微分する
二値化する
輝度
ﾃﾞｨｼﾞﾀﾙ信号（１次元）
250
250
200
200
150
150
250
100
100
50
50
微分
0
-50
50
100
150
200
250
200
150
0
100
100
100
-50
50
50
-100
64
-100
50
100
150
200
250
0
位置
50
100
150
200
250
「二値化」の後
変化点を検出
-64
50
50
100
150
200
250
「微分」の後
50
100
150
200
ﾃﾞｨｼﾞﾀﾙ信号
もとの「画像」
位置
微分
ﾃﾞｨｼﾞﾀﾙ信号（２次元）
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様々な「微分」の結果
横方向に微分
縦方向に微分
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ﾃﾞｨｼﾞﾀﾙ信号（２次元）
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
縦方向および横方向
様々な「エッジ検出」の結果
横方向に微分して二値化
縦方向に微分して二値化
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縦方向および横方向
250
「微分」のプログラム
x(4) x(5)
6x(0)
x(1)
4
x(2) x(3)
2
0
0
1
2
3 4
「微分」のプログラム
y ( n )  x ( n )  x ( n  1)
但し、
n
5
(N=6)
「微分」のｼｸﾞﾅﾙ･ﾌﾛｰ
INPUT
n  0,1,2,, N  1,
x ( 1)  0
遅延
微分
-1
引く
y(0)= 4
y(1)= 4
y(2)= 2
y(3)= 2
y(4)= 6
y(5)= 6
y(6)= 0
y(n) : Output Signal
6
4
2
0
n
-2
変化点
-0= 4
-4= 0
- 4 = -2
-2= 0
-2= 4
-6= 0
- 6 = -6
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+
OUTPUT
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「微分」のｼｸﾞﾅﾙ･ﾌﾛｰ
ディジタル信号の「ｚ変換」
x(n)
INPUT
x(n)
データ
遅延
「微分」のﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑ
-1
+
x(n-1)
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OUTPUT
-x(n-1)
x(n): [ x(0) x(1)
x(2)
x(3) ]
y(n)= x(n) -x(n-1)
ｚ変換
X(z)= x(0) +x(1)z-1 +x(2)z-2 +x(3)z-3
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「微分」のｼｸﾞﾅﾙ･ﾌﾛｰ
X(z) =
IN
微分を「ｚ変換」で表す
X(z)
4+4z-1+2z-2+2z-3
IN
z-1
z-1
X(z)z-1=(4+4z-1+2z-2+2z-3)z-1
-1
引く
+
X(z)z-1
-1
引く
+
X(z) = 4+4z-1+2z-2+2z-3
X(z)z-1 = 4z-1+4 z-2+2z-3+2z-4
引く
Y(z)= X(z) (1-z-1)
これが
伝達関数
X(z)(1-z-1)=4+0z-1 -2 z-2+0z-3+2z-4
OUT
伝達関数
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ｚ変換と「スペクトル」
信号の「スペクトル」
データ
データ
x(n) : [ x(0) x(1)
x(2)
2
2
6
6 ]
X(z) = 4 +4z-1+2z-2+2z-3+6z-4+6z-5
X(z) = x(0) +x(1)z-1 +x(2)z-2
スペクトル
スペクトル
x(n) : [ 4 4
]
ｚ変換
ｚ変換
OUT
X(ejω)= x(0) +x(1)e-ｊω +x(2)e-ｊ2ω
但し、e jω =cosω + j sinω
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X(ejω)= 4 +4e-ｊω+2e-ｊ2ω+･･･
=|X(ejω)|・ exp(j ∠ X(ejω)|)
FFTで計算
周波数振幅特性
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微分の「周波数特性」
フィルタ
h(n) : [ 1
-1 ]
微分による「スペクトル」の変化
= [ h(0) h(1) ]
スペクトル
X ( z)
X ( e j )
z-1
ｚ変換
スペクトル
-1
-1・z-1
H(z) = 1
X(ejω)=
+
0
Y ( z)
2
1
= (1e+ｊω/2 -1e-ｊω/2)･e-ｊω/2
=
2sin(ω/2) ･je-ｊω/2
Y ( z)

H ( z)
 1  z 1
H ( e j ) 
周波数振幅特性
H ( z)  X ( z)
H ( e j )
0
2 sin(  / 2 )  je  j / 2
0
微分による「スペクトル」の変化
スペクトル
X ( e j )
0
角周波数 ω
π
かける
X ( z)
雑音を消す
2
j
H (e )
-1
Y ( z)
+
ﾌｰﾘｪ
変換
0
π
角周波数 ω
π
Y ( e j )
0
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角周波数 ω
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角周波数 ω
π
角周波数 ω
π
Y ( e j )
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z-1
π
かける
-1e-ｊω
ﾌｰﾘｪ
変換
角周波数 ω
平滑化によるノイズ除去
平滑化によるノイズ除去
1/2
X(z)
X ( e j )
z-2
ﾌｰﾘｪ
変換
0
1/2
角周波数 ω
0
π
かける
+
Y(z)
1
1/2
H ( e j )

