2 次流体力学方程式に現れる曲率項の微視的起源
岡村 隆
関西学院大学
関西相対論合同セミナー
2014 年 6 月 29 日
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岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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’14/6/29 ＠基研
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はじめに
relativistic viscous hydrodynamics,
second-order hydrodynamics,
(relativistic) causal hydrodynamics,
...
= 相対論的因果律を満たす粘性流体力学
̸∋ Navier-Stokes eqn. (放物型)
⇓
流体力学は低エネルギー・長波長極限の有効理論
I
有効理論には適用限界がある
I
その適用限界はより高次の理論の予想があって分かる
“速い” タイムスケールの散逸現象では Navier-Stokes eqn. は破綻
I
I
QGP（Quark-Gluon Plasma）fireball の進化
宇宙物理では？
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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はじめに
今日のテーマ
∼ ’80： Israel-Stewart 理論
I
エントロピー原理に基づく 2 次流体力学の現象論的導出
I
Grad 法による 2 次流体力学の運動論的導出
2007： Baier, et.al.
I
I
微分展開に基づく 2 次流体力学の整備
ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
⇒ Israel-Stewart に無い項があり得ると指摘
I
eg 曲率依存項
相対論的 Boltzmann 方程式は曲率依存項を導かない
⇓
Q. ゲージ／重力対応が正しくないのか？
Q. なぜ Boltzmann 方程式は曲率依存項を導かないのか？
Q. 微視的に曲率依存項を導く方法はあるか？
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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参考文献
(P)
現象論的
(K)
運動論的（Boltzmann eqn. → hydro.）
相対論的粘性流体力学
I
I
Israel-Stewart 理論
⋆
(P) Israel
Ann. Phys. 100 (1976) 310
⋆
(K) Israel and Stewart
Ann. Phys. 118 (1979) 341
ゲージ／重力対応
⋆
Baier, Romatschke, Son, Starinets, & Stephanov (BRS3 )
0712.2451
⋆
Romatschke
0906.4787
⋆
Natsuume & TO
0712.2916
曲率項の導出に向けて
I
Hamiltonian から直接 hydro. へ
⋆
I
佐々
1306.4880
非局所効果をとり入れた衝突項
⋆
Jaiswal, Bhalerao, & Pal
1204.3779
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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目次
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. .1 はじめに
.
. .2 2 次流体力学∼現象論
.
. .3 ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
.
. .4 2 次流体力学∼運動論
.
. .5 曲率項の微視的導出
.
. .6 まとめと今後
.
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
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目次
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. .1 はじめに
.
. .2 2 次流体力学∼現象論
.
. .3 ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
.
. .4 2 次流体力学∼運動論
.
. .5 曲率項の微視的導出
.
. .6 まとめと今後
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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2 次流体力学∼現象論
何が問題か？
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eg) 粒子の拡散
粒子数密度： n(t, ⃗
x),
粒子流束： J⃗(t, ⃗
x)
⃗ · J⃗(t, ⃗
∂t n(t, ⃗
x) + ∇
x) = 0
（保存則）
⃗
J⃗(t, ⃗
x) = − D ∇n(t,
⃗
x)
（現象論：構成方程式）
⇒ ∂t n(t, ⃗
x) − D △ n(t, ⃗
x) = 0
I
.
..
拡散方程式
=
放物型！
.
（拡散方程式）
̸=
双曲型
1 次元解： 初期条件 n(t = 0, x) = δ(x)
(
)
exp −x2 /4Dt
n(t, x) = θ(t)
√
2Dt
.
無限の伝播速度
I
→
相対論的因果律を満たさない
双曲型にどのように改めるか？ →
⇒
保存則は基本的要請
現象論の構成方程式を改良
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..
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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2 次流体力学∼現象論
どうするか ∼ 「流れ」に緩和を導入
eg) 粒子の拡散
粒子数密度： n(t, ⃗
x),
∂t n − D △ n = 0
⇐
粒子流束： J⃗(t, ⃗
x)
{
⃗ · J⃗ = 0
∂t n + ∇
(保存則)
⃗
J⃗(t, ⃗
x) = −D ∇n(t,
⃗
x) (現象論)
⋆ 相対論的因果律の破れの原因
I
密度勾配が与えられた瞬間に流れを生む
I
物理的には遅延効果がある
⇒
⇒
無限の伝播速度
緩和時間を導入
⃗
τJ ∂t J⃗ + J⃗ = −D ∇n
⋆ 双曲型拡散方程式
I
0 = τJ ∂t2 n + ∂t n − D △n
√
伝播速度： v = D/τJ < ∞
←
(保存則)+(新構成方程式)
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2 次流体力学∼現象論
Israel-Stewart 理論 (1/9)
Q 緩和時間を手で導入するのでなく導出するには？
I
流体はマクロ系の非平衡現象で散逸を伴う（粘性, 熱伝導, etc.）
→ 時間の矢
熱力学第 2 法則
A 流体は ∆S ≥ 0 を満たすように運動
（熱力学的力が駆動力）
.
変化の向き ∼ 示強量が等しくなるように
..
孤立系 (A + B)： dS = dSA + dSB ≥ 0
.
T dS = dE + p dV − µ dN
(
)
µA
µB
N 交換： dS = −
−
dNA ≥ 0
⇒
TA
TB
(
)
1
1
E 交換： dS =
−
dEA ≥ 0
⇒
TA
TB
.
