物理情報数学 C 演習問題/解答
2015/1/8
【問題】
(1)
部分分数展開を用いて，つぎの関数の逆 z 変換を計算せよ．
X(z) =
z
(2z − 1)(z − 1)2
(2)
差分方程式
5
1
x(k + 2) − x(k + 1) + x(k) = 0
6
6
を z 変換を用いて解け．ただし，x(0) = 0, x(1) = 1 とする．
1
【解答】
(1)
与式の両辺を z で割り，部分数展開すると
X(z)
1
=
z
(2z − 1)(z − 1)2
α
β
γ
=
+
+
2
2z − 1 (z − 1)
z−1
とできる．留数計算を用いて α, β, γ を求めると
X(z) =4
α = (2z − 1) ·
z z= 1
2
X(z)
β = (z − 1)2 ·
=1
z z=1
d X(z)
z γ = (z − 1) ·
= −2
dz z=1
となる．よって X(z) は
X(z)
4
1
2
=
+
−
z
2z − 1 (z − 1)2
z−1
4z
z
2z
X(z) =
+
−
2z − 1 (z − 1)2
z−1
2z
z
2z
=
1 + (z − 1)2 − z − 1
z−2
と分解できる．これを変換対を用いて逆 z 変換すると
)
( ( )
k
1
x(k) = 2
+ k − 2 us (k)
2
となる．
2
(2)
与式を z 変換すると
(
) 5
1
z 2 X(z) − z − zX(z) + X(z) = 0
( 62
)6
6z − 5z + 1 X(z) = 6z
となる．よって
X(z)
6
=
z
(2z − 1)(3z − 1)
6
3· 12 −1
6
2· 13 −1
−
2z − 1 3z − 1
12
18
=
−
2z − 1 3z − 1
(
)
1
1
=6
−
z − 12
z − 13
(
)
z
z
X(z) = 6
−
z − 12
z − 13
=
と，部分分数展開できる．これを逆 z 変換すると
(( )
( )k )
k
1
1
x(k) = 6
us (k)
−
2
3
となる．
3
【解答時のポイント】
• 差分方程式の z 変換を復習する．（x(k+2) を z 変換すると z 2 X(z)−z 2 x(0)−zx(1)
になる．）
• us (k) を付け忘れないようにする．
• 留数計算を気を付ける．
4

Ans3

｢大阪市立十三市民病院産業廃棄物処理業務｣にかかる質問の回答