数理統計学 演習問題解答
木村泰紀∗
2014 年 11 月 14 日出題
問題 1. 確率変数 X の密度関数 f が指数密度関数
{
0
f (x) =
e−x
(x < 0)
(0 ≤ x)
で定義されるとき, 期待値 E(X) と分散 V (X) を求めよ.
解答 期待値の定義より
∫
∫ ∞
xf (x) dx =
xe−x dx
−∞
0
∫ c
= lim
xe−x dx
c→∞ 0
([
]c ∫ c
)
= lim
−xe−x −
(−e−x ) dx
c→∞
0
(
[0
]c )
= lim −ce−c − e−x
c→∞
0
)
( c
−c
= lim − c − (e − 1)
c→∞
e
= 1.
∞
E(X) =
これを用いて, 分散を求めると
V (X) = E(X 2 ) − E(X)2
∫ ∞
∫ ∞
2
2
=
x f (x) dx − 1 =
x2 e−x dx − 1
−∞
0
∫ c
= lim
x2 e−x dx − 1
c→∞ 0
]c ∫ c
)
([
−x
2 −x
−
(−2xe ) dx − 1
= lim
−x e
c→∞
0
[
]c 0 ∫ ∞
= lim −x2 e−x + 2
xe−x dx − 1
c→∞
0
0
(
)
= lim −c2 e−c − 0 + 2E(X) − 1
c→∞
=0+2−1
= 1.
∗
東京農工大学工学部非常勤講師, 東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/
1

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