中空国壌の自由振動
杵
磨
島
1.緒言
球或は園壌の振動の問題には古くから多くの人々に依って理論的結果
があげられてゐる。先づ C
.Chree は週期的乃表面歪力が働く場合の球の振動を解き
E・I431b は球設の自由振動を特にそり厚さが薄い場合をも論じ，更に Poysson;3h.
Lamb等に依って球髄の振動が取扱はれてゐる D 一方自由振動に及ぼす引力の影響は
Bromwich に依って考へられ，地球の spheroidalv
i
b
r
a
t
i
o
n の週期はそのために 66
i
分から
5
5分に減ぜられるといふ結果が得られてゐる。この方面の更に一般的な研究
には有名な Jeans の論文がある。之に依ると gravity や compressibility の影響を
入れた場合の地球の spheroidalvibration の週期はポアッソン比を X，且つ剛性率が
s
t
e
e
l と同ーとすれば約 1時間となる。一方境界が固定された球嘘の振動は P.Debge
等に依って解かれてゐる。
著者は簡単な場合として軸の方向に運動がたEい場合の中空国壌の自由振動の解を求
め Poisson の中空球韓の radialvibration，H.Lambの e
l
a
s
t
i
c plate の波動の解
と比較してみた。
(
1
)C
.C
h
r
e
e
;CambridgePhi.
l'
So
c
.T
r
a
n
s
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.1
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1
8
8
9
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2
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n
d
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もh
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o
c
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3
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i
s，Mem.del
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c
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18
2
9
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4
)H.Lamb; L
o
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h
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o
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c
. vol
.1
3
ぺ
.
L
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d
.M泊 h
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c
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c
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9
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y
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S
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1
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l
.2
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7
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n
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h
y
S
.
O
S
e
r
.4
)
，Bd.3
9，1
9
1
2
;
p
.7
8
9
2
. 中室園鷹の週期方程式饗位を‘ベクトル Oで表せば均質等方鰻 i
可の運動の方程
式は
θ
2
{
}
PEF=(λ+ft)grads+μy2{)・
.
.
.
.
.
.
.'
.
・
1 ，
1 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
・
・
・
・ (1)
div
で表される。設に pは密度， λ，
μ はラーメの弾性常数，ム =
1
J とする。国壕座標
〈払少)を用ふれば
ム=1JL
切れ)十 '
1
'a
{
}
r
p .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・ (2)
百
θ百
: 官
ι
θp
P2全引 2μl~~+~ 坐+工 a
a
t
2
¥
θ窃
2
(
a
{
}
a
1e
{
)
2 .o θ官
'1.
引
ダ
ノ
官2
θ
•••••••••••••••••• (3チ
2
{}r
1 ( θ 2 { }r;r¥ 2 (}{)中~ a
;
r
μ
i
ーヱ+一一一一つ
(
d
智一一:y
;')一一一一
r
P
一
一
{
a
窃
σ θliJ' ω ¥
ノ
ー ・窃 q
pJ
.
.
o
t
2
I
胃
E
ノ
aA
=
一 (X+μ)示
瓦
，
(109)
2
.，
'
1
.
、
(
a2{} ，1 a
{
}
t
(
J
t
(
J
1(
.
0
.
2
a
{
}'f1Y)
{) ¥ 2 a
acp“ノ~:.l a
伊
~
a
'
!
'
{
J
t
(
J
μ{一一旦+一 τーーで>1'ß'q， 一一一子)+つつート ~p一一一
ta窃 2
•
~
a官官・\
1 o
l
l
=一(入 +μ)
云
云
p
:'θt
'
;
!
.
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(4)
1
J
t に比例するとして上式を解けば偽伊方向の愛位は弐式で奥へら
i
愛位は e
i
n
t
pe
れる。
11.Án_~
，
.
. .~
，
.
.
1
v
t
=ート~n {
On+l(h
σ)-On-I(h百)}+ Bn{On+l(k官)+On-l(k，官)} e
'
i
n
r
pe
i
r
I
/Y
21 ゐ
l
1.
1An，
.~
，
.
...
. r，
.
，
.1
伊 =~I
{
帥
l
(
k窃.
ト l
(
k官)
}
2
i
lーヱ
h {O榊 l(h~)+On-l(hw)}
，. ，
.，
- --，-. 丸.
.
-O
.
.
.
，
.
，)-0
.，
'
'
1川
e
le
+
~.'V"\
伽
.
.