熱力学第 1 法則：
T
1
T
..
IS アプローチ： 局所平衡
&
∆S ≥ 0
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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↘
↗
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µ
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2 次流体力学∼現象論
Israel-Stewart 理論 (2/9)
熱力学量
I
I
局所量を扱うので示量変数 (E, N , V ) の代わりに密度量を使う
密度量：
ϵ,
示強変数： T,
n,
µ,
s(ϵ, n)
p
.
..
⇒
⃗ ·⃗
∂t s + ∇
s≥0
⃗
s ∼ s⃗
v+q
⃗出 /T + · · ·
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熱力学第 1 法則
..
1
µ
1
∂s
µ
∂s
ds =
dϵ −
dn ⇒ s(ϵ, n),
:=
,
:=
T
T
T
∂ϵ
T
∂n
p
=
−ϵ
+
T
s
+
µ
n
.
..
.
.
.
熱力学第 2 法則
..
dS − dQ入 /T ≥ 0
(dQ入 > 0 ; 熱の流入)
.
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2 次流体力学∼現象論
Israel-Stewart 理論 (3/9)
.
局所平衡
..
各部分系は, 熱平衡状態にある
各部分系間の相互作用は小さい
(τmicro. ≪ τmacro. )
(ℓmicro. ≪ ℓmacro. )
µ
∇ν T µν = 0
. ⇒ 局所保存量 ∇µ n = 0
.. .
マクロ物理量 ∼ 局所熱力学的量 + “ 流れ ”
..
示強変数： T (t, ⃗
x)
µ(t, ⃗
x)
p(t, ⃗
x)
密度量：
ϵ(t, ⃗
x)
⃗⊥ (t, ⃗
x)
→ 流れ： P
⇒
n(t, ⃗
x)
⃗j⊥ (t, ⃗
x)
.
.
master variables : 空間的一様性と時間的一様性を両立
.
⃗⊥ (t, ⃗
P
x)
s(t, ⃗
x)
⃗
s(t, ⃗
x)
Tij (t, ⃗
x)
master variables （局所保存量）
： nµ (x), T µν (x)
時間の矢： sµ (x)
.
..
.
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⇒
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2 次流体力学∼現象論
Israel-Stewart 理論 (4/9)
.
仮定
..
局所平衡
.
sµ は, nµ , T µν のみに依存（微分は含まない）
∇µ sµ ≥ 0 を満たすように時間発展
⇒ 構成方程式へ
(s の具体形が重要)
.
..
.
熱平衡状態の sµ
uµ ： 流体静止系
..
Tth sth = pth + ϵ − µth n
.
.
µ
.
(Euler rel.)
⇔ sth = −uµ sµ
th
µ
µν
sµ
− µth nµ
th := pth u − uν T
(共変化)
.
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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..
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2 次流体力学∼現象論
Israel-Stewart 理論 (5/9)
Tth sth = pth + ϵ − µth n
⇒ sth =
−uµ sµ
th
(Euler rel.)
sµ
th
,
:= pth u − uν T
µ
µν
− µth n
µ
.
非平衡状態の sµ ∼ 平衡状態の sµ からの類推で定義
..
pth uµ − uν T µν − µth nµ
Pµ
µth µ
sµ :=
= sth uµ + ⊥ −
j
Tth
Tth
Tth ⊥
I
I
I
.
(µ
T µν = ϵ uµ uν + 2 P⊥ uν) + (pth + Π) hµν + π µν
µ
nµ = n uµ + j⊥
pth , Tth , µth は熱平衡状態での sth (ϵ, n) より 定義 される熱力学量
⋆ 非平衡状態では自然な流体静止系なし → uµ は “ゲージ自由度”
I
.
..
I
µ
Landau-Lifshitz frame (E-frame)： P⊥
=0
µ
Eckart frame (N-frame)：
j⊥ = 0
.
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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代表的な “ゲージ固定” 法
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2 次流体力学∼現象論
Israel-Stewart 理論 (6/9)
µ
frame u (ゲージ) 不変な理論形式可能だが LL-frame がシンプル
EOM をもちいて ∇ · s を計算すると · · ·
I
I
I
Dµ :=
hνµ
µth
Tth
−
Πθ
Tth
−
π µν σµν
Tth
∇ν
hµν := gµν + uµ uν
⟨µ
θ := ∇ · u
σµν := ∇ uν⟩
(
)
ν)
µν
A⟨µν⟩ := h(µ
hρσ /d Aρσ
ρ hσ − h
.
構成方程式 (1st order ＠ LL-frame)
..
µ
j⊥
= −D D µ
.
..
⇒ ∇·s=
µth
Tth
(d： 空間次元)
∇ · s ≥ 0 を保証するように
Π = −ζ θ ,
,
j⊥ · j⊥
D
∼
Ωµν := hρµ hσ
ν ∇[ρ uσ]
+
Π2
ζ Tth
+
π·π
2 η Tth
π µν = −2 η σ µν
>0
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
(D, ζ, η > 0)
.
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µ
⇒ ∇µ sµ = −j⊥
Dµ
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2 次流体力学∼現象論
Israel-Stewart 理論 (7/9)
µ
∇µ sµ = −j⊥
Dµ
.
