微分 する 二値化 する 輝度 ディジタル信号(1次元) 250 250 200 200 150 150 250 100 100 50 50 微分 0 -50 50 100 150 200 250 200 150 0 100 100 100 -50 50 50 -100 64 -100 50 100 150 200 250 0 位置 50 100 150 200 250 「二値化」の後 変化点を検出 -64 50 50 100 150 200 250 「微分」の後 50 100 150 200 ディジタル信号 もとの「画像」 位置 微分 ディジタル信号(2次元) All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 様々な 「微分」 の結果 横方向に微分 縦方向に微分 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology ディジタル信号(2次元) All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 縦方向および横方向 様々な 「エッジ検出」 の結果 横方向に微分して二値化 縦方向に微分して二値化 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 縦方向および横方向 250 「微分」 のプログラム x(4) x(5) 6x(0) x(1) 4 x(2) x(3) 2 0 0 1 2 3 4 「微分」のプログラム y ( n ) x ( n ) x ( n 1) 但し、 n 5 (N=6) 「微分」 の シグナル・フロー INPUT n 0,1,2,, N 1, x ( 1) 0 遅延 微分 -1 引く y(0)= 4 y(1)= 4 y(2)= 2 y(3)= 2 y(4)= 6 y(5)= 6 y(6)= 0 y(n) : Output Signal 6 4 2 0 n -2 変化点 -0= 4 -4= 0 - 4 = -2 -2= 0 -2= 4 -6= 0 - 6 = -6 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology + OUTPUT All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 「微分」 の シグナル・フロー ディジタル信号の 「z変換」 x(n) INPUT x(n) データ 遅延 「微分」のプログラム -1 + x(n-1) All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology OUTPUT -x(n-1) x(n): [ x(0) x(1) x(2) x(3) ] y(n)= x(n) -x(n-1) z変換 X(z)= x(0) +x(1)z-1 +x(2)z-2 +x(3)z-3 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 「微分」 の シグナル・フロー X(z) = IN 微分を 「z変換」 で表す X(z) 4+4z-1+2z-2+2z-3 IN z-1 z-1 X(z)z-1=(4+4z-1+2z-2+2z-3)z-1 -1 引く + X(z)z-1 -1 引く + X(z) = 4+4z-1+2z-2+2z-3 X(z)z-1 = 4z-1+4 z-2+2z-3+2z-4 引く Y(z)= X(z) (1-z-1) これが 伝達関数 X(z)(1-z-1)=4+0z-1 -2 z-2+0z-3+2z-4 OUT 伝達関数 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology z変換と 「スペクトル」 信号の 「スペクトル」 データ データ x(n) : [ x(0) x(1) x(2) 2 2 6 6 ] X(z) = 4 +4z-1+2z-2+2z-3+6z-4+6z-5 X(z) = x(0) +x(1)z-1 +x(2)z-2 スペクトル スペクトル x(n) : [ 4 4 ] z変換 z変換 OUT X(ejω)= x(0) +x(1)e-jω +x(2)e-j2ω 但し、e jω =cosω + j sinω All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology X(ejω)= 4 +4e-jω+2e-j2ω+・・・ =|X(ejω)|・ exp(j ∠ X(ejω)|) FFTで計算 周波数振幅特性 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 微分の 「周波数特性」 フィルタ h(n) : [ 1 -1 ] 微分による 「スペクトル」 の変化 = [ h(0) h(1) ] スペクトル X ( z) X ( e j ) z-1 z変換 スペクトル -1 -1・z-1 H(z) = 1 X(ejω)= + 0 Y ( z) 2 1 = (1e+jω/2 -1e-jω/2)・e-jω/2 = 2sin(ω/2) ・je-jω/2 Y ( z) H ( z) 1 z 1 H ( e j ) 周波数振幅特性 H ( z) X ( z) H ( e j ) 0 2 sin( / 2 ) je j / 2 0 微分による 「スペクトル」 の変化 スペクトル X ( e j ) 0 角周波数 ω π かける X ( z) 雑音を消す 2 j H (e ) -1 Y ( z) + フーリェ 変換 0 π 角周波数 ω π Y ( e j ) 0 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 角周波数 ω All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 角周波数 ω π 角周波数 ω π Y ( e j ) All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology z-1 π かける -1e-jω フーリェ 変換 角周波数 ω 平滑化による ノイズ除去 平滑化による ノイズ除去 1/2 X(z) X ( e j ) z-2 フーリェ 変換 0 1/2 角周波数 ω 0 π かける + Y(z) 1 1/2 H ( e j ) (1 z 2 ) / 2 H ( e j ) cos e j 角周波数 ω π H ( e j ) 角周波数 ω 足す フィルタ 消える All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 0 0 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology ② 信号の性質 信号 遅延 足す フィルタ (但し、2で割る) ≒信号 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 角周波数 ω π 角周波数 ω π Y ( e j ) π ① 雑音の性質 遅延 