(5)
主
主
に
h2=ρ-EL
r入十 2μ'
F-k
一μ，， h v q，An，B"は住意の常数，0 はベツセル函
数を表す。
中2
さ園壌の内外の宇径を夫々 b，α とすれば，境界保件は句 =
α，b に於て
~.Q.
凶 +2μ72=0 =官官
θ 1
1a
{
}
o
一一九一一九+一一~=O
官 官 官 θp
f¥
.
}
ト
~.
I
..>......
・
・
・
(6)
白 pJ
C に第一，第二種園等函数を用ひ， (5) を (6) に代入すれば，官 =a，
b に於て
An[
入J，，(
h'
C
i
5
)十 μ{
J
'
n+l
(
h
百)ー J
'
n
l
(
h
'
C
i
5)}]+μ
B
ηた{
J
'
n
+
l(
k'
C
i
5
)
十J
'
n
l俳句)}+ A1( [i
¥Yn(
h百 )
+μ {Y'n+l(h窃)← Y'n
l
(
h百
)}]
+μBn'k{Y'n+l(kσ)+Y'ト l
(
k窃 )}=O
An{Jn+ヨ(
h'
C
i
5
)ー Jn2
(
h
官)}+kBn{Jn+~(k~)+Jn 一 :?(k'{jj)}
+An'[
Yn+2
(
h'
{
j
j
)-yト 2
(
h'
{
j
j
)
}+kB;{Y旬+2(k 'Ci5) 十 Yη _~(k'{jj)} :
:
:
0・
，
(7)
An An' BnB; を消去すれば自由振動の週期を定める式を得る。
3
. n=Oなる場合前に得た結果を用ひて n=Oとなる場合をしらべてみる。 p
e
r
i
o
de
q
u
a
t
i
o
n は (7
) より容易に導かれる。自P
ち
AJo(hα
)
+
2
μ J/(h
吋 AYo(hα)+2μ Y1'(h的
O
AJ
(hb)+2
μJ
1
'
(
h
め 入Yo(hb)+2μ，Y/(hb) 0
o
・
-(8)
o
0
・J
k
α
)
2(
F
o
0
J2
(
肋) Yz(kb)I
之より
J.Jkα)Y
(kb)-Y 2 (kα)J~(kb) =0 ・
2
或ひは
{AJo(hα
)+2μJ1
'
(
h
α
)
}{
A
Y
o
(
h
b
)十 2
μ，
Y/(hb)l'
(1)中野，中央気象憂歌文業報第一巻 p.256参 照
0
，
)
(
.
1
1
・
・(
9)
ー{
λJo(hb)+2
μJ/(hb)}{
λYo(hα)+2μY
l
'
(
hα
)
}=
0
.
;
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.・(
1
0
)
故に k
，
，
1
1
g
pち横及び縦の振動の週期は
，
2
1=0の場合は
(9) (
1
0
)式より夫々濁立に求められる o
(
5
) 式から判る様に r
a
d
i
a
l及び circumf
e
r
e
nt
i
a
lの愛位は共存する
事を許されや，一方が存在する時は他方は零となる。従って p
eriodequationが (9)
(
1
0
) の如く分離されるのは営然である。
，1
.
5，~2.0 の場合について (9) 式を満足する k の値を定
今外径と内径との比が1.2
めよう。との場合は Jahnke，Emdeの表から直ちに弐の結果が得られる。
α/
b
12
k
b
1
7
.
1
5
7
0 6
2
.
8
5
5
7 7
8
.
5
5
9
7 9
4
.
2
6
4
4
1
5
.
8
0
6
6 3
1.
4
6
5
6 4
1
.5
4
556 3
7
.
7
3
2
2
8
.
9
1
5
6 2
5
.
1
8
2
3 3
1.
2
.
6
6
4
8 1
6.
4
7
4
2 1
2
.
0
3.
4
'
侃3
6.
4
2
i
7
9
.
5
2
2
8 1
2
.
6
4
0
4 1
5
.
7
6
7
3 1
8
.
8
9
9
1
a を地球宇径 ¥
6，
3
iX103km にとり横波の速度を .
5
.
0km/sec とし， k
'
.
!
=竺p
.の関係
を用ひて振り振動の遁期を求むれば
一
μ
T (
分〉
..
1
.
2
7
.
0
4
3
.
5
3
2
.
3
6
1
.
8
6
1
:4
2
1
.1
8
1
.
5
'
1
3
.
7
4
7
.
0
2
4
.