疑問・問題点
..
µth
Tth
−
Πθ
Tth
−
π µν σµν
Tth
平衡からのズレを δ とする： | uµ − uµ
eq | = O(δ)
.
sµ
= (pth uµ − uν T µν − µth nµ )/Tth + O(δ
X2)
真
← O(δ) まで取り入れた sµ を定義したつもり
I
| uµ − uµ
eq | = O(δ),
µ
= O(δ)
Π, π µν , j⊥
しかし 上式より ∇ · s = O(δ 2 )
⇒ そもそも O(δ 2 ) を無視した sµ で得た ∇ · s = O(δ 2 ) から
物理的な結論は導けない
.
..
I
overdetermined? 系
Instability
LL-frame だと（偶然？） OK
(Hiscock & Lindblom ’85)
.
.
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.
.
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I
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2 次流体力学∼現象論
Israel-Stewart 理論 (8/9)
.
O(δ 2 ) まで frame inv. な sµ (n, ϵ, · · · ) ＠ LL-frame
..
−
−
.
..
uµ
2 Tth
(
µth
Tth
µ
j⊥
−
1 (
Tth
µ
α0 Π j⊥
+ α1 π µλ j⊥λ
β0 Π2 + β1 j⊥ · j⊥ + β2 π ρσ πρσ
1
Tth (ϵ + pth )
)
)
(
)
uµ
µ
µλ
π
P⊥,λ + Π P⊥ +
P⊥ · P⊥
2
新現象論的パラメータ
α0,1 ： cross term
β0,1,2 ： 2 乗
.
)
πµν ( µν
ν
σ + β2 ∇u π µν + α1 ∇µ j⊥
∇µ s = −
Tth
)
Π (
−
θ + β0 ∇u Π + α0 ∇ · j⊥
Tth
)
jµ (
µth
− ⊥ Tth Dµ
+ β1 ∇u j⊥,µ + α0 ∇µ Π + α1 ∇ν πµν
Tth
Tth
.
sµ = sth uµ −
.
µ
.
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2 次流体力学∼現象論
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構成方程式
..
Israel-Stewart 理論 (9/9)
.
∼ 一様な熱平衡状態からの展開
(
)
ν⟩
τπ ⟨ ∇u π µν⟩ + π µν = −2 η σ µν + α1 D ⟨µ j⊥
(
)
τΠ ∇u Π + Π = −ζ θ + α0 ∇ · j⊥
.
..
I
τν := D β1 ,
τΠ := ζ β0 ,
τπ := 2 η β2
.
.
µ
ν
τν hµ
ν ∇u j⊥ + j⊥
[
]
(
)
µth
= −D Tth D µ
+ α0 D µ Π + α1 Dν π µν + π µν aν
Tth
τ∗ によって “流れ” に緩和
I
相対論的因果律 OK
安定性 OK
(Hiscock & Lindblom ’83)
得られた構成方程式は ∇ · s ≥ 0 の十分条件だが 必要ではない
µ
ν
eg) j⊥
Ω[µν] j⊥
= πµλ Ω[µν] πν λ = 0
→ 構成方程式に存在したとしても ∇ · s に効かない項は見えない
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2 次流体力学∼現象論
微分展開としての流体力学
.
組織的な構成方程式のつくり方 (BRS3 )
◎ 流体近似は微分展開
⇒
←
展開 para.： ϵ := |⃗
q | lmfp ≪ 1
⃗ + c2 ∇△n
⃗
J⃗ = −c1 ∇n
+ O(ϵ5 )
よって
.
k = (ω, q
⃗)
..
輸送係数： c1 , c2
0 = ∂t n − c1 △n + c2 △2 n + O(ϵ6 )
= ∂t n − c1 △n + (c2 /c21 ) ∂t2 n + O(ϵ6 )
c1 = D,
I
この方程式も前と同じ有限の伝播速度 v =
I
構成方程式は微分展開で 3rd order J = c1 ∂ + c2 ∂ 3 相当
√
D/τJ をもつ
.
.
.
..
c2 = τJ D 2
I
時間微分での展開も保存則経由で取り込まれている
.
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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2 次流体力学∼現象論
微分展開としての 1 次流体力学
⋆ 流体力学＠ LL-frame
(空間次元： d)
hydro. modes： ε := T
I
0=
µ
P⊥
:=
hµ
ν
P
ν
uu
u
µ
(P
→
µ
↔ P⊥
=0
µ
:= −T
µν
uν
(d + 1) コ
hµν := gµν + uµ uν )
保存則： 0 = ∇ν T µν
→
(d + 1) コ
ρσ ν
構成方程式： hµ
hσ を hydro. modes で表現 (微分含む) できれば
ρ T
⇒ 閉じた方程式系
.
微分展開としての Navier-Stokes ＠ LL-frame (空間次元： d)
.
..
0th order： ideal T µν = ε uµ uν + pth hµν
.
..
T µν =: ε uµ uν + pth hµν + Πµν
I
Πµν = −2 η(ε) σ µν − ζ(ε) hµν (∇ · u)
I
shear vis.： η,
O(∂ 1 )
bulk vis.： ζ
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(Πµν uν = 0)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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1st order： NS
O(∂ 0 )
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2 次流体力学∼現象論
微分展開としての 2 次流体力学： conformal fluid
conformal transform： gµν → g˜µν = e−2ω(x) gµν
I
uµ → eω uµ
σ µν → e3ω σ µν
⋆ conformal fluid
conf. tr. で action inv.