Y(z) フーリェ 変換 0 雑音 + Y ( e j ) All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology π 1 z-2 0 角周波数 ω かける X(z) 1/2 H ( z) X ( e j ) (但し、2で割る) ③ フィルタの線形性 フィルタの実現方法 IN 信号 雑音 フィルタ 劣化 フィルタ フィルタ 消える ≒信号 遅延 足す + 復元 OUT (但し、2で割る) All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology フィルタの実現方法 1/2 IN 雑音 消える 遅延 1/2 信号 (但し、2で割る) + 「z変換」で表す OUT ≒信号 フィルタ 劣化信号 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 復元信号 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology フィルタの仕組み x(0) h(0) x(1) ・・・ X(z) IN 0 1 フィルタを 「z変換」で表す h(0) 2 遅延 z-1 x(0) X(z)z-1 0 X(z) IN n z-1 h(1) x(1) ・・・ n 1 2 = x(0) +x(1)z-1 + 遅延 X(z)z-1 = h(1) + x(0)z-1+x(1)z-2 y(1) y(0) Y(z) y(2) 0 1 2 Y(z) OUT ・・・ n All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology フィルタを 「z変換」で表す h(0) 入 力 X(z) = x(0) +x(1)z-1 フィルタは 「畳み込み」 入 力 × z-1 伝達関数 H(z) = 伝達関数 出 力 Y(z) = {h(0)+h(1)z-1} X(z) 出 力 Y(z) = {h(0)+h(1)z-1} X(z) z変換 x(0) x(1) ・・・ 0 1 *畳み込み h(0) h(1) 0 y(0) 0 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology n 2 1 2 n = z変換 H(z) = h(0)+h(1)z-1 = + X(z) = x(0) +x(1)z-1 × h(0)+h(1)z-1 = h(1) OUT 伝達関数 H(z) All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology X(z) = X(z) {h(0)+h(1)z-1} y(1) 1 y(2) 2 ・・・ n フィルタの 「周波数特性」 X(ejω) 入 力 × H(ejω) × 伝達関数 H(z) = = Y(ejω) X(z) 出 力 x(1) ・・・ 0 1 h(0) h(1) 0 2 n 0 y(1) 1 n 0,1, , N 1 N 1 X (z) z変換 , K 1 k 0,1, , K 1 H (z) z変換 2 ・・・ n x(n) z n n0 M 1 x(m k )h(k ) k 0 Y (z) h(k ) z k k 0 K 1 y (m) y(2) × 積 * 畳み込み h(k ) = ejω All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 1 , n 2 *畳み込み y(0) z= = cosω + j sinω x(n) = z変換 x(0) = 周波数特性 Y(z) フィルタ と z変換 y (m) z m m 0 z変換 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 使用するフィルタ h(0)=0.5 X(z) 何故、雑音を 消せるのか? h(0) z-2 h(2) フィルタ係数 n h(0) = 0.5 h(2) = 0.5 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology h(2)=0.5 + Y(z) 伝達関数 H(z) = h(0)+h(1)z-1+h(2)z-2 = 0.5 + 0.5z-2) 雑音の性質 雑音 * →n フーリエ 変換 × フィルタ係数 ω = 復元信号 n × フィルタ係数 復元信号 n フーリエ 変換 →n ω ω →n フィルタ を スペクトル で捉える フーリエ 変換 復元 された スペクトル 元の画像 劣化の原因 がかわる! フーリエ 変換 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology ω 消 滅 雑音が 0倍され 消える →n フィルタ係数 →n All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 復元できる理由 * * 雑音の 成分 = All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 劣化信号 = n 0 劣化信号 ω = = 消える 復元できる理由 雑音の 成分 劣化した画像 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology スペクトル フィルタ を スペクトル で捉える 雑 音 雑音 フーリエ 変換 ⇔ 分離 見方を変えて 信号と雑音を 分離する いろいろな フィルタ 劣化の原因 がかわる! フーリエ 変換 劣化した画像 スペクトル All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 低域通過フィルタ (画像の例) 低域通過フィルタ 入力信号 IN a * * * a 0.5 伝達関数 = = = 0 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology b 暈かし の効果 出力信号 0 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology z-1 b + OUT 低域通過フィルタの 計算法 = * = * = * * + = = = -1 + 0 エッジの 検出 0 0 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology 高域通過フィルタ 入力信号 高域通過フィルタの 計算法 = IN +1 * * 伝達関数 1 -1 = OUT + = 0 All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology = + * = All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology z-1 = * = = -1 出力信号 0 * 1 = = = 0 高域通過フィルタ (画像の例) + 0 0
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