【参考資料】台形則による数値積分の計算

数値積分
(Numerical integration)
（台形則とシンプソン則）
①台形則による数値積分
関数f(x)が区間[a,b]で連続であるとする．

b
関数f(x)の定積分 S  f ( x)dx
a
を台形則により求める．
f(x)
S1
S5
S3
S2
S6
S4
a
b
h h h
h h
h
x
f(x)
例）分割数n=6の場合
台形則により計算する場合，
刻み幅hを細かく設定することで，
S1
S5
S3
S2
計算精度を向上させることができる．
（正解となる積分の値に近くなる．）
S6
S4
a
b
h h h
h h
x
h
区間[xi,xi+1]の積分を以下の台形の面積により近似的に表せるものとする．

xi1
f ( x)dx 
xi
h
 f xi   f xi 1 
2
上式の考えに従うと，個々の台形の面積を足し合わせることで，
積分の計算を近似的に行うことができる．（下式参照）

b
a
n
f ( x)dx  
i 1
h
 f xi   f xi 1 
2

b
a
f ( x)dx 
h
 f x1   2 f x2   2 f x3     2 f xn1   f xn 
2
※上式においてx1=a, xn=bである．
②シンプソン則による数値積分
関数f(x)が区間[a,b]で連続であるとする．

b
関数f(x)の定積分 S  f ( x)dx
a
をシンプソン則により求める．
f(x)

b
h
 f x1   4 f x2   f x3 
3
a
h
h
  f x3   4 f x4   f x5      f xn  2   4 f xn 1   f xn 
3
3
２つの短冊がセット。
f ( x)dx 
b
S1
S5
S3
S2
 f ( x)dx
a
S6

S4
a
b
h h h
h h
h
h
 f x1   4 f x2   2 f x3     2 f xn 2   4 f xn 1   f xn 
3
x
Start
台形則のフローチャート例
積分範囲[a,b]および刻み幅hの入力
（※刻み幅hは積分範囲の分割数が
整数になるように設定すること。）
imax = (b-a)/h
sum = 0
i=1

b
a
f ( x)dx 
h
 f x1   f x2   h  f x2   f x3   
2
2
i：分割数
imax：最大分割数
x1 = h*(i-1)+a
x2 = h*i+a
s = (h/2)*(f(x1)+f(x2))
（※関数f(x)は問題において
与えられた式を設定すること。）
sum = sum + s
i = imax
Yes
sum
No
i = i+1
end
Start
積分範囲[a,b]および刻み幅hの入力
（※刻み幅hは積分範囲の分割数が
整数かつ偶数になるように設定すること。）
imax = (b-a)/h
sum = 0
i=1
シンプソン則のフローチャート例

b
f ( x)dx 
a

x1 = h*(i-1)+a
x2 = h*i+a
x3 = h*(i+1)+a
s = (h/3)*(f(x1)+4*f(x2)+f(x3))
（※関数f(x)は問題において
与えられた式を設定すること。）
h
 f x3   4 f x4   f x5   
3
sum = sum + s
i = imax-1
Yes
sum
No
i = i+2
h
 f x1   4 f x2   f x3 
3
end
演習課題（※配布用紙を演習終了時までに提出）
次の定積分を台形則，シンプソン則を用いて計算し，
下の表，グラフを完成させなさい．
S
2
 xe
 x2
dx
0
台形則
積分値 St
相対誤差 et
分割数 n
10
20
50
100
シンプソン則
積分値 Ss
相対誤差 es
時間に余裕がある人は取り組んで下さい。
（※提出課題ではありません。）
台形則，シンプソン則を用いて次式を数値積分し，
分割幅とSの関係について考察をせよ。
S 4
1
x
1
0 2
1
dx  
参考
x  tan とおくと
dx
1

d cos2 
x :0 1
 :0 

4
1
 x  1 dx

1
1
4
 tan   1 cos  d

1
4
cos 
d

cos 


 4 d  4  

4
S 4
1
0 2
/4
2
0
/4
2
2
0
/4
0
2

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