I
√
−g g µν Tµν = δS/δω = 0
I
⇒ P (ε) = ε/d
√
√
−g Tµ ν [g] = −˜
g Tµ ν [˜
g]
⇒
ε → e(d+1)ω ε
⇒
traceless： Tµµ = 0
ζ=0
⇒
T µν → e(d+3)ω T µν
(T → eω T )
η → edω η
conf. fluid の 2nd order hydro. をつくる指針
Πµν = −2 η σ µν + (2nd order)
I
I
covariance
ε (or T ), u
conformal covariance
⇒ 独立な 5 セット＠ 2nd：
∂ε, ∂u ∼ σ, Ω
σσ,
σΩ,
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
(u · ∇)σ,
ΩΩ,
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∂ 2 ε, R ∼ ∂ 2 g
.
.
.
R
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2 次流体力学∼現象論
微分展開としての 2 次流体力学： conformal fluid（続き）
T µν =: ε uµ uν + pth hµν + Πµν
⋆ 2nd order：
Πµν = −2 η σ µν + 2 η τΠ
[
⟨
(hµν uν = Πµν uν = 0)
∇u σ µν⟩ +
1
d
σ µν (∇ · u)
]
+ 2 λ2 σ ⟨µ λ Ων⟩λ + 4 λ1 σ ⟨µ λ σ ν⟩λ
[
]
+ λ3 Ω⟨µ λ Ων⟩λ + κ R⟨µν⟩ − (d − 1)uα Rα⟨µν⟩β uβ
⇔ Πµν = −2 η σ µν − τΠ
−
λ2
η
[
Π⟨µ λ Ων⟩λ +
+ λ3 Ω⟨µ λ Ων⟩λ
⟨
∇u Πµν⟩ +
d+1
d
Πµν (∇ · u)
λ1
Π⟨µ λ Πν⟩λ
η2
[
]
+ κ R⟨µν⟩ − (d − 1)uα Rα⟨µν⟩β uβ
.
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]
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
IS 型
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’14/6/29 ＠基研
.
21 / 63
目次
.
. .1 はじめに
.
. .2 2 次流体力学∼現象論
.
. .3 ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
.
. .4 2 次流体力学∼運動論
.
. .5 曲率項の微視的導出
.
. .6 まとめと今後
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
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’14/6/29 ＠基研
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ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
BRS3 ： 0712.2451
2nd order conf. fluid の輸送係数
I
I
1st order： η
2nd order：τΠ , λ1 , λ2 , λ3 , κ
⋆ 空間微分展開 2 次までの T µν の計量に対する応答
I
tensor pert.： δgxy ̸= 0,
(δuµ = 0, · · · )
その他ゼロ
δT xy = −pth δgxy − η ∂t δgxy + η τΠ ∂t2 δgxy
]
κ[
−
(d − 2) ∂t2 δgxy + ∂z2 δgxy
2
[
{
}
κ
κ 2]
xy
⇒ δT
= − pth − i ω η + ω 2 η τΠ −
(d − 2) −
q δgxy
2
2
I
⋆ BRS3 ： 有限温度 SYM4 (d = 3)
⇔
SAdS5
ゲージ／重力対応で δgxy に対する δT xy の応答を評価
⇒ τΠ , κ が得られる（もちろん P , η
も）
.
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
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ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
BRS3 ： 0712.2451
⋆ BRS3 ： 有限温度 SYM4 (d = 3)
[
I
δT xy
⇔
SAdS5
(
)
]
3κ
κ 2
= − pth − i ω η + ω 2 η τΠ −
−
q
δgxy
2
2
ゲージ／重力対応による結果
I
⇒
δT xy = −
π2 N 2 T 4
8
[
1−
iω
1 − ln 2
q2
+ ω2
−
2
2
πT
2π T
2π 2 T 2
]
δgxy
pth = π 2 N 2 T 4 /8
η = πN 2 T 3 /8
κ = N 2 T 2 /8 = η/πT ̸= 0
τΠ = (2 − ln 2)/2πT
scalar pert.： τΠ が寄与 → tensor pert. の予言と同じ値
Bjorken flow： λ1 = η/2πT
⇒
曲率依存項
R⟨µν⟩ − (d − 1)uα Rα⟨µν⟩β uβ
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
が存在
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
24 / 63
ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
曲率依存項の意味
T µν =: ε uµ uν + pth hµν + Πµν
[
]
Πµν ⊃ −2 η σ µν + κ R⟨µν⟩ − (d − 1)uα Rα⟨µν⟩β uβ
速度差： σµν = ∇⟨µ uν⟩
0 = Lu η µ = u · η
(
)
dη µ
θ
= ∇u η µ = (∇ν uµ ) ην = σ µν − ω µν + hµν ην
dτ
d
cf) deformation
0 = ∇u uµ
[
（外力による）加速度差？ ： κ R⟨µν⟩ − (d − 1)uα Rα⟨µν⟩β uβ
0 = ∇u uµ
cf) geod. deviation
]
0 = Lu η µ = u · η
d2 η µ
= ∇u ∇u η µ = (uα Rαµνβ uβ ) ην
dτ 2
⋆ 要は （外力による）加速度差が stress tensor に影響する！
？ だとすれば . . .
