変換係数を基底毎にまとめる
2×2
DCT
2×2
DCT
DCT
再生画像
変換係数
変換係数 (sorted)
block
noise
発生
再生画像
成分の
一部を
除去
入力画像
変換係数を基底毎にまとめる
変換係数
変換係数 (sorted)
変換係数
1/4 に削減（4点のDCT）
4×4
DCT
DCT
DCT
そのまま
削減
Inv.
DCT
画素数を
1/4 に削減
Inv.
DCT
Delete
しない
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変換係数 (sorted)
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
削減せず（4点のDCT）
4×4
DCT
変換係数 (sorted)
成分の
一部を
除去
入力画像
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
変換係数
block
noise
発生
Delete
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
1/16 に削減（4点のDCT）
基底の長さ＝空間分解能＝２画素
基底長
4×4
DCT
DCT
2×2
逆DCT
削減
画素数を
1/16 に削減
再生画像
2画素ｼﾌﾄ
(分解能)
Inv.
DCT
変換係数 (sorted)
1つｼﾌﾄ
(最小単位)
2×2
DCT
ブロック
ノイズ
発生
Delete
入力画像
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
変換係数 (sorted)
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
基底の長さ＝空間分解能＝２画素
基底長
基底の長さ＝空間分解能＝２画素
基底長
2×2
逆DCT
再生画像
2画素ｼﾌﾄ
(分解能)
2×2
逆DCT
変換係数 (sorted)
1つｼﾌﾄ
(最小単位)
再生画像
2画素ｼﾌﾄ
(分解能)
2×2
DCT
入力画像
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
変換係数 (sorted)
1つｼﾌﾄ
(最小単位)
2×2
DCT
変換係数 (sorted)
入力画像
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
変換係数 (sorted)
空間
分解能
画像ｻｲｽﾞのDFT
なし
--８×８点のDCT 8画素
粗い
周波数により基底の長さを変えてみる
周波数変換係シフト
分解能数の数不変性
1/size 倍増
ある
細かい
1/8
同じ
ない
同じ
ない
細かい
２×２点のDCT 2画素
1/2
細かい
粗い
空間分解能
＝基底の長さ
全ての周波数で
基底の長さが同じ
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x00
x01
yLL
W2
W2
x11
2×2点のＤＣＴ
によるオクターブ分割
基底の長さ
←長い
短い→
4×4点のＤＣＴ
←低い
高い→
周波数
低い周波数
は長い基底
高い周波数
は短い基底
←低い
高い→
周波数
←低い
高い→
周波数
W2
W2
2×2点ＤＣＴによるオクターブ分割
周波数
が低い
yLH
2×2逆DCT
yHL
基底長
が長い
yHH
２×２点ＤＣＴ
画像信号
基底の長さは
全ての周波数
で同じ
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2×2点ＤＣＴによるオクターブ分割
x10
2×2点のＤＣＴ
周波数
←高い
低い→
直交変換の基底
オクターブ分割
変換係数 (sorted)
1つｼﾌﾄ
最小単位
画像
x00
x00
W2 
1
2
1  1
1  1


