数理物理1演義 No. 4 略解 1. ストークスの定理より ∮ ⃗V · d⃗r = ∫ (V

数理物理１演義 No. 4 略解
1. ストークスの定理より
I
∫
V⃗ · d⃗r =
C
∫
⃗
(∇ × V⃗ ) · dS
D
=
2dS
D
= 2S
2.
(1), (2)15k
(3)W = 12 (x22 − x21 ) + 12 (y22 − y12 )
3. 図略
∫
∫
2π
V⃗ · d⃗r =
C
(3t, cos t, sin t) · (− sin t, cos t, 3)dt
∫ 2π
∫ 2π
=
(−3t sin t)dt +
cos2 tdt
0
(
)
∫
∫ 2π 0
1 2π
2π
(1 + cos 2t)dt
= 3 [t cos t]0 −
cos tdt +
2 0
0
0
= 6π + π
= 7π
4.
(1)
∫
⃗r · n
ˆ dS = 1 + 1 + 1 = 3
S
(2)
∫
∫
⃗r · n
ˆ dS =
S
∇ · ⃗rdr = 4π
V
5. z(x, y) = −2x − 2y + 2 より zx = zy = −2
1
(1)
∫
∫ ∫
√
ϕ 1 + zx2 + zy2 dxdy
ϕdS =
S
∫
1
∫
1−y
3(x − 1)2 dxdy
=
∫0 1
0
(1 − y 3 )dy
=
0
3
=
4
(2)
∫
∫
2 2 1
(y, z, 0) · ( , , ) · 3 · dxdy
3 3 3
∫D1 ∫ 1−y
=
{2y + 2(−2x − 2y + 2)}dxdy
0
0
∫ 1 ∫ 1−y
=
(−4x − 2y + 4)dxdy
0
0
∫ 1
=
(2 − 2y)dy
V⃗ · n
ˆ dS =
S
0
=1
6.
dmS
=−
dt
∫
ρ⃗v · n
ˆ dS
S
∫
また
m=
ρdV
V
なので、ガウスの定理より
∂ρ
= −∇ · (ρ⃗v )
∂t
2

Download Report