若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 1.1 応力 (a) 応力の意味 σ 垂直 応力 σ 垂直 応力 σ 垂直 応力 σ 1 / 33 (c)2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. civil-eye.com webセミナー 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 1.1 応力 (b) 応力の各成分 σy y x τyx τxy σz z x τzy τzx y τyx τxy σx σx σy 2 / 33 τxz τyz (c)2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. civil-eye.com webセミナー 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 1.1 応力 (c) 主応力，最大・最小せん断応力 σy τxy σx τxy 3 / 33 (c)2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. civil-eye.com webセミナー 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 1.2 力のつり合い式 (a) 力のつり合い式（２次元） τyx σx σx τ yx τxy τyx τ xy τ yx ∂σ x ∂τ yx + +X =0 ∂x ∂y ∂τ xy ∂σ y + +Y = 0 ∂x ∂y τ xy = τ yx 4 / 33 (c)2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. civil-eye.com webセミナー 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 1.3 モールの応力円 (a) モールの応力円 5 / 33 (c)2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 2.1 ひずみ (a) ひずみの意味 6 / 33 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 2.1 ひずみ (b) ひずみの各成分 7 / 33 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 2.1 ひずみ (c) 主ひずみ，最大・最小せん断ひずみ等 8 / 33 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 2.2 ひずみの適合条件 (a) ひずみの適合条件（２次元） ∂u εx = ∂x ∂v εy = ∂y 9 / 33 1 ∂u ∂v γ xy = + 2 ∂y ∂x 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 2.2 ひずみの適合条件 (b) ひずみの適合条件（３次元） 10 / 33 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 2.3 平面応力場・平面ひずみ場 (a) 平面応力状態 11 / 33 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 2.3 平面応力場・平面ひずみ場 (b) 平面ひずみ状態 12 / 33 civil-eye.com web 13 / 33 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 3.1 応力－ひずみ関係とは (b) 固体の変形解析で重要な３法則 14 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 3.2 線形弾性体の応力－ひずみ関係 (a) 線形弾性体 15 / 33 Ｃ c 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 3.2 線形弾性体の応力－ひずみ関係 (b) ヤング率とポアソン比 16 