I
重力に限らない
I
（外力さえあれば）非相対論的でも現れる
だろう
だろう
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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25 / 63
目次
.
. .1 はじめに
.
. .2 2 次流体力学∼現象論
.
. .3 ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
.
. .4 2 次流体力学∼運動論
.
. .5 曲率項の微視的導出
.
. .6 まとめと今後
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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26 / 63
2 次流体力学∼運動論
運動論的アプローチ
1 粒子 DF f (x, p)： 1 粒子相空間 (xµ , pν ) 上に N 個の粒子が分布
1
1
I
不変測度： dd+1 x | g | 2 × dd+1 p | g | 2
I
onshell 運動量測度： dd ω := dd+1 p | g | 2 δ(m2 + p2 ) θ(p0 )
1
1
cf) 時空上に N 個の電荷が分布： ρ(t, ⃗
x)
current： j µ := ρ uµ
不変測度： dd+1 x | g | 2
∫
dΣµ j µ
N =
Boltzmann eqn.： 1 粒子分布関数 f (x, p) の発展方程式
I
相空間上の速度場： uA = (dxµ /dτ, dpν /dτ )
I
µ
Liouville： 0 = ∇A uA
←
dpµ /dτ = −Γνλ pν pλ /m
A
A
µ
保存則： C = ∇A (f u ) = u ∂A f = (p /m)∂µ f + p˙ µ (∂f /∂pµ )
I
流体力学： 1 粒子分布関数 f (x, p) が x, p 間に相関をもつ
I
平均速度場が意味をもつ
I
Boltz. eqn. を p 方向に粗視化
⇒
流体 の EOM
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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2 次流体力学∼運動論
運動論的アプローチ
.
Boltzmann eqn. & moment eqn.
..
1 粒子 DF f (x, p)
.
1
2
不変測度： dω = d4 p | g | δ(m2 + p2 ) θ(p0 )
(
Boltz. eqn： C[ f ] = pµ Dµ f := pµ ∇µ − pν Γλµν
∫
moment： X
µ···
(x) :=
∫
mom. eqn： ∇µ X µ··· =
I
.
..
I
)
f
∂pλ
dω pµ p··· f (x, p)
dω p··· C[f ]
⇐ Boltz. eqn & Dµ pν = 0
∫
dω pµ f
→
∇ µ nµ = 0
⇒
dω C[f ] = 0
∫
∫
µν
µ ν
µν
T
= dω p p f → ∇µ T
=0 ⇒
dω pν C[f ] = 0
∫
∫
X µνλ = dω pµ pν pλ f → ∇µ X µνλ = I νλ := dω pν pλ C[f ]
nµ =
∫
.
.
I
∂
Boltz. eqn. と moment eqn. は等価
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
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2 次流体力学∼運動論
Grad の方法（moment 法）
局所静止系として LL-frame を採用. つまり Πµν := T µν − Teqµν として
Πµν uν = 0
←
{
}
f (x, p) = feq (θ) 1 + δf (x, p) ,
I
I
θ := −u(x) · p/T (x)
局所平衡分布 feq の温度 T (x) は ε = εeq を満たすように
∫
Πµν =
dω pµ pν feq (x, p) δf (x, p)
.
moment approximation
..
δf = f
(0)
(θ) +
∼
(1)
fµ (θ) pµ
+
仮定 1： 準熱平衡状態 δf ≪ 1
(2)
fµν (θ) pµ pν
⇒ eg) 4D-conformal fluid の場合：
.
..
+ ···
→
仮定 2： δf の 3 次以上のモーメントは無視
I
.
δf を Πµν で表現
(2)
(fµ µ
⇒ X
−
µνλ
Xeq
∼ T (x) Π
(µν
(0,1,2)
→
∼ 0 ···
fµνλ
↔
Πµν 5 成分
u
λ)
(2)
fµν 5 成分
(1)
(f (0) = fµ
&
I
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
= 0)
衝突項や I は δf の 1 次
δf ∼ T −6 (x) Πµν pµ pν + O(Π2 )
µνλ
=
(2)
fµν uν
⟨νλ⟩
.
∼ T (x) Π
2
.
.
= 0)
νλ
.
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.
.
I
ρν
hµ
uν = 0
ρ Π
ε = εeq
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2 次流体力学∼運動論
Grad の方法（moment 法）
δf = f
(0)
(θ) +
∼
(1)
fµ (θ) pµ
+
仮定 1： 準熱平衡状態 δf ≪ 1
(2)
fµν (θ) pµ pν
⇒ eg) 4D-conformal fluid の場合：
⇒ I
µνλ
−
µνλ
Xeq
∼ T (x) Π
(µν
u
⇒ λ2 = −2 τΠ η,
= 0)
(3)
→
fµνλ ∼ 0 · · ·
↔
(2)
fµν 5 成分
(1)
(f (0) = fµ
&
I
⟨νλ⟩
∼ T (x) Π
2
µνλ
= 0)
νλ
構成方程式!
λ1 λ⟨µ ν⟩
Π
Π λ + O(Π3 )
η
λ3 = κ = 0
.
