複素指数関数
• 複素関数
–「
」
• 複素指数関数
exp( x  j y )  exp( x)cos y  j sin y 
線形予測分析
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【補足】（実）指数関数
y  exp( x)
 e 
x
y
1
0
線形予測分析
x
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フーリエ級数と複素指数関数
• オイラーの公式
cos  
sin  
線形予測分析
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フーリエ級数と複素指数関数(2)
• フーリエ級数の複素指数関数による表現

n 

x(t )   cn exp j 2 t 
T 

n  
c0  a0
1
cn 
T
線形予測分析
n 

T / 2 x(t ) exp  j 2 T t  dt
T /2
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フーリエ変換
• フーリエ変換 (Fourier Transform)
1
x(t ) 
2



X ( ) exp j t  d

X ( )   x(t ) exp j t  dt

線形予測分析
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pressure
時間遅れとフーリエ変換
time
pressure
τ
線形予測分析
time
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時間遅れとフーリエ変換(2)
• 波形 x( t -τ) のフーリエ変換
x(t   )   x(t   ) exp j t  dt



 exp j   x(t   ) exp j  (t   )  dt

 exp j   x(t )
線形予測分析
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「 z 」 の導入
• z は複素平面の単位円
上の点 Im
  
z  exp j
 
 m 
+j
-1
0


1
Re
-j
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z-変換
• z-変換 (z-Transform)

X ( z)   x p  z  p
p 0
  
z  exp j
 
 m 
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「 z 」 とは何か？
• 思い出そう
「exp (- jωτ) は時間遅れ」
• ならば、

 
z  exp  j
 
 m 
1
は、「
線形予測分析
」を意味する。
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【複素関数】

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