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 3.2 線形弾性体の応力－ひずみ関係 (c) フックの法則 εx 1 ε − ν y ε z 1 − ν = γ 2 xy E 0 2γ yz 0 2γ zx 0 −ν 1 −ν −ν −ν 0 1 0 0 0 0 0 1 −ν 1 − 2ν ν σ x σ 1 − 2ν y ν σ z E 1 − 2ν = τ xy 1 + ν 0 τ yz 0 τ zx 0 σ x σ y 0 0 0 σ z 2(1 + ν ) 0 0 τ xy 0 2(1 + ν ) 0 τ yz 0 0 2(1 + ν ) τ zx 0 0 0 0 ν ν 1 − 2ν 1 −ν 1 − 2ν 1 − 2ν ν 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 − 2ν 1 − 2ν 1 −ν 1 − 2ν 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 ν 0 0 ε x ε y 0 ε z 2γ 0 xy 2γ yz 0 2γ zx 1 2 17 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 3.3 弾塑性体の応力－ひずみ関係 (a) 弾性と塑性 18 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 3.3 弾塑性体の応力－ひずみ関係 (b) 降伏関数と硬化則 f = σ1 − σ 3 − σ Y Tresca の降伏条件： von Mises の降伏条件： f = [ ] 1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 − σ Y 2 Drucker-Prager の降伏条件： f = [ ] 1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 − α (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) − κ 2 Mohr-Coulomb の降伏条件： f = σ 1 − σ 3 − (σ 1 + σ 3 ) sin φ − 2c cos φ 19 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 3.3 弾塑性体の応力－ひずみ関係 (c) 塑性ポテンシャルと流れ則 20 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 3.3 弾塑性体の応力－ひずみ関係 (d) 弾塑性マトリクス df = ∂f dσ ij > 0 ∂σ ij df = ∂f dσ ij = 0 ∂σ ij df = ∂f dσ ij < 0 ∂σ ij df = 0 e dσ ij = Dijkl dε kl dε ijp = dλ ∂g ∂σ ij ∂g ∂f D Dmnkl ijpq ∂σ pq ∂σ mn dσ ij = Dijkl − ∂f ∂H ∂g ∂f ∂g − + D ijkl p ∂ H ∂ ∂ ∂ ∂σ kl ε σ σ ij ij ij dε kl 21 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 4.1 棒の引張り (a) 弾性挙動 22 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 4.1 棒の引張り (b) 弾塑性挙動（弾完全塑性体の場合） 23 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 4.2 梁の曲げ (a) 弾性挙動 24 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. 