数学の定石 【3】Holder（ヘルダー）の不等式 いろいろな不等式 http://izumi-math.jp/sanae/ 【1】Caucy-Schwartz（コーシーシュワルツ）の不等式 xi , yi > 0（i = 1, 2, …, n） ， 1 p 【5】Minkowski（ミンコフスキー）の不等式 1 1 ，p > 1 のとき、 q n yi ) p ( xi 1 p n i 1 n （ベクトル表示） ( x, y ) x y （等号は x // y のとき） n 2 i 1 （成分表示） n xi 2 i 1 x1 y1 i 1 n yi 2 x2 y2 )2 ( x12 x1 y1 （等号は x1 y1 x2 2 )( y12 x1 y1 y2 2 ) x2 のとき） y2 x2 y2 x （等号は 1 y1 ( x12 x2 2 x32 )( y12 y2 2 y32 ) x3 のとき） y3 x2 y2 1 n n n xi xi i 1 n p np xi x1 y2 2 x2 2 )( y12 すなわち x3 y x2 p y2 2 ) 例 t = 1 + x とおくと、x = t - 1≧-1. ∴ t≧0 tn≧n(t - 1)+ 1 （等号は t = 1 のとき) t3 - 3t + 2 = (t - 1)2(t + 2)≧0 （t≧0） （等号は x = y のとき） p y1 ) p ( x1 y2 ) p ( x2 p x12 x2 2 p y12 y2 2 x2 のとき） y2 【6】Cebyev（チェブシェフ）の不等式 1 n 1 n x2 2 ) 1 xi x y x1 x2 x3 y （等号は x // y のとき） （等号は x1 = x2 のとき） （等号は x1 = x2= x3 のとき） 1 1 x2 n 1 n yi i 1 n xi yi i 1 （等号は x1 = … = xn または y1 = … = yn のとき） （確率変数表示） yi ) 2 1 2 n xi 2 1 2 i 1 x （等号は 1 y1 x y n yi 2 xy x y y1 )2 （等号は ( x2 i 1 x1 x1 y1 x12 x2 のとき） y2 x2 2 x2 y2 2 x2 3 x3 y1 y2 3 y3 x1 y1 x2 y2 3 x3 y3 （等号は x1 = x2 = x3 または y1 = y2= y3 のとき） （等号は x = y のとき） y2 )2 x1 y1 ② n = 3 のとき xn のとき） yn x2 y2 y2 2 （等号は x1 = x2 または y1 = y2 のとき） 1 2 ② n = 2 のとき ( x1 x2 y1 2 例 ① n = 1 のとき 1 x3 x1 （成分表示） i 1 1 x1 1 n 例 ① n = 2 のとき x ( xi 1 x2 xi xy （ベクトル表示） n 1 （等号は x1 = x2 のとき） n i 1 1 n i 1 1 x1 x1≧x2 ≧…≧xn , y1≧y2≧…≧yn（i = 1, …, n）のとき、 xi p 2 p 1 ( x12 （等号は x =0 のとき） ③ n = 4 のとき t4≧4(t - 1) + 1 x （等号は 1 y1 ② n = 3 のとき x2 2 x i 1 例 ① n = 2 のとき x1 x2 n 1 1 nx ② n = 3 のとき t3≧3(t - 1)+1 【4】三角不等式 i 1 x1 y さらに n = 2 のとき （等号は x1 = x2 = … = xn のとき） 2 xn のとき） yn x2 y2 例 ① n = 1 のとき x2 のとき） y2 i 1 xi > 0（i = 1, 2, …, n）のとき、 x2 (1 x)n i 1 ② n = 2 のとき x2 2 y12 ( x12 x1 y1 （等号は 【2】相加・相乗・調和平均 x1 2 n≧0（n∊Z） ，x≧-1 のとき 1 p ② yi = 1 のとき x3 y3 )2 x2 y2 x12 x2 y2 yi p ① n = 2 のとき t2≧2(t - 1)+1 xn のとき） yn x2 y2 n i 1 x1 y1 （等号は i 1 例 ① p =q = 2，n = 2 のとき ② n = 3 のとき ( x1 y1 1 q yi q x 例 ① n = 2 のとき ( x1 y1 n i 1 xn のとき） yn x2 y2 1 p xi p i 1 x1 y1 （等号は xi yi （等号は n xi yi 1 p xi p 【7】Bernoulli（ベルヌーイ）の不等式 y12 y2 2 ∴ t4 - 4t+3 = (t - 1)2(t2 + 2t + 3)≧0 （① ～③全て、 等号成立は t = 1 すなわち x =0 のとき）
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