7
0
2
.
0
1
9
.
6
1 1
0
.
3
8
7
.
0
1
3
.
5
3
2
.
8
3
2
.
3
6
5
.
2
8
4
.
2
3
3
.
5
3
となる，誌に T は週期で分を単位としてある。之に依ると勿 =0の場合の振り振動
の週期は園壌憾の厚さが大になる程大きくなる。
k
α，kb が甚だ大きい時 g
pち波長が宇径に比して甚だ短い時は (9) は:;7(の様に簡草
化される。
s
i
n
k
(α-b)=0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ・・・・・・・・・・・・・・・...............、..・・・・・ (11)
之より
k=三毛 ，p= 三主~Vs， s=1，
2・
α-10
α-0
(12)
之は H.Lambの平行板の波動の解に於て軸の方向(波の停播方向と一致する〉の
もh
earingmotion のみが存在する場合の period equation と一致する。
次に(10) の数値計算を行ふ。簡単のために円 gp~~ アツヅン比を?と沿い
て計算すれば
(
1
)P
r
o
c
.R
o
y
.S
o
c
.London..
v
o.
lx
c
n
r
.p
.1
2
2
，
，
(111)
hb
αj
b
1
.
2
.
.9 4
3
. 7
4
.
0
.
8
5
0
_1
5
.
6 31
7
. 6
9
. 9
1
.
5
0
.
7
7
2
. 3
8
.
6
.
3 1
2
.
6 1
9
. 2
5
. 31
2
.
0
0
.
6
5
5
4
3.
3
. 1
6
.
9. 1
6.
4
19~
となり前同様 αを地球宇径に等しくとれ且つ縦波の速度を V戸y3Vs=
8.66kmfsec
として週期を求むれば
α/
b
T(分)
1
.
2
7
5
.
5 4
.
0
8 1
.
9
7
1
.
5
.
4
6
6
:
6 7
.
9
5 4
.
6 1
.
1
0 2
.
7 2
.
0 1
.
7
.
0 0
.
8 0
1
.
4 1
2
.
0
.
'
58
.
8
.
0
2.
4 2
1
1
.
4 6
.
0 3
.
0
3 4
.
1
さてこの場合法前と異り長週期が一つづっ存在し，而も)享さが大になれば週期は短
'くなってゐる。而して第二第三以上の根より求めた週期は前に得た振り振動の週期に
匹敵するものぜ厚さが大に怠る程週期は大きくなってゐる。
h
α，hb が甚だ大きい時は (
1
0
)は
cosh(α_b
)=
0
，p=
(
2
8+1
)7T 一
V
一p一 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (
1
3
)
2 α -b
4
. 叫=1.の場合 period:
e
q
u
a
t
i
o
nは
。
(λ+2μ)J1(hα
) 九
( +2μ)Y1(hα
)
-2
u
J
.
μYika)
2
μ
E
2
7
μ~J2(hα)
一h
1
'
_Y2
(
h
a
)
α
九
( +2μ)
J
1
(
h
b
) (入十 2
μ)Y1(hb)
2
μ
伽)
，
-'
:
bJ2
1
n
αJ2
(
加)
一三
h
bJ
.
i
h
b
)
J
一2
α
μ
一J2(ka，)
一生
bJ(kb) 一生
;Y2(kb)1
=
0・・・ (14)
'
l
.
h
b
)
2
μ Y2(
hb
2
一 ~YZC加)
ゐα
k
J
z
'
(
kα
)
kY
'
(
kα
)
2
j
h
L
b
Y
2
(
h
b
)
kJ
'
(
k
b
)
2
k
Y
z
'
(
k
b
)
孔=
j
.
t と長き?第一行より第三行，第二行より第四行を減じ
kJ
'
(
kα)=-2Jz(
加 )+kJ
(
kα
)
2
1
α
を用ひて愛形すれば (
1
4
) は弐の様になる。
←
.
1
.
3
J1
(
h
α
13J
(
h
b
)
1
3Y1
(
h
a
)
ー J1
(
k
α)
3Y1
(
h
b
)
ー
J1
(
k
b
)
:
.
Y1(ka)I
(
k
b
}
1
-Y
1
(112)
一子-j2(hå) 一ーァY~伽)
n
α
n
α
¥
=
0
"，"，.:，
"
J
/
(
k
a
)
'Y
'
]
.
