7の解答

解答集 Ver.2 2014 年 6 月 4 日 (水) 担当：安部哲哉
7
行列式
7-1 の答


1 3 2
det  4 14 12  = 2
5 16 13


1
2 −3
5 −5  = −2
det  3
−2 −3 4
7-2 の答


[
]
[
]
[
]
1
2 −3
5 −5
2 −3
2 −3


3
5 −5 = det
(1) det
− 3 det
− 2 det
=2
−3 4
−3 4
5 −5
−2 −3 4
(2), (3) は略。
7-3 の答

2 3 0
det  2 −3 5  = 5
3 4 0


0 9 3
det  0 −5 4  = 153
3 11 31


5 0 3
det  21 7 4  = 308
2 0 10

コメント：余因子展開を使うと計算が楽になる。(符号には要注意！）
7-4 の答


1 2 −3
det  3 5 −5  = 0
5 9 −11


1 2 −1
det  2 1 4  = 0
−1 1 −5
7-5 の答計算すれば容易に証明できる。（外積と行列式の定義は知っているとする。）
7-6 の答 (1) ファンデルモンドの行列式という由緒正しいものです。標準的な証明は次
のものです。






1 1 1
1
1
1
1
1
1
z−x 
(1) det  x y z  = det  0 y − x z − x  = det  0 y − x
2
2
2
2
2
2
2
2
x y z
x
y
z
0 y − x z 2 − x2
[
= det
y−x
z−x
y 2 − x2 z 2 − x2
]
= (y − x)(z 2 − x2 ) − (z − x)(y 2 − x2 ) = (z − x)(z − y)(y − x)
コメント：最初の２つの等式の変形の仕方は授業では教えていません。従って、テスト
には絶対出ない。頑張れば、定義から直接証明できると思ったのですが、いまのところ
できていません。
(2) 計算するだけだが、難易度が高かったかもしれない。


y+z
x
x
z+x
y  = (y + z)(z + x)(x + y) + 2xyz − xz(x + z) − xy(x + y) −
det  y
z
z
x+y
zy(y + z) = 4xyz
7-7 の答真面目に計算するだけ。
7-8 の答真面目に計算するだけ。
7-9 の答すべての項を a∗ b∗ c∗ という形に直せば、チェックできる。

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