x01
x10
W2
W2
x11
W2
W2
２×２点ＤＣＴ
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yLLL
yLHL
yHLL
yHHL
７種類
の基底
分解能
が低い
2×2 DCT
オクターブ分割
ただし、
基底長＝分解能
４画素４画素
画像 (shift)
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変換係数 (sorted)
オクターブ分割のメリット
緩やかな振動
分解能
空間
４×４点のDCT
周波数
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄによるｵｸﾀｰﾌﾞ分割
細かい振動
空間
周波数
４画素
1/4
４画素
1/4
粗い
細かい
粗い
細かい
1/4
２画素
1/2
細かい
細かい
粗い
２×２点のDCT ４画素
粗い
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
周波数
が低い
5/3逆DWT
基底長
が長い
オクターブ分割
変換係数1つｼﾌﾄ
(sorted)
画像
分解能
が低い
最小単位
5/3 DWT
ただし、
基底長＝分解能
緩やかな振動は、周波数を正確に
細かい振動は、位置を正確に推定
オクターブ分割
ただし、
基底長＞分解能
７画素４画素
画像 (shift)
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変換係数 (sorted)
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ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄによるｵｸﾀｰﾌﾞ分割
ウェーブレットの基底
緩やかな振動
周波数
が高い
分解能
5/3逆DWT
基底長
が短い
オクターブ分割
変換係数
(sorted)
1つｼﾌﾄ
最小単位
画像
分解能
が高い
空間
２×２点のDCT ４画素
粗い
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
ウェーブレット４画素
粗い
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
細かい振動
周波数
空間
周波数
1/4
２画素
1/2
細かい
細かい
粗い
1/4
２画素
1/2
細かい
細かい
粗い
5/3 DWT
オクターブ分割
ただし、
基底長＞分解能
３画素２画素
ただし、
基底長＞分解能
画像 (shift)
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緩やかな振動は、周波数を正確に
細かい振動は、位置を正確に推定
変換係数 (sorted)
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「基底」の研究動向
・大きさが１（ノルムが１）
・互いに直交（内積が零）
３つの方法の違い
空間分解能
低周波高周波
４画素４画素
４×４点のDCT
粗い
粗い
２×２点のDCT
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割４画素２画素
ウェーブレット粗い細かい
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
方法
正規直交
・高周波は短い基底（wavelet）
・直交から双直交へ（条件を緩和）
・冗長性を持たせる（over complete）
（sparse）
・多次元方向性
（directional）
・シフト不変性
（complex）
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基底の長さ
＝分解能
＞分解能
隣の基底と
ｵｰﾊﾞｰﾗｯﾌﾟ
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基底を比べる
2×2点ＤＣＴ（ｵｸﾀｰﾌﾞ分割）
Ｌｅｎａ
の場合
空間分解能
＝基底の長さ
2×2
DCT
2点DCTの
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
基底
逆変換
変換係数 (sorted)
空間分解能
＜基底の長さ
入力画像
ﾌﾞﾛｯｸﾉｲｽﾞ
が顕著
変換係数 (sorted)
2×2
逆DCT
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
5/3 DWTの
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
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基底
DCT：ｺｻｲﾝ変換
DWT：ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄ
画質が
悪い
除去
再生画像
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変換係数 (sorted)
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄ（ｵｸﾀｰﾌﾞ分割）
4×4点のＤＣＴ
Ｌｅｎａ
の場合
Ｌｅｎａ
の場合
4×4
DCT
5/3
DWT
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
入力画像
ﾌﾞﾛｯｸﾉｲｽﾞ
が顕著
変換係数 (sorted)
入力画像
ﾌﾞﾛｯｸﾉｲｽﾞ
は軽減
4×4
逆DCT
除去
再生画像
変換係数 (sorted)
画質は
？？
除去
再生画像
変換係数 (sorted)
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
2×2点ＤＣＴ（ｵｸﾀｰﾌﾞ分割）
ｲﾝﾊﾟﾙｽは
全ての
基底の和
5/3
逆DWT
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
画質は
向上
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変換係数 (sorted)
4×4点のＤＣＴ
ｲﾝﾊﾟﾙｽは
全ての
基底の和
2×2
DCT
4×4
DCT
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
入力画像
ﾌﾞﾛｯｸﾉｲｽﾞ
が顕著
変換係数 (sorted)
入力画像
ﾌﾞﾛｯｸﾉｲｽﾞ
が顕著
2×2
逆DCT
変換係数 (sorted)
4×4
逆DCT
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
除去
再生画像
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
変換係数 (sorted)
除去
再生画像
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
変換係数 (sorted)
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄ（ｵｸﾀｰﾌﾞ分割）
ｲﾝﾊﾟﾙｽは
全ての
基底の和
２点の直交変換と回転 (45°)
5/3
DWT
x(2m+1)
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
x(2m)
ｵｸﾀｰﾌﾞ分割
除去
再生画像
変換係数 (sorted)
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
x(2m+1)
z +1
↓2
1/ 2
＋
1/ 2
x(2m+1)
-1
＋
y1(m)
y2(m)
y2(m)
＋
1
2
1  1  x(2m) 
1  1  x(2m  1)



２点の場合は
DCT = WHT = DFT
y1(m)
cos 
 sin 

y2(m)
 sin    x(2m) 
cos    x(2m  1)
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直交変換はフィルタバンク
↓2
-1
 y1 (m) 
 y ( m)  
 2

同じ
5/3
逆DWT
x(2m)
1/ 2
変換係数 (sorted)
ﾌﾞﾛｯｸﾉｲｽﾞ
が軽減
y1(m)
＋
45°回転
入力画像
x(n)
1/ 2
x(2m)
フィルタバンクの内部構造
45°回転
2点のＤＦＴ
2点のＤＣＴ
2点のＷＨＴ
x(n)
hL(0)
hL(1)
H ( z) 
y ( n)
＋
K 1

＋
 h (k ) x(n  k )
L
k 0
K 1
 h (k ) z
L
k 0
hL(2)
同じ
ダウンサンプラ
内部
フィルタバンク
x(n)
HL(z)
HH(z)
↓2
↓2
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y1(m)
y2(m)
x(n)
 H L ( z) 
 H ( z ) 
 H 

