなってしまう. そこで, その形状を膨らませるように, 列 (もしくは行) を大きく
するという操作を行う. このとき, 今回調べたいくつかの大きなヤング図形に対応する
immanant は, いずれも 1 という値に収束することが分かった.
また, この結果を受け, 次の予想を立てている.
予想 1. ヤング図形の列 λ(0) ⊂ λ(1) ⊂ λ(2) ⊂ · · · , |λ(n) | = n を考える. µ(n) を λ(n) の双
(n)
(n)
対ヤング図形とする. λ1 /n → 0 かつ µ1 /n → 0 ならば,
lim dλ(n) (Yn ) = 1.
n→∞
また, 前回に紹介した, フック形のヤング図形に対応する immanant の結果を用いる
と, この予想の逆は成り立たないことも分かる.
参考文献
[1] E. H. Lieb, Proofs of some conjectures on permanents, I. Math. and Mech. 16:127-134
(1966).
[2] B. F. Logan, L. A. Shepp, A variational problem for the random Young tableaux, Adv.
Math. 26:206-222 (1977).
¨
[3] I. Schur, Uber
endliche Gruppen und Hermitische Formen, Math. Z. 1:184-207 (1918).
[4] A. K. Vershik, S. V. Kerov, Asymptotics of the Plancherel measure of the symmetric
group and the limiting form of Young tableaux, Soviet Math. Dokl. 18:527-531 (1977).
∗
e-mail: [email protected]
Symmetric design p-rank
coherent configuration standard module
(
)
incidence matrix
p-rank
p
rank
D1 , D2
p
incidence matrix
incidence matrix
p-rank
D1
D2
p-rank
symmetric design
symmetric design
configuration
Symmetric design
(2, 2; 2)
coherent
(Higman[2]) Coherent configuration
standard module
p-rank
standard module
incidence matrix
p-rank
[1] Noboru Hamada. On the p-rank of the incidence matrix of a balanced or partially balanced
incomplete block design and its applications to error correcting codes. Hiroshima Math.
J., Vol. 3, pp. 153–226, 1973.
[2] D. G. Higman. Coherent algebras. Linear Algebra Appl., Vol. 93, pp. 209–239, 1987.
)∗
(
.
1. M
(f1 , f2 )
, f1 : A1 → B f2 : A2 → B M
, p1 : X → A1 , p2 : X → A2
.
1. f1 ◦ p1 = f2 ◦ p2
. (X, p1 , p2 )
M
.
2. f1 ◦ g1 = f2 ◦ g2
g2 = p 2 ◦ g
g1 : C → A1 g2 : C → A2
g:C→X
.
, g 1 = p1 ◦ g
,
Kuribayashi–Matsuo [1]
.
, [1]
.
,
.
,
,
.
,
,
.
.
2. (C, S, ϕ)
S
σ, τ
C
f
! (στ f g)
f
g
ϕ
: Pστ → Pστ ϕ(στ f g)
f
Pστ
, C
, S
= { (u, v) ∈ σ × τ u ◦ v = f }
"
σ,τ,µ∈S, f,g∈µ
3. (C, S, ϕ), (D, U, ψ)
. F
(C, S, ϕ)
,
ϕ =
.
(D, U, ψ)
.
1. F
C
D
2. S
σ
3. S
σ, τ , µ
.
, F (σ) ⊂ σ ′
µ
U
σ′
f, g
.
.
ϕ(στ f g)
f
g
Pστ
−−−−−−−−→ Pστ
⏐
⏐
⏐F ×F
⏐F ×F
$
$
F (f )
ψ (σ
′ τ ′ F (f )F (g))
F (g)
Pσ′ τ ′ −−−−−−−−→ Pσ′ τ ′
[1] K. Kuribayashi and K. Matsuo. Association schemoids and their categories. to appear
in Applied Categorical Structures, preprint (2013). arXiv:1304.6883 math. CT.
∗
e-mail: [email protected]
MINIMAL ATOMS AND MINIMAL MOLECULES IN GROTHENDIECK
CATEGORIES
RYO KANDA
For a right noetherian ring ⇤, it is known that there exists a canonical surjective map
{ indecomposable injective right ⇤-modules }
':
! { two-sided prime ideals of ⇤ }.
⇠
=
Moreover, Gabriel [Gab62] showed that this surjection has a canonical splitting , that is, ' =
id. These maps become bijective if the ring ⇤ is commutative. If we regard the first set as the
“one-sided prime spectrum” of the ring ⇤, these two maps describe a relation between one-sided
primes and two-sided primes. In this talk, we consider a naturally defined partial order between
indecomposable injectives and show that the maps ' and induce a bijection between the sets
of minimal elements of the two prime spectra.
