フィードバック制御入門 6 章演習問題【4】
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6 章演習問題【4】
開ループ伝達関数 L(s) が以下のように与えられるとき, ベクトル軌跡の概形を描き, フィードバック制御
系が安定となるゲイン K の範囲を求めよ. ただし, Ti > 0, i = 1∼3, K > 0 とする.
(a)
K
s(T1s+1)(T2 s+1)
(b)
K
(T1s+1)(T2 s+1)(T3s+1)
【解答】
(a) ω が 0, ∞ のときの L(s) のゲインと位相を求め, ベクトル軌跡を描く. L(s) の周波数伝達関数は
L(jω) =
K
K
=
jω(jωT1 + 1)(jωT2 + 1)
−ω2 (T1 + T2 ) + jω(1 − ω2 T1 T2 )
(1)
より, ゲインは
K
|L(jω)| = (ω2 (T1 + T2 ))2 + ω2 (1 − ω2 T1 T2 )2
(2)
で与えられる. よって, ω が 0, ∞ のときの L(s) のゲインは
|L(0)| = ∞
|L(∞)| = 0
(3)
となる. また, 位相は ω ≈ 0, ω ≈ ∞ において
L(jω) ≈
K
jω
(ω ≈ 0),
L(jω) ≈
K
T1 T2 (jω)3
(ω ≈ ∞),
(4)
と近似できることから, 位相はそれぞれ
∠L(0) = ∠
1
= −90◦
j
∠L(∞) = ∠
1
= −270◦
(j)3
(5)
となる. よって, ベクトル軌跡の概形は図 1 のようになる.
次にゲイン K の範囲を求める. ベクトル軌跡が実軸と交わる位相交差周波数 ωpc は Im[L(jω)] = 0 が
成立することから
ω(1 − ω2 T1 T2 )K = 0 より ωpc = √
1
T1 T2
(6)
となる. このとき Re[L(jωpc )] は
Re[L(jωpc )] =
2
− TT11+T
T2
KT1 T2
K
=−
1
T1 + T2
+ j √T T (1 − 1)
1
(7)
2
となる. 安定となるためには, この点が (−1, 0) を越えなければよいので
−
KT1 T2
> −1
T1 + T2
つまり
K<
T1 + T2
T1 T2
(8)
を満たせばよい.
(b)
(a) と同様に, ω が 0, ∞ のときの L(s) のゲインと位相を求め, ベクトル軌跡を描く. L(s) の周波数伝
達関数は
K
(jωT1 + 1)(jωT2 + 1)(jωT3 + 1)
K
=
1 − ω2 (T1 T2 + T2 T3 + T3 T1 ) + jω(T1 + T2 + T3 − ω2 T1 T2 T3 )
L(jω) =
(9)
(10)
フィードバック制御入門 6 章演習問題【4】
2
より, ゲインは
|L(jω)| = K
(1 − ω2 (T1 T2 + T2 T3 + T3 T1 ))2 + (ω(T1 + T2 + T3 − ω2 T1 T2 T3 ))2
(11)
で与えられる. よって, ω が 0, ∞ のときの L(s) のゲインは
|L(0)| = K
|L(∞)| = 0
(12)
となる. また, 位相は ω ≈ 0, ∞ において
L(jω) ≈ K (ω ≈ 0),
L(jω) ≈
K
T1 T2 T3 (jω)3
(ω ≈ ∞)
(13)
と近似できることから, それぞれ
∠L(0) = 0◦
∠L(∞) = ∠
1
= −270◦
(j)3
(14)
となる. よって, ベクトル軌跡の概形は図 2 のようになる.
次にゲイン K の範囲を求める. ベクトル軌跡が実軸と交わる位相交差周波数 ωpc は Im[L(jω)] = 0 が
成立することから
2
ω(T1 + T2 + T3 − ω T1 T2 T3 )K = 0 より ωpc =
T1 + T2 + T3
T1 T2 T3
(15)
となる. このとき Re[L(jωpc )] は
Re[L(jωpc )] =
K
1−
T1 +T2 +T3
T1 T2 T3 (T1 T2
+ T2 T3 + T3 T1 )
=−
KT1 T2 T3
(16)
(T1 + T2 + T3 )(T1 T2 + T2 T3 + T3 T1 ) − T1 T2 T3
となる. 安定となるためには, この点が (−1, 0) を越えなければよいので
−
KT1 T2 T3
> −1
(T1 + T2 + T3 )(T1 T2 + T2 T3 + T3 T1 ) − T1 T2 T3
(17)
つまり,
K<
(T1 + T2 + T3 )(T1 T2 + T2 T3 + T3 T1 ) − T1 T2 T3
T1 T2 T3
(18)
を満たせばよい.
-K(T1+T2)
-1
Im
Im
ω = ωpc
ω=+
L ( jω )
Re
ω = ωpc
ω=+
ω=0
Re
-1
L ( jω )
ω=0
図 1: ベクトル軌跡
図 2: ベクトル軌跡