(1  z 2 ) / 2
H ( e j ) 
cos   e  j
角周波数 ω
π
H ( e j )
角周波数 ω
足す
フィルタ
消える
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0
0
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② 信号の性質
信号
遅延
足す
フィルタ
（但し、２で割る）
≒信号
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角周波数 ω
π
角周波数 ω
π
Y ( e j )
π
① 雑音の性質
遅延
Y(z)
ﾌｰﾘｪ
変換
0
雑音
+
Y ( e j )
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π
1
z-2
0
角周波数 ω
かける
X(z)
1/2
H ( z)
X ( e j )
（但し、２で割る）
③ フィルタの線形性
フィルタの実現方法
IN
信号
雑音
フィルタ
劣化
フィルタ
フィルタ
消える
≒信号
遅延
足す
+
復元
OUT
（但し、２で割る）
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フィルタの実現方法
1/2
IN
雑音
消える
遅延
1/2
信号
（但し、２で割る）
+
「ｚ変換」で表す
OUT
≒信号
フィルタ
劣化信号
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復元信号
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フィルタの仕組み
x(0)
h(0)
x(1)
・・・
X(z)
IN
0
1
フィルタを「z変換」で表す
h(0)
2
遅延
z-1
x(0)
X(z)z-1
0
X(z)
IN
n
z-1
h(1)
x(1)
・・・
n
1 2
= x(0)
+x(1)z-1
+
遅延
X(z)z-1
=
h(1)
+
x(0)z-1+x(1)z-2
y(1)
y(0)
Y(z)
y(2)
0
1
2
Y(z)
OUT
・・・
n
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フィルタを「z変換」で表す
h(0)
入力
X(z) = x(0) +x(1)z-1
フィルタは「畳み込み」
入力
×
z-1
伝達関数
H(z) =
伝達関数
出力
Y(z) = {h(0)+h(1)z-1} X(z)
出力
Y(z) = {h(0)+h(1)z-1} X(z)
z変換
x(0)
x(1)
・・・
0
1
＊畳み込み
h(0) h(1)
0
y(0)
0
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n
2
1
2
n
＝
z変換
H(z) =
h(0)+h(1)z-1
＝
+
X(z) = x(0) +x(1)z-1
×
h(0)+h(1)z-1
＝
h(1)
OUT
伝達関数
H(z)
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X(z)
= X(z) {h(0)+h(1)z-1}
y(1)
1
y(2)
2
・・・
n
フィルタの「周波数特性」
X(ejω)
入力
×
H(ejω)
×
伝達関数
H(z)
＝
＝
Y(ejω)
X(z)
出力
x(1)
・・・
0
1
h(0) h(1)
0
2
n
0
y(1)
1
n  0,1,  , N  1
N 1
X (z)
z変換
,
K 1
k  0,1,  , K  1
H (z)
z変換
2
・・・
n


x(n) z  n
n0

M 1
x(m  k )h(k )
k 0

Y (z)
h(k ) z  k
k 0
K 1
y (m)
y(2)

× 積
＊畳み込み
h(k )

＝
ejω
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
1
,
n
2
＊畳み込み
y(0)
z=
= cosω + j sinω
x(n)
＝
z変換
x(0)
＝
周波数特性
Y(z)
フィルタとｚ変換


y (m) z  m
m 0
z変換
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使用するフィルタ
h(0)=0.5
X(z)
何故、雑音を
消せるのか？
h(0)
z-2
h(2)
フィルタ係数
n
h(0) = 0.5
h(2) = 0.5
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h(2)=0.5
+
Y(z)
伝達関数
H(z) = h(0)+h(1)z-1+h(2)z-2
= 0.5
+ 0.5z-2)
雑音の性質
雑音
＊
→n
ﾌｰﾘｴ
変換
×
フィルタ係数
ω
＝
復元信号
n
×
フィルタ係数
復元信号
n ﾌｰﾘｴ
変換
→n
ω
ω
→n
フィルタをスペクトルで捉える
ﾌｰﾘｴ
変換
復元
された
スペクトル
元の画像
劣化の原因
がかわる！
ﾌｰﾘｴ
変換
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ω
消
滅
雑音が
０倍され
消える
→n
フィルタ係数
→n
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復元できる理由
＊
＊
雑音の
成分
＝
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劣化信号
＝
n
0
劣化信号
ω
＝
＝
消える
復元できる理由
雑音の
成分
劣化した画像
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スペクトル
フィルタをスペクトルで捉える
雑
音
雑音
ﾌｰﾘｴ
変換
⇔
分離
見方を変えて
信号と雑音を
分離する
いろいろな
フィルタ
劣化の原因
がかわる！
ﾌｰﾘｴ
変換
劣化した画像
スペクトル
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低域通過フィルタ（画像の例）
低域通過フィルタ
入力信号
IN
a
＊
＊
＊
a
0.5
伝達関数
＝
＝
＝
0
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
b
暈かし
の効果
出力信号
0
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
z-1
b
+
OUT
低域通過フィルタの計算法
＝
＊
＝
＊
＝
＊
＊
＋
＝
＝
＝
-1
＋
0
エッジの
検出
0
0
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
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高域通過フィルタ
入力信号
高域通過フィルタの計算法
＝
IN
+1
＊
＊
伝達関数
1
-1
＝
OUT
＋
＝
0
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
＝
+
＊
＝
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
z-1
＝
＊
＝
＝
-1
出力信号
0
＊
1
＝
＝
＝
0
高域通過フィルタ（画像の例）
＋
0
0