数理統計学 演習問題解答 木村泰紀∗ 2014 年 11 月 14 日出題 問題 1. 確率変数 X の密度関数 f が指数密度関数 { 0 f (x) = e−x (x < 0) (0 ≤ x) で定義されるとき, 期待値 E(X) と分散 V (X) を求めよ. 解答 期待値の定義より ∫ ∫ ∞ xf (x) dx = xe−x dx −∞ 0 ∫ c = lim xe−x dx c→∞ 0 ([ ]c ∫ c ) = lim −xe−x − (−e−x ) dx c→∞ 0 ( [0 ]c ) = lim −ce−c − e−x c→∞ 0 ) ( c −c = lim − c − (e − 1) c→∞ e = 1. ∞ E(X) = これを用いて, 分散を求めると V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 ∫ ∞ ∫ ∞ 2 2 = x f (x) dx − 1 = x2 e−x dx − 1 −∞ 0 ∫ c = lim x2 e−x dx − 1 c→∞ 0 ]c ∫ c ) ([ −x 2 −x − (−2xe ) dx − 1 = lim −x e c→∞ 0 [ ]c 0 ∫ ∞ = lim −x2 e−x + 2 xe−x dx − 1 c→∞ 0 0 ( ) = lim −c2 e−c − 0 + 2E(X) − 1 c→∞ =0+2−1 = 1. ∗ 東京農工大学工学部非常勤講師, 東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/ 1
© Copyright 2024 ExpyDoc