1 1
2 1

 1 1
 1  z 
HL(z)
↓2
y1(n)
[x(1) x(2) x(3) x(4)]
↓2
HH(z)
↓2
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y2(n)
[x(1) x(3)]
k
ウェーブレットもフィルタバンク
分割部
整数
入力
X(z)
+
P(z)
z
↓2
U(z)
+
↑2
-
R
R
R
YH(z)
一般に
合成部
YL(z)
↓2
5/3 DWTのフィルタ
U(z)
整数
出力
+
P(z)
z -1
R
-
↑2
R は整数化
同じ
X(z)
フィルタバンク
HL(z)
↓2
YL(z)
HH(z)
↓2
YH(z)
0  1 
 H L ( z )   1 U ( z 2 )  1


  
 
2


1  P( z ) 1  z 
 H H ( z)   0
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
0  1  1  U ( z 2 ) P( z 2 )  z
 H L ( z )   1 U ( z 2 )  1

  

   
2

1  P ( z ) 1  z  
P( z 2 )  z
 H H ( z)   0



5/3 DWTの場合
 P( z )    1 / 2 0  z  1 


  

1 / 4 1  z 1 
U ( z )   0
以上より
1
0  1 
 H L ( z )   1 ( z  z 1 ) / 4 

  

 

1


  ( z  z ) / 2 1  z 
1
 
 H H ( z)   0

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ＤＣＴとｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄ
フィルタの伝達関数の違い
2点 DCT
ＤＣＴとｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄ
フィルタの周波数特性の違い
2点 DCT
1
 H L ( z) 
 

 H H ( z) 

1 1 

2 1 

j
z 

z 
 | H L (e ) | 


 | H ( e j ) |  
 H

5/3 DWT
 cos( / 2) 


2

 sin( / 2) 


5/3 DWT




 H L ( z )  1  1  ( z  z 1 ) / 2 ( z  z 1 ) / 4  1 
 

  
 z 
 1  ( z  z 1 ) / 2
(
)
H
z
 H  
 
 | H L (e j ) |  1  1  cos  (cos  ) / 2 

 

 | H ( e j ) |   

1
cos



 H

0.5
0
0
1
2
3
正規化角周波数 [rad/s]
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
正規化角周波数 [rad/s]
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
9/7 DWTの基底とそのスペクトル
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの逆変換
基底のスペクトル
画像
DWTの基底
スペクトル
離散
ﾌｰﾘｪ変換
(DFT)
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
で表している
9/7 DWTの基底とそのスペクトル
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの逆変換
離散
ﾌｰﾘｪ変換
(DFT)
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの基底を
ﾌｰﾘｪ変換の基底の大きさ
All Rights Reserved / M.Iwahashi / Nagaoka University of Technology
9/7 DWTの基底とそのスペクトル
画像
DWTの基底
変換係数 (sorted)
スペクトル
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの逆変換
変換係数 (sorted)
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの基底を
ﾌｰﾘｪ変換の基底の大きさ
で表している
画像
DWTの基底
離散
ﾌｰﾘｪ変換
(DFT)
スペクトル
変換係数 (sorted)
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの基底を
ﾌｰﾘｪ変換の基底の大きさ
で表している
9/7 DWTの基底とそのスペクトル
ﾌｨﾙﾀﾊﾞﾝｸによる帯域分割
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの逆変換
X
HLL
↓D
LL1
HLH
↓D
LH1
HHL
↓D
HL1
HHH
↓D
HH1
ω2
ω1
スペクトル
1 stage
画像
DWTの基底
スペクトル
変換係数 (sorted)
LL
LH
HL
HH
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの基底を
離散
ﾌｰﾘｪ変換
(DFT)
ﾌｰﾘｪ基底の大きさ
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの基底を
で表している
ﾌｰﾘｪ変換の基底の大きさ
で表している
ﾌｨﾙﾀﾊﾞﾝｸによるｵｸﾀｰﾌﾞ分割
9/7 DWTの基底とそのスペクトル
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの逆変換
X
HLL
↓D
HLH
↓D
HHL
↓D
HHH
↓D
1 stage
画像
DWTの基底
離散
ﾌｰﾘｪ変換
(DFT)
スペクトル
変換係数 (sorted)
ｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄの基底を
ﾌｰﾘｪ変換の基底の大きさ
で表している
LL1
LH1
HL1
HH1
HLL
↓D
HLH
↓D
HHL
↓D
HHH
↓D
2 stage
LL2
LH2
ω2
HL2
HH2
ω1
スペクトル
2LL 2LH
1LH
2LH 2HH
1HL
1LH