2014年度後期数学 C 確認問題 11 11．フーリエ変換の応用2：波動

2014 年度後期数学 C 確認問題 11
2015 年 1 月 6 日配布
作成者：若杉勇太
学籍番号：
氏名：
11．フーリエ変換の応用２：波動方程式の初期値問題
問 11.1 関数 f = f (x) : R → C は R 上絶対可積分で，微分可能かつ f ′ も R 上絶対可積分であるとする．こ
のとき，
F[f ′ ](ξ) = iξF[f ](ξ)
を示せ．
問 11.2 関数 u = u(x, t) が波動方程式
∂2u
∂2u
(x, t) − c2 2 (x, t) = 0
2
∂t
∂x
を満たすとき，u のフーリエ変換 u
ˆ(ξ, t) は
∂2u
ˆ
(ξ, t) + c2 ξ 2 u
ˆ(ξ, t) = 0
2
∂t
を満たすことを確かめよ（形式的な計算でよい）．
1
問 11.3
{
χ[−ct,ct] (x) =
1, −ct ≤ x ≤ ct,
0, それ以外
とおく（このような関数を区間 [−ct, ct] の定義関数とよぶ）．このとき，
√
F[χ[−ct,ct] ](ξ) =
が成立することを示せ．
2
2 sin(cξt)
π
ξ

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