若井 明彦 著 目でみる基礎「弾塑性論」と「土木振動学」 civil-eye.com webセミナー 4.2 梁の曲げ (b) 弾塑性挙動（弾完全塑性体の場合） 25 / 33 Ｃ 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. civil-eye.com webࡒ࠽ ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ 㪌㪅㪈㩷ᤨ㑆㗔ၞ䈫ᵄᢙ㗔ၞ 㩿㪸㪀㩷ᦨᄢടㅦᐲ䈣䈔䈪䈲⼏⺰䈪䈐䈭䈇 㔡ᤨ䬽᭴ㅧ‛ⵍኂ䬾䫺㔡േ䬺䭗䭚ᘠᕈ䬛ේ࿃ 䬦䬚䬦䫺ᦨᄢㅦᐲ䬯䬠䬶⠴㔡⸳⸘䭡ⴕ䬕䬽䬾䬙䬚䬦䬓䫻 ᘠᕈജ䬽ᄢ䬜䬤䬷↪ᣇะ䬾䫺ᤨ䫽ೞ䫽䬷ᄌൻ䬦䬵䬓䭚䫻 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ civil-eye.com webࡒ࠽ 㪌㪅㪈㩷ᤨ㑆㗔ၞ䈫ᵄᢙ㗔ၞ 㩿㪹㪀㩷㔡ᵄ䈱䉴䊕䉪䊃䊦 㔡ᵄᒻ䬽␜ᣇᴺ 䫹䫹䎔䎑㔡㗔ၞ䬽␜䯴ㅢᏱ䯵 䫹䫹䎕䎑ᵄᢙ㗔ၞ䬽␜ 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ civil-eye.com webࡒ࠽ 㪌㪅㪉㩷৻⾰ὐ♽䈱ᝄേ 㩿㪸㪀㩷৻⾰ὐ♽䈱ᝄേᣇ⒟ᑼ ᄢ㔡⊒↢ ᑪ▽‛ ᯅ 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ civil-eye.com webࡒ࠽ 㪌㪅㪉㩷৻⾰ὐ♽䈱ᝄേ 㩿㪹㪀㩷࿕ᦼ䈫ᝄ⽎ 䫽䬽᭴ㅧ‛䬺䬾䫺ំ䭛䭓䬨䬓ᝄേᦼ䬛ሽ䬨䭚䫹䜮䫹࿕ᦼ 㜞䬤䯴ᒻ⁁䯵䬽⇣䬹䭚᭴ㅧ‛䬽㔡ᔕ╵䬽Ყセ ⎬䬤䯴ᕈ䯵䬽⇣䬹䭚᭴ㅧ‛䬽㔡ᔕ╵䬽Ყセ ㊀䬤䯴⾰㊂䯵䬽⇣䬹䭚᭴ㅧ‛䬽㔡ᔕ╵䬽Ყセ 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. civil-eye.com webࡒ࠽ ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ 㪌㪅㪉㩷৻⾰ὐ♽䈱ᝄേ 㩿㪹㪀㩷࿕ᦼ䈫ᝄ⽎ ⋚䬺䭑࿕ᦼ䬾ሽ䬨䭚 ⎬䬤䯴䮫䮺䭷₸䯵䬽⇣䬹䭚᭴ㅧ‛䬽㔡ᔕ╵䬽Ყセ 㔡േ䬽ᝄേᦼ䬷᭴ㅧ‛䬽࿕ᦼ䬛ㄭ䬓䬷䫺ᝄേ䬛ᄢ䬜䬞Ⴧ䬤䭛䭚䫹䜮䫹ᝄ⽎ 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ civil-eye.com webࡒ࠽ 㪌㪅㪉㩷৻⾰ὐ♽䈱ᝄേ 㩿㪺㪀㩷ᔕ╵䉴䊕䉪䊃䊦 䫽䬽᭴ㅧ‛䬣䬷䬺࿕ᦼ䬾⇣䬹䭚䫻 䬑䭚㔡ᵄᒻ䬺ኻ䬨䭚ᔕ╵䬾䫺᭴ㅧ‛䬣䬷䬺⇣䬹䭚䫻 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ civil-eye.com webࡒ࠽ 㪌㪅㪊㩷ᄙ⾰ὐ♽䈱ᝄേ 㩿㪸㪀㩷ᄙ⾰ὐ♽䈱ᝄേᣇ⒟ᑼ ᄢ㔡⊒↢ ᑪ▽‛ ᯅ 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ civil-eye.com webࡒ࠽ 㪌㪅㪊㩷ᄙ⾰ὐ♽䈱ᝄേ 㩿㪹㪀㩷ᤨೞᱧ⸃ᨆ䈫䊝䊷䊄⸃ᨆ ᄙ⾰ὐ♽䬽ᝄേᣇ⒟ᑼ䬽ਥ䬹⸃䬜ᣇ 䎔䎑ᤨೞᱧ⸃ᨆ 䎔䎑䮩䯃䮐⸃ᨆ ฦ࿕ᝄേ䮩䯃䮐䬽Ⴧ䬽㊀䬼ว䭞䬪䬺䭗䭙᭴ㅧ‛䬽ᦨᄢᔕ╵䭡⍮䭚䬢䬷䬛᧪䭚䫻 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ civil-eye.com webࡒ࠽ 㪍㪅㪈㩷ㅪ⛯䈱ᝄേ 㩿㪸㪀㩷 ᜬ䈤䈱ᦛ䈕ᝄേ ᰴ࿕ᦼ β ⋅ l ≈ 1.88 ᰴ࿕ᦼ ߩၮ␆ᑼ ∂ ⎛ ∂2 y ⎞ ⎜ EI ⎟=q ∂x ⎜⎝ ∂x 2 ⎟⎠ ᘠᕈജ q=− ߩᝄേᣇ⒟ᑼ − ࿕୯ β =4 β ⋅ l ≈ 4.69 γA ⎛ ∂2 y ⎞ ⎜⎜ EI 2 ⎟⎟ g ⎝ ∂t ⎠ γA ∂ 2 y g ∂t 2 = EI ∂4 y ∂x 4 γAω 2 gEI ᰴ࿕ᦼ β ⋅ l ≈ 7.85 ᰴ࿕ᦼએߪ⋭⇛ޕ 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ civil-eye.com webࡒ࠽ 㪍㪅㪈㩷ㅪ⛯䈱ᝄേ 㩿㪹㪀㩷⋚䈱䈞䉖ᢿᝄേ ৻ᰴరᵄേᣇ⒟ᑼ Vs = G / ρ T ⋅Vs /(4 H ) ≈ 1.00 ᰴ࿕ᦼ 㧦㧿ᵄㅦᐲ T= ࿕ᦼ ᰴ࿕ᦼ 2 ∂ 2u 2 ∂ u = Vs ∂t ∂y 2 T ⋅ Vs /(4 H ) ≈ 0.33 4H 1 × (n = 1,2,K) Vs 2 n − 1 ᰴ࿕ᦼ T ⋅Vs /(4 H ) ≈ 0.20 ᰴ࿕ᦼએߪ⋭⇛ޕ 㧯 2004 Akihiko Wakai, All rights reserved. civil-eye.com webࡒ࠽ ⧯ޓᒾ⪺ޓ ࠆߺߢ⋡ޓၮ␆ޟᒢ႟ᕈ⺰ޟߣޠᧁᝄേቇޠ 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