岡村 隆 (関西学院大学)
(2)
fµν uν
collision term は δf の 1 次
Πµν 5 成分
λ)
=
(u, T, Π) ∼ ∇µ X
(u, T, Π)
[
]
4
= −2 η σ µν − τΠ ⟨ ∇u Πµν⟩ + Πµν (∇ · u)
3
νλ
+ 2 τΠ Πλ(µ Ων) λ +
.
..
(2)
(fµ µ
δf ∼ T −6 (x) Πµν pµ pν + O(Π2 )
⇒ X
Πµν
+ ···
→
仮定 2： δf の 3 次以上のモーメントは無視
I
.
δf を Πµν で表現
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
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.
.
.
moment approximation
..
30 / 63
2 次流体力学∼運動論
Chapman-Enskog 法
⋆ 一般に局所平衡分布 feq は Boltz.eqn pµ Dµ f = C[ f ] を満たさない
I
C[ feq ] = 0 だが
pµ Dµ feq ̸= 0
I
0 = C[ feq ] = pµ Dµ feq を満たす状態は真の熱平衡状態
⇒ ∃ timelike Killing ξµ
&
T (x) = T0 /| ξ(x) |
Boltz. eqn の衝突項を簡略化
I
I
(
pµ Dµ f := pµ ∇µ − pν Γλ
µν
)
∂
u·p
f = C[ f ] →
(f − feq )
∂pλ
τΠ
)
(
(
)
f (x, p) = feq (ξ) 1 + f1 + f2 + · · ·
fn = O(∂ n )
(u · p) feq
(f1 + f2 + · · · ) = pµ Dµ feq + pµ Dµ (feq f1 ) + · · ·
τΠ
′
f′
τΠ feq
τ
uν
pµ pν ∇µ
⇒ f1 = Π eq pµ Dµ θ =
u · p feq
| u · p | feq
T
τΠ µ
2
f2 =
p Dµ f1 + f1
u·p
⇒
⇒ Πµν に Ω を含む項や曲率依存項は現れない（らしい）
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
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目次
.
. .1 はじめに
.
. .2 2 次流体力学∼現象論
.
. .3 ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
.
. .4 2 次流体力学∼運動論
.
. .5 曲率項の微視的導出
.
. .6 まとめと今後
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
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’14/6/29 ＠基研
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32 / 63
曲率項の微視的導出
なぜ Boltzmann 方程式は曲率依存項を導かないのか？
Boltzmann eqn は hydro より微視的だがあくまでも有効理論
I
BBGKY 階層方程式で 3 次以上の相関を無視して導かれる
⇒ 得られる衝突項は運動量だけでなく配位空間についても非局所
⋆
I
通常局所近似する
→
Lenard-Balescu 方程式, Landau 方程式
非局所性をもつ衝突項 ∼ 衝突項に高階微分項
Boltz. eqn は衝突項の微分項を無視
⇒ R ···· ∼ ∂ 2 などの高階微分項がいくつか見えなくても不思議はない？
I
⇓
構成方程式に現れる曲率依存項を微視的に導くには
修正 Boltzmann 方程式から流体方程式を導く
I
衝突項に配位空間についての非局所性を反映
Jaiswal, etal 1204.3779
多体 Hamiltonian から直接, 流体方程式を導く
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
佐々 1306.4880
.
.
.
.
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33 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (アイディア 1/7)
N 粒子系相空間： Γ = (qA , pA )
H =
∑(
A
∑
p2A
1
+ ΦA (qA ) +
2m
2
Γt+s = (Γt )s = (Γs )t
(
ˆ ; Γ) :=
h(r
∑
A
I
(qAB := qA − qB )
初期状態 Γ から t 経過後の状態
)
ˆ π
ˆ α = h,
ˆ i , ρˆ
マクロ量： C
I
)
V (qAB )
B(̸=A)
時間発展： Γt = e−t{H, · } Γ
I
(A = 1, 2, · · · , N )
π
ˆ i (r ; Γ) :=
(
(α = 0, 1, 2, 3, 4)
p2A
1
δ(r − qA )
+ ΦA (qA ) +
2m
2
∑
∑
)
V (qAB )
B(̸=A)
piA δ(r − qA )
A
I
ρ(r
ˆ ; Γ) :=
∑
m δ(r − qA )
A
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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34 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (アイディア 2/7)
ˆ α (r ; Γt ) + ∂j Jˆα j (r ; Γt ) = 0
保存則： ∂t C
I
Jˆα j は実際に構成可能
eg) Jˆ4 j (r ; Γ) = π
ˆ j (r ; Γt )
eg) Jˆij (r ; Γ) =
)
∑ ( piA pj
A
+ δ ij ΦA (qA ) δ(r − qA ) + · · ·
m
A
⟨
ˆ ; Γt )
期待値： At (r) := A(r
I
Liouville ∂Γt /∂Γ = 1 と
At (r) =
⟨
ˆ
A(r)
∫
⟩
⟨
t
:=
0
:=
ˆ ; Γt )
dΓ P0 (Γ) A(r
Pt (Γ) := P0 (Γ−t ) を用いて
ˆ ; Γ)
dΓ Pt (Γ) A(r
目標： Jtα j (r) = Jˆα j (r)
I
∫
⟩
⟩
t
をマクロ量 Ctα (r) で表す (微分含む)
→