'
(
kα)占
，
".'，~'，' ，~:
、・・・(l 5)~)
一元刷)一
去叩 何州
Y2(μ
h
(
孔=μ
ん ，k
J
伊
h=V
f
i
忌'を用ひて〈ο
1い
5〕を i
満繭足する根を数値的 に
J乙求めると
l 叫ゆ配
川
b
肋
hb
i
1
.
2
9
.
0
1
9
.
8
， '
2
9
.
2
I
、
之より週期を出せば
T (分)
1
0
.
0
4
.
5
3
.
1
となる。
更に h
a
;hb
，kα，kb が充分大きい時は
父
r
_
.
4 (
1h¥ 1 1 1
一三一 +
1
1
十一一↓(.
;
-)+~ ~ I
s
i
n
h
(
α -b)sink(α-b)
δ
αbhk .1
-.h2αbl
¥k J.9J1
2
(
αb)
αbk
一一一:
;
:
;
c
o
s
h(α -b)cosk(α -::-，b) 一一一一一sinh(α~b)cosk(α -b)
3
αbhk
‘
2
(
α.
:
.
.
b
)
8αb
ゐ
一一一一~cosh(α -b)sink(α -b)=
0 ・・・・・・・・・・ー・・・・・・・・・・・・・・
!
5， 中室球躍の振動との比較
(1
6
)
hollow sphere の r
a
d
i
a
lv
i
b
r
a
t
i
o
n の問題は古くー
Poissonが解いたものがある (1) 印ち 4h2J
k2=
ν と烏けば p
e
r
i
o
de
q
u
a
t
i
o
n は弐の様
にたる。
Vhb+(h2b2-v)tan.
h
b.
(
h2b2-v)-vhbt
a
nhb
.Vkq+(h2a2-v)tanhα
(
h2a2-v)-vhα
t
a
n
h
α
・(
17)
'更に厚さが甚だ薄い時は週期は
..
(
1
8
)
で奥へられる，裁に σ は Poisson比である。
σ寸 ， 孔 引 vづ と 沿 い て 聞 を 計 算 す れ ば
h
b
α/
b
1
.2
1
.
3
5 2
.
7
3 4
.
3
2
1
.
5
1
.
1
4 233 3
.
7
5
4
.
8
0
2
.
0
1
.8
3
4
.
3
2
0
.
9
6
3
.
1
4
5
.
6
8
く1)L
o
v
e
:Ma
もh
.Theoryo
fE
l
a
s
t
i
c
iもy
.p
.2
8
6
.
(113)
a を地球宇径，縦波の速度を 8.
f
i
6k
m
/
s
e
c
.と沿いて週期を求むれば
αI
b
T(
分)
1
.
2
4
7
.
3 2
3
.
5
1
.
5
4
5
.
0 2
2
.
0 1
3
.
7 1
0
.
7
2
.
0
3
9
.
8 2
1
.
0 1
2
.
0
1
4
.
8 n.3
8
.
9
叉同様な仮定の下に(1
8
) を計算すれば T=51
.
7 を得る。
扱て η=0の場合の中空国壌の週期と比較するに，最大週明では
αI
b
国信
球
雨者の比
1
.
2
7
5
.
5
4
7
.
3
1
.
6
0
1
.
5
6
6
.
6
4
5
.
0
148
2
.
0
5
8
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8
3
9.
8
1
.48
l
1
!
P
ち最大週期の縦振動では中空園壌の方が中空の球に比べて一倍字程大きい事.にえに
る。
6
. 結語
以上要するに中空園帯。自由振動 ηj
停を求め仰ニ 0，1の場合について外
径を地球学径大としたときの週期を求めてみた。それに依ると ，n=O の 場 合 で は 振
り振動の週期は最大のもので数十分程度で中空国壌の厚さが大になる程週期は増す。
縦振動では前者に封等する週期が存在するが，更にその何倍といふ様な長週期の振動
があり
p
この場合は厚さが薄くなる程週期は大きくなる。
2は中空球鰻の radial
.
5 となり中空圏構の方
v
i
b
r
a
t
i
o
n に匹敵するもので雨者の最大週期を比較すれば、略 1
が大きい。
本研究は簡単な計算に依って大韓の傾向を見たに過ぎす"更に軸の方向に波が博播
する場合等の検討が笠まれる。
怒りに臨み格始懇切なる御助言を賜はった和達先生に深く感謝致します。更に本文
を草するに営り多大なる御援助をゐ輿へ下されし先輩棲庭氏 ι厚く御躍申上げます。
(1)この鮮は容易に求められる，
(114)
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