The partial order is introduced in terms of the atom spectrum ([Kan12] and [Kan13]). The
atom spectrum of a Grothendieck category is a generalization of the prime spectrum of a commutative ring, and it has a partial order which generalizes the inclusion relation between prime
ideals. Indeed, for a commutative ring R, the atom spectrum ASpec(Mod R) of the Grothendieck
category Mod R is isomorphic to Spec R as a partially ordered set. If A is a locally noetherian Grothendieck category, then there exists a canonical bijection between the atom spectrum
ASpec A and the set of isomorphism classes of indecomposable injective objects in A. Therefore
we can regard the atom spectrum as a replacement of the indecomposable injectives, which has a
natural partial order structure and is closer to the notion of prime ideals of a commutative ring.
We obtain the following result.
Theorem 1. Let ⇤ be a right noetherian ring. Then there exists a bijection between the minimal
elements of ASpec(Mod ⇤) and the minimal two-sided prime ideals of ⇤.
We can generalize this result in a purely categorical way. For a Grothendieck category A, we
introduce the notion of the molecule spectrum MSpec A of A as a generalization of two-sided
prime ideals of a ring. By using this notion, we obtain the following generalization.
Theorem 2. Let A be a Grothendieck category having a noetherian generator and satisfying the
Ab4* condition. Then there exists a bijection between the minimal elements of the atom spectrum
ASpec A and the minimal elements of the molecule spectrum MSpec A.
References
[Gab62] P. Gabriel, Des cat´
egories ab´
eliennes, Bull. Soc. Math. France 90 (1962), 323–448.
[Kan12] R. Kanda, Classifying Serre subcategories via atom spectrum, Adv. Math. 231 (2012), no. 3–4, 1572–
1588.
[Kan13] R. Kanda, Specialization orders on atom spectra of Grothendieck categories, arXiv:1308.3928v2, 39 pp.
Graduate School of Mathematics, Nagoya University, Furo-cho, Chikusa-ku, Nagoya-shi, Aichi-ken,
464-8602, Japan
E-mail address: [email protected]
2010 Mathematics Subject Classification. 18E15 (Primary), 16D90, 16P40, 14A22 (Secondary).
Key words and phrases. Grothendieck category; atom spectrum; molecule spectrum.
The author is a Research Fellow of Japan Society for the Promotion of Science. This work is supported by
Grant-in-Aid for JSPS Fellows 25·249.
1
5
2
Takuma HIRASHIMA∗
,
,
,
2
.
,
,
.
.
n=2
(Gauss
n
n
2
2
n
m
, Kishi-Miyake(2000)
1
)
.
.
.
· · · Nagell(1922)
.
· · · Yamamoto(1970), Weinberger(1973)
.
· · · Azuhata-Ichimura(1984), Nakano(1985)
3
2
,
2
n
,
· · · Gauss
2
,
.
.
Theorem (Kishi-Miyake, 2000) 2
K
3
,
(1), (2), (3)
3
2
u,w ∈ Z
, (u, w) = 1 , X − uwX − u ∈ Z[X]
, 4uw3 − 27u2 ̸∈ Z2
√
, K = Q( 4uw3 − 27u2 )
.
(1) 3 ̸ |w; (2) 3|w, uw ̸≡ 3 mod 9,and u ≡ w ± 1 mod 9; (3) 3|w, uw ≡ 3 mod 9,and u ≡ w ± 1 mod 27.
,
Main Theorem 2
5
2
K
.
, S,T ∈ Q
5
,
p
, X 5 + T X 4 + (S − T )X 3 + (T 2 + 5T + 5 − 2S)X 2 + SX + (T + 3) ∈ Q[X]
!
, K = Q( d(S, T ))
.
C(p)
, d(S, T ) ̸∈ Q2
, d(S, T ) = −4S 3 + (T 2 − 24T − 80)S 2 + 2(T + 3)(3T + 10)(4T + 5)S − (T + 3)(4T 4 + 44T 3 +
140T 2 + 175T + 125)
.
p ̸= 5
, S, T
C(p)
,
.
(p.1) vp (T 2 − 5T − 25) ≤ 0; (p.2) vp (S − 3T − 10) ≤ 0; (p.3) vp (B0 ) ≡ 0 mod 5; (p.4) 5vp (B1 ) < 4vp (B0 ).
p=5
, S, T
C(5)
,
.
(5.1) v5 (S) ≤ 0; (5.2) v5 (T ) ≤ 0; (5.3) T ̸≡ 15 mod 25 and vp (C0 ) ≥ 3; (5.4) vp (C0 ) ≥ 5.
, vp
p
,B0 = (−25T 3 − 250T 2 − 625T )S + (4T 5 + 150T 4 + 625T 3 + 625T 2 +
3125T + 9375), B1 = (5T + 25)S + (−T 3 − 20T 2 − 50T ), C0 = (T 2 + 8T + 16)S + (T 3 + 13T 2 + 52T + 65)
.
