inupri.web fc2 com)
赤 阪 正 純 (httpン ク
数学的帰納法その ② (4)
い
き
て
っ
み
よτ
引
続
や
■醸証
はで
し
[J
'ま
下書 き (準 備編 )
問接証明法 による解法
考え方 π =々 の ときの 式 は 自由 に使 って よいの
だ か ら,こ の 式 に手 を加 えて ,κ
=た +1の ときの
式へ進 んでいくには,ま ずどうすれば良いので しょ
うか 少 しでも近づ けるためには ……
すると,ま ず は,両 辺 に (力
+1)2を 加 えればよい
ことに気付 くはず よって
,
↓ どうする?
b
ノ
+′ 十
メ
+… ″<￨■
´
う∼ん
lア
<壺製
子■
下書 き (思 考錯誤編 )
メ +′ +メ
+… +″ <Ψ
↓両辺に(た +1)2を 加える
θ
寓、
7,ぅ
/′
2… ①
ノ十ノ+ノ +… +ノ 十い 02<■響与 ぃ 。
↓ どうする?
メ+ノ +メ 十一 +′
び
″
う、ん
+け D2<寧
…②
さて,こ こか らが問題 です.等 式証明 の場合 の ように 「(① の右辺 )=(② の右辺 )」 であれば何 の問題 も
ないのですが,明 らかにそうなっていません.ど うすればよいので しょうか
Point
ス <β とい う情報がわかっているとき,ス
<Cで あることを И と Cを 直接比較せ ず に証明するには
,
β ≦ Cと い う条件 を証明すればよい
A<β
↓―
B≦ C
ス <C
つ ま り,直 接比較せ ずに問接比較する ことで大小関係を証明する
.
″ 注 先 ほどと不等号 の向きが逆 ですが,考 え方 は全 く同 じです
マ
ら,よ りt
・ミ
Zム ースレ
嘲餞だっ今 マ■たソ
“
つ
ま
%ノ +′ +メ +… +′ +ぃ o2<■響≒ぃ o2
という情報から メ+′ +ノ
+…
+″
+0+⇒ 2<Ψ
■ギ _
劉
ヨ
を
証
明
す
よ≒ ら 。げ ≦
を証明すればよいのです
い量■テTcン が
日り ご李ソ
まグ。
'
争 得rr
数学的帰納法その②(5)
赤阪 正 純 (http″ 缶upri web fc2 com)
したがって ,証 明 の流 れ をまとめると
,
名 ヒ
τし た ∼
下書 き (完 成版)
メ十′十メ +…
↓両辺￨こ
(ん
+″
<Ψ
―
+1)2を 力
日える
″ t,か
J!
ノ十ノ十♂+… +ノ +o十 D2<■ 響≒ ∝十D2
―
↓ ←
1)3 + (た
(た
も
+1)2≦
+2)3
(た
″九ば∼
を示す
¨十″ +0+D2<Ψ
メ+′ 十ノー
以上 の 下書 きを踏 まえて ,本 チ ヤンの解答 を作 成 します
基本 的 に ,こ の 下書 きをその まま写 してい くだ
けです
辺 )=■ 生 二庄
む
0 [I]π =1の とき,(左 辺 )=12=1, (右
(左 辺 )<(右 辺 )よ り,π =1の とき成 立す る
==:
[II]π =た の とき成 立す る と仮定 す る と
,
メ+′ 十♂+… +ノ
両辺 に
(力
+1)2を 加 え る と
メ 十′ 十♂ 十
,
十ノ
一
<Ψ
+け
こ
と
ろ
で
,″ rメ η
…
り
D2<■
響
導
← 十
D2…
①
:lコ
+(力
Ψ
(た
+1)2_Ψ
+1)3+3(λ +1)2_(ヵ +2)3
λ3+3た2+3た
3
+1+3た 2+6カ +3-(た 3+6た 2+12λ +8)
<0
=キ
些
生
っ
て≦
ょ
もl+(た +1)2< (た
J⊇
,
卜
2)3
2「
① , ② よ り,12+22+32+… … .十 々
(た +1)2<寧
=た +1の ときの成立を意味 して いる
り,す べての 自然数 πで成 立する
この式は,π
[I][II]よ
…(D
周 移 雄鞣ス t
マ2,一 ιた な、
郎
珍
十ッネーィ
■
数学的帰納法その②(6)
赤阪正 純 (httμ グ nupri.web.fc2.com)
この問題 では数学的帰納法 で証明す るように指定 されているので ,数 学的帰納法 で証明 しました
参目
が,他 の方法 でも証明で きます.な かなか面 白い方法なので,参 考 までに 2通 りの別解 を紹介 しましょう
メ十′ +ノ
別解
l
+…
+″
<げ
Σ た2の 公式を利用する方法
.
2=
12+22+32+… …+ノ =当 た
々
=1
なので
御 鋒鴛 御
を自由な魏 珊 明せよ
1,π
(π
+1)(2π
+1)
/
おτじ汁り
な穴7う
“
,
:π (π
+1)(2η
簿げ
孝
襲蜂 問
+1)<≦ ZL:テ 12L
:ヵ
を証 明す れ ば よい
(右 辺 )一 (左 辺)=垂
θろ
ゅぅ∼
生 二生 ―
―
卜1)(2π
き
:π (π
=: (π +1){2(π
+1)
+1)2_π (2π +1)}
卜1)(2π 2+4π +2-2ノ
=:(π ―
ー π)
りえ7ギ 2
『
よ
を然.■ tt3(等 ヽ
'7_‐
=:(π +1)(3π +2)>0
著に
よって,も との不等式 は成立す る
らん
■
珍注
もっ ともオー ソ ドックス な証 明 で すね
数学的帰納法よりもずっと素直な解答です
別解 2 定積分を利用 して面積比較する方法
放物線 y=″ 2と ″軸,″
=π +1で 囲まれ た部
分 (点 線部 )の 面積 は
1″
」
12・
2ご
″= [手 ]￨+1=
また ,右 図 の長 方形 の面積 の和 は
12+22+32+…
…
+″
(η
+1)3
3
ミ
簾 t♂
θ批与
う 0
僣
揮
''多
π -lπ
したが って ,図 よ り,長 方形 の面積 の和 よ りも放
+1
■
物線 で 囲 まれた部分 (点 線部 )の 面積 の方 が大 きい
ので
″ 注 面積 の大小比較 を利用 した画期的な方法
,
この解答 ,マ ジで凄 い と思いませ んか ?ま さか定積
が成 立す る
友
+…
¨
″ｏ
メ+ノ +♂
+ノ
<寧
め た哺ぼえ2'7
亦いイ
.健 勤″″
`
■ ぼ1171
分 が登 場す るなんて
でも,こ の考 え方 は数学 Ⅲ
では割 とよ くある考 え方 .い わゆる 「EXI分 求積法 J
とよばれ るとても重 要な概念 です
ろ学習 します.お 楽 しみに
3年 生 の 6月
ご
夕 lム ぃ
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