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第三回レポート課題
1. 送信する正弦波の振幅と位相を組合わせて，図.1 のような 17 点信
号配置図を生成した場合，AWGN 通信路での各信号の判定領域を
描け．ただし，各信号が送信される確率は一様であると仮定する．
回答例
隣接する信号点を垂直に二分するように境界線を書くと，図 1 の実
線を π/4 ずつ回転して得られる実線部分が判定境界となる．
Q
I
図 1: 17 点の信号配置点とその境界線
2. M が奇数の場合，M 2 点 QAM 変調の誤り率の表現式を導け．
回答例
1
−
M −1
d · · · −d
2
0
d
···
M −1
d
2
図 2: I 軸の信号配置点
M が奇数の場合，信号配置点は図 2 のようになるので，送信電力の
期待値は
(M −1)/2
∑
Es = 2
(md)2
m=1
M2 − 1
= d2
12
が得られるので，資料の式 (3-63) と同じく
√
12Es
d=
M2 − 1
1
M
(1)
(2)
の関係式が成り立つ．
その故に，QAM 変調は M が奇数，偶数に関わらず一つの軸の誤り
率は
)
(
2(M − 1)
d
PQ = PI =
(3)
Q √
M
2N0
で与えられ，全体の誤り率は
Pe = 1 − (1 − PI )(1
)]
( − PQ )) [
(
4(M − 1)
M −1
d
d
=
Q √
1−
Q √
M
M
2N0
(
) [ 2N0 (
)]
d
d
≈ 4Q √
1−Q √
(4)
2N0
2N0
で表される．
3. MASK 変調と PAM 変調の違いを述べよ．
回答例
MASK は振幅に情報を載せるため，負の値は取らないが，PAM は
一般的に負の値を取るので，位相情報の検出も必要である．
4. M 個の信号点を同じ送信電力で PAM, MPSK, QAM 変調を用いて
送信した場合，誤り率について比較せよ．
2
回答例
M 個の信号点の送信電力を Es とし，γ :=
Es
N0
として比較する．
PAM 課題２より M 点 PAM の平均送信電力と最小距離 d の関係
は式 (2) より与えられるので，誤り率は式 (3) に式 (2) を代入
して
(√
)
2(M − 1)
6γ
PPAM =
Q
(5)
M
M2 − 1
となる．
MPSK 資料より
∫
PPSK = 1 −
π/M
−π/M
となる．
QAM 課題 2 の M を
√
1 −γ sin2 θ
e
π
∫
∞
te−
√
(t−
2
2γ cos θ )
2
dtdθ
(6)
0
M に置き換えればいいので
√
12Es
d=
M −1
を式 (3) に代入して
(√
)
√
2( M − 1)
6γ
√
PQ = PI =
Q
M −1
M
を求め，それから
PQAM
(√
)[
(√
)]
√
√
4( M − 1)
6γ
M −1
6γ
√
=
Q
1− √
Q
(7)
M −1
M −1
M
M
が得られる．
3
図.3 は M = 4 と 16 に対して式での PPAM ，PMPSK および PQAM を
比較したものである．
0
10
PAM
PSK
QAM
−1
10
−2
10
−3
Error Rate
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
5
10
15
γ dB
20
25
30
図 3: PAM,MPSK,QAM の比較
MATLAB 参考プログラム
M = 4;
gamma = 0;
flags = [0 0 0];
ErrPAM = [];
ErrPSK = [];
ErrQAM = [];
while sum(flags) < 3;
SNR = 10^(gamma/10);
if flags(1) == 0
Err = 2*(M-1)/M*qfunc(sqrt(6*SNR/(M^2-1)));
if Err < 1e-6
flags(1) = 1;
4
35
end
ErrPAM = [ErrPAM Err];
end
if flags(2) == 0
fun = @(x,y) exp(-SNR.*sin(y).^2).*x.*...
exp(-(x-sqrt(2*SNR).*cos(y)).^2/2);
q = integral2(fun,0,inf,-pi/M,pi/M);
Err = 1-q/2/pi;
if Err < 1e-6
flags(2) = 1;
end
ErrPSK = [ErrPSK Err];
end
if flags(3) == 0
QV = (sqrt(M)-1)/sqrt(M)*qfunc(sqrt(6*SNR/(M-1)));
Err = 4*QV*(1-QV);
if Err < 1e-6
flags(3) = 1;
end
ErrQAM = [ErrQAM Err];
end
gamma=gamma+1;
end
semilogy(0:length(ErrPAM)-1,ErrPAM,’-rx’);
hold on;
semilogy(0:length(ErrPSK)-1,ErrPSK,’-bo’);
semilogy(0:length(ErrQAM)-1,ErrQAM,’-ks’);
legend(’PAM’,’PSK’,’QAM’);
ylabel(’Error Rate’);
xlabel(’\gamma dB’);
grid;
5

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