, Newton polygon
5
,
2
,
∗ [email protected]
1
.
,
.
Fisher 積分の消去イデアル
小山民雄 (東大情報理工, 学振 PD)
Fisher 積分とは, n 次の特殊直交群 SOn 上の積分
" n
$
!
#
f (X) :=
exp
xij yij µ(dY ) (X = (xij ), Y = (yij ))
SOn
i,j=1
によって定義される実数上の n × n 行列 X を変数とする函数である. ここで, µ は SOn
上の Haar 測度である. この函数は特殊直交群上に定義される Fisher 分布の正規化定数
として得られ, この性質を知ることは, Fisher 分布の定める統計モデルを研究する上で
重要である. 実際, [1] では Fisher 積分の満たす線形微分方程式系の研究を行い, その結
果を Fisher 分布を用いた最尤法の数値計算 (ホロノミック勾配法) に応用した.
[1] に置いて, Fisher 積分 f (X) は, 以下の微分作用素によって消去されることが示
された.
n
#
(xki ∂xkj − xkj ∂xki ) (1 ≤ i < j ≤ n),
(1)
k=1
δij −
n
#
∂xki ∂xkj
k=1
(1 ≤ i ≤ j ≤ n),
1 − det(∂xij ).
(2)
(3)
ここで, ∂xij = ∂/∂xij であり, det(∂xij ) は第 (i, j) 成分が ∂xij である行列の行列式を表す.
本講演では, Fisher 積分を消去する微分作用素が本質的にこれらで尽くされること,
すなわち, 次の定理を示す:
Theorem 1 多項式係数の微分作用素環 DX = C⟨xij , ∂xij |1 ≤ i, j ≤ n⟩ において微分作
用素 (1), (2), (3) は, Fisher 積分 f (X) の消去イデアル Ann(f ) := {P ∈ DX |P • f = 0}
を生成する.
この定理を示す過程で, SOn 上の Haar 測度 µ から
!
%
&
⟨g, ϕ⟩ =
ϕ(X)µ(dX)
ϕ ∈ C0∞ (Rn×n )
SOn
によって定まる Rn×n 上の Schwartz 超関数 g の消去イデアルが
n
#
k=1
(xki ∂xkj − xkj ∂xki ) (1 ≤ i < j ≤ n),
δij −
n
#
k=1
1 − det x
xki xkj
(1 ≤ i ≤ j ≤ n),
(4)
(5)
(6)
によって生成され, さらに DX の極大な左イデアルとなることを示す.
References
[1] T. Sei, H. Shibata, A. Takemura, K. Ohara, and N. Takayama. Properties and
applications of Fisher distribution on the rotation group. Journal of Multivariate
Analysis, 116:440–455, 2013.
(
!
G
Q-split
V := Aﬀ
n
. Zariski-open
(PV)
. PV
, O(k)
G(k)
O
G-
)
, Q
ρ
! ρ, V )
(G,
,
Zariski-open
k-
,
!
, G := ρ(G)
Q
.
G(k)-
, n
,
.
PV
0
k
, O(k),
([R]).
.
PV
([I], [KK]).
, Hecke
,
-Tate
,
PV
L
(
.
,
-Tate
).
,
PV
.
!
G
!
,G
l
ρ
. l=1
.
.
PV
,
,l=2
. l=2
,
,
PV
PV
,
([Ka], [Ku]).
,
,
.
,
PV
.
,
,
.
[R] I. Ryu, Universal transitivity of reductive prehomogeneous vector spaces with a finite
number of orbits, J. Algebra 370 (2012), 361-386.
[I] J.-I. Igusa, Zeta distributions associated with some invariants, Amer. J. Math. 109 (1987),
1-33.
[KK] T. Kimura and T. Kogiso, On adelic zeta functions of prehomogeneous vector spaces
with finitely many adelic open orbits, Adv. Stud. Pure Math. 21 (1992), 21-31.
[Ka] S. Kasai, A classification of reductive prehomogeneous vector spaces with two irreducible
components, I, Japan. J. Math. (N. S.) 14 (1988), 385-418.
[Ku] Y. Kurosawa, On a classification of 3-simple prehomogeneous vector spaces with two
irreducible components, Tsukuba J. Math. 36 (2012), 135-172.
