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放物型偏微分方程式における特異性の解析 レポート課題
１．G(x, y, t) を
)
(
1
|x − y|2
G(x, y, t) :=
exp −
(4πt)N/2
4t
(x, y ∈ RN , t > 0)
で定義するととき，以下のことを証明せよ．
(i) Gt = ∆G （ただし，{
∆ は x についてのラプラス作用素）．
0
(x ̸= y),
(ii) limt→+0 G(x, y, t) =
∞
(x = y).
(iii) ∫
x, y について一様に limt→+∞ G(x, y, t) = 0.
(iv)
G(x, y, t)dy = 1
(t > 0).
RN
2. ξ(s) : R → RN は C 1 級とし，U (x, t) を
∫ t
( |x − ξ(s)|2 )
ds
U (x, t) :=
(t − s)−N/2 exp −
4(t − s)
0
で定義する．このとき U (x, t) は次を満たすことを示せ．
(i) Ut = ∆U (x ̸= ξ(t), t > 0).
(ii) N ≥ 2 のとき，limx→ξ(t) U (x, t) = ∞ (t > 0).

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