期待値の保存則 ∂t Ctα (r) + ∂j Jtα j (r) = 0 が閉じる
流体
∫
以下では f · g :=
d3 r f (r) g(r)
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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35 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (アイディア 3/7)
moving frame： 速度 u(r) で運動する観測者の静止系
ˆ′ (Γ) は次で得られる
I moving frame で自然に定義される量 A
ˆ′ (Γ) = A(Γ
ˆ ′)
A
(
)
(
)
Γ = qA , pA 7→ Γ′ = qA , pA − m u(qA )
eg) π
ˆ ′i (r ; Γ) := π
ˆ i (r ; Γ′ ) = π
ˆ i (r ; Γ) − ρ(r
ˆ ; Γ) ui (r)
Landau-Lifshitz frame： πt′ i (r) = ⟨ π
ˆ ′ i (r) ⟩t = 0
I
LL-frame の速度場 ui (r) を用いて必ず
πti = ρt uit
Jtij = Jt′ ij + ρt uit ujt
期待値の保存則 ∂t Ctα (r) + ∂j Jtα j (r) = 0 (α = 1 ∼ 4) は
I
(
)
ρt Dt uit = −∂j Jtij − ρt uit ujt = −∂j Jt′ ij
I
Dt ρt = −ρt ∂j ujt
ここで Dt は Lagrange 微分 Dt := ∂t + uj ∂j
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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36 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (アイディア 4/7)
仮定 1 初期分布は Local Gibbs 分布 PLG (Γ ; λ) = e−Ψ(λ)−λ
α
I
ˆ α (Γ) = λ′α · C
ˆ ′α (Γ)
λα · C
⇔
熱平衡状態＠ LL-frame
I （局所）
ˆ α (Γ)
·C
プライム付きは LL-frame での量
λ ∼ βth , λ′4 ∼ βth µth , ⃗
λ′ = 0
′0
Ψ は Mathieu 関数 Ψ/V ∼ β pth
ϵ := ξmicro /ξmacro ≪ 1
仮定 2 ミクロ vs マクロの階層が存在
⇒ 後の時刻での分布 Pt (Γ) も LG 分布が良い近似
⇓
物理的な
Ctα
I
つまり
I
⟨ ⟩LG
λ
を再現する LG 分布 PLG (Γ ; λt ) を定義
Ctα (r)
=
⟨
ˆ α (r)
C
⟩
t
=
⟨
ˆ α (r)
C
⟨
は PLG (Γ ; λ) 期待値
⟩LG
を満たすよう λα
t (r) を調節
λt
⟩LG
ˆ
A(r)
:=
λ
∫
ˆ ; Γ)
dΓ PLG (Γ ; λ) A(r
ˆ
ˆ t で表現
Pt (Γ) = PLG (Γ ; λt ) eΣt (Γ)
→
Pt を LG 分布とズレ Σ
ˆ
I Σt (Γ) := ln Pt (Γ)/PLG (Γ ; λt ) = ln PLG (Γ−t ; λ)/PLG (Γ ; λt )
⟩LG
⟩
⟨
⟨
ˆ
ˆ
ˆ
I
eΣt (Γ) λ
A(r)
= A(r)
t
t
⇒ LG 分布をもとに理解できるよう恒等的な書換え
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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37 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (アイディア 5/7)
物理的な Ctα を再現する LG 分布 PLG (Γ ; λt ) を定義
⟨
ˆ α (r)
C
⟩
⟨
ˆ α (r)
C
I
Ctα (r) =
I
Pt (Γ) = PLG (Γ ; λt ) eΣt (Γ)
t
=
ˆ
⟩LG
λt
→
を満たすよう λα
t (r) を調節
ˆ t で表現
Pt を LG 分布とズレ Σ
ˆ t (Γ) := ln Pt (Γ)/PLG (Γ ; λt ) = ln PLG (Γ−t ; λ)/PLG (Γ ; λt )
Σ
⟨
⟩
⟨
⟩LG
ˆ
ˆ
ˆ
⇒ A(r)
= A(r)
eΣt (Γ) λ
t
t
α
α
つまり λα
t は Ct の (汎) 関数なので PLG (Γ; λt ) も Ct の (汎) 関数
I
I
⟨
Jˆtα j (r)
⟩LG
λt
であれば Ctα で表せる
⟨
しかし欲しいのは Jˆtα j (r)
⟩
t
=
⟨
ˆ
Jˆtα j (r) eΣt (Γ)
⟩LG
λt
ˆ t (Γ) は C α や λα の微分で表される
幸いにも Σ
t
t
I
I
ˆ
ϵ := ξmicro /ξmacro ≪ 1
∂Ctα = ∂λα
t = O(ϵ) = Σt
⟩LG
⟩LG
⟩
⟨ αj
⟨ αj
⟨ αj
(1)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Jt (r) t = Jt (r) λ + Jt (r) Σt (Γ) λ + · · ·
⇒ ϵ - 展開で
⟨
⟩
Jˆtα j (r) t
t
を
Ctα
t
とその微分で表現可
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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38 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (アイディア 6/7)
0次
(
)
eg) ρt Dt uit = −∂j Jtij − ρt uit ujt = −∂j Jt′ ij
⟨
⟩LG
{
}
′ ij
J(0)t
(r) = Jˆ′ ij (r) λt = pt (r) + Φt (r) δ ij
I
Φt (r) :=
⟨∑
δ(r − qA ) ΦA (qA )
⟩LG
λt
A
I
)
∑ ( p′Ai p′ j
A
Jˆ′ ij (r ; Γ) =
+ δ ij ΦA (qA ) δ(r − qA )
m
A
( j
1 ∑
j )
i
+
FAB (qAB ) qA
− qB
D(r ; qA , qB )
2
A̸=B
に対してビリアル定理を適用すると得られる
はず . . .
⇒ ρt Dt uit = −∂i pt + Fti + O(ϵ)
同様にして
∂t ht + ∂j Jt0 j = 0
Jt0 j = (ht + pt ) uit + O(ϵ)
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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39 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (アイディア 7/7)
.
いくつかの有用な関係式
..
⟨ α j ⟩LG
α
0 = (∂j λ ) · Jˆ
Ctα
I
.
λ
は LG 分布 PLG (Γ ; λt ) で再現されるので簡単な関係式を満たす
Ctα (r) = −δΨ(λ)/δλα (r) λ=λ
t
I
Legendre tr. S(C) := Ψ(λ) + λα · C α
α
⇒ λα
t (r) = δS(C)/δC (r) C=C
t
ˆ t (Γ) := ln Pt (Γ)/PLG (Γ ; λt ) = ln PLG (Γ−t ; λ)/PLG (Γ ; λt )
Σ
α
ˆα
ˆα
= Ψ(λt ) − Ψ(λ) + λα
t · C (Γ) − λ · C (Γ−t )
∫ t
]
d [
ˆ α (Γs−t )
=
ds
Ψ(λs ) + λα
·
C
→ O(∂)
s
ds
0
⟨
⟩
⟨
⟨
⟩LG
ˆ t (Γ) ⟩
ˆ
ˆ
ˆ t (Γ) ≤ e−Σ
1− Σ
= e−Σt (Γ) eΣt (Γ) λ = 1
t
t
t
⟨
⟩
ˆ
⇒ 0 ≤ Σt (Γ) t = S(Ct ) − S(C0 )
2nd law !?
.
..
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
.
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I
40 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (計算 1/6)
ˆ t の書換え
Σ
(時間微分を空間微分へ)
[
]
t
(
δΨ )
α
α
α
α
ˆ
ˆ
ˆ
Σt (Γ) =
ds (∂s λs ) · C (Γs−t ) +
+ λs · ∂s C (Γs−t )
δλα
0
s
[
]
∫ t
α
α
α
αj
ˆ
ˆ
=
ds (∂s λs ) · δ Cs + (∂j λs ) · δ Js
∫
∫
0
=
ds
0
I
I
I
[
t
(Ds λα
s)
(
)
ˆ α + (∂j λα ) · δ Jˆα j − δ C
ˆ α uj
· δC
s
s
s
s
]
← O(∂)
⟨ ⟩LG
ˆs := A(Γ
ˆ s−t ) − A
ˆ
δA
λs
⟨ ⟩LG
⟨ ⟩LG
ˆ ⟩s − A
ˆ
ˆ
ˆ
⟨ δAs ⟩t = ⟨ A(Γs−t ) ⟩t − A
= ⟨A
λs
λs
Ds := ∂s + uj ∂j
eg) ρs Ds ui = −∂j Js′ ij
eg) Dt ρt = −ρt ∂j ujt
← 空間微分
← 空間微分
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
41 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (計算 2/6)
ˆ t の書換え＠ LL-frame
Σ
∫
[
t
ˆ t (Γ) =
Σ
ds
0
( ′0j
)
ˆ
ˆj
(∂j λ′0
− δ∆
s ) · δ Js
s
(
′ ij )
′0 ∂j Js
+ ∂i λ′4
+
λ
· δπ
ˆ s′ i
s
s
ρs
{
}]
Ds λ′0
Ds λ′4
s
s
′0
′ jk
′
′
ˆ
ˆ
−λs (∂j uk ) · δ Js −
· δ hs −
· δ ρˆs
λ′0
λ′0
s
s
λ′α
s とマクロ量の関係
h′ , ρ から熱力学的に導かれる β , µ とゼロ次で一致
I
λ′0
s = βs + O(ϵ)
I
λ′4
s = −βs µs + O(ϵ) = −νs + O(ϵ)
I
β p = sth (h′ , ρ) − β h′ + β µ ρ
{
}
J ′ ij (r) = p(r) + Φ(r) δ ij + O(ϵ)
I
Φ(r) := ⟨
∑
δ(r − qA ) ΦA (qA ) ⟩
A
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
42 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (計算 3/6)
ˆt
⋆ O(ϵ) までの Σ
[
∫ t
{
}
ˆ
Σt (Γ) =
ds (∂k βs ) · δ qˆsk − βs (∂k uℓs ) · τˆskℓ
0
+
I
I
I
βs
ρs
qˆk := Jˆ′ 0 k −
(∂k Φs ) ·
h′ + p
ρ
δπ
ˆ s′ k
]
+ O(ϵ2 )
ˆk
π
ˆ′ k − ∆
)
ˆ ′ + ∂p δ ρˆ′
δ
h
∂h′