Steinberg’s tensor product theorem for Chevalley
supergroups
柴田
大樹
(筑波大数理物質科学研究科)∗
Chevalley は，複素数体上の半単純リー代数から，今日ではシュヴァレー群と呼ばれ
ている Z 上の代数群を構成した．シュヴァレー群 G の代数閉体 k 上での既約表現は
いわゆる G の支配的ウェイト全体と一対一に対応する．この事実は k の標数 p が正
であるときも成り立つが，支配的ウェイトに対応する既約表現の構造は p = 0 の場合
と比較して複雑である．シュヴァレー群の正標数における既約表現の構造を知るため
の有力な結果として Steinberg による『テンソル積定理』がある．これは支配的ウェイ
トを “p-進展開” したとき，対応する単純 G-加群も応じてより簡単な単純 G-加群たち
のテンソル積に分解されるという主張である．例えば [2, Part II, Section 3.17] 参照．
さて，代数群はその座標環の言葉で完全に記述することができるが，その座標環を
『スーパー化』
（= Z2 -次数化）して得られる概念はスーパー代数群と呼ばれている．近
年 [1] において Chevalley の方法を直接的に拡張する形で『シュヴァレー・スーパー
群』が構成された．一般にスーパー代数群 G に対してその偶部分 Gev が定義される
が，シュヴァレー・スーパー群の偶部分は通常のシュヴァレー群となっていることに
注意しておく．増岡との共同研究 [3] の結果からシュヴァレー・スーパー群の既約表現
も，支配的条件に似たある条件をみたすウェイト全体と一対一に対応することが分か
る．しかしこれもまた通常のシュヴァレー群の場合と同様に，正標数の場合には，与
えられたウェイトに対応する既約表現の構造を調べるのは難しい．この問題に関して，
次に述べるテンソル積定理のスーパー版を得た：
主結果．ウェイト λ を λ = λ0 + pλ1 + · · · + pr λr と “p-進数展開” したとき，ウェイト
λ に対応する単純 G-加群 L(λ) は次の様にテンソル積分解する：
L(λ) ∼
= L(λ0 ) ⊗ Lev (λ1 )[1] ⊗ · · · ⊗ Lev (λr )[r] .
ここで Lev (λi ) はウェイト λi の単純 Gev -加群であり，(−)[r] は r-フロベニウス射で作
用を捻ったものである．
この主張は G = GL(m|n), Q(n), SpO(2n|ℓ) の場合には既に知られており，今回の
結果は他のスーパー群への一般化を得たことになる．
参考文献
[1] R. Fioresi, F. Gavarini, Chevalley supergroups, Mem. Amer. Math. Soc. 1014 (2012).
[2] J. C. Jantzen, Representations of algebraic groups, second edition, Mathematical Surveys
and Monographs 107, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2003).
[3] A. Masuoka, T. Shibata, Algebraic supergroups and Harish-Chandra pairs over a commutative ring, arXiv:1304.0531 [math.RT] (2013).
本研究は日本学術振興会特別研究員奨励費 (課題番号:26・2022) の助成を受けて行われたものです．
∗
e-mail: [email protected]
Generalized complexes associated with repetitive categories
Yasuaki Ogawa∗
Throughout this talk k denotes a commutative field. We construct generalized complexes
from a given self-injective k-category A, which are called A-complexes. Here we call a k-category
A self-injective if it is locally bounded and its module category ModA is a Frobenius abelian
category. The first aim of this talk is to define the “homotopy category” KA (R) of A-complexes
in ModR for a k-category R.
On the other hand, due to [IKM], it was shown that we can define the homotopy category
KN (R) and the derived category DN (R) of N -complexes in a module category ModR, where
N -complexes are graded objects with N -diﬀerentials d (dN = 0). Moreover there exists a triangle
equivalence between the derived category of N -complexes and the ordinary derived category:
DN (R) ≃ D(TN −1 (R))
(∗)
where TN −1 (R) is a lower triangular matrix.
Next, we concentrate to the repetitive category Aˆ of a non-empty k-category A, as proposed
by Hughes and Wach¨ach (See [Hap]). It is well-known that Aˆ is self-injective, so we define a class
ˆ
of A-complexes,
which contains ordinary complexes and N -complexes. In fact if A = k, that is, a
k-category consisting of only one object and its identity, its repetitive category Aˆ is nothing but
ordinary complexes in some sence. And if A = TN −1 (k) its repetitive category Aˆ can be regarded
as N -complexes. What is the relation between this fact and the equivalence (∗)? The second aim
ˆ
is to answer this question, that is, we can construct the derived category of A-complexes
in ModR
ˆ
and moreover there exists an equivalence between the derived category DAˆ(R) of A-complexes
and the ordinary derived category D(A ⊗k R) of a k-category A ⊗k R:
DAˆ(R) ≃ D(A ⊗k R).
References
[Hap] D. Happel, Triangulated Categories in the Representation of Finite Dimensional Algebras,
London Mathematical Society Lecture Note Series, 119. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
[IKM] O. Iyama, K. Kato, J. Miyachi, Derived categories of N -complexes, arXiv:1309.6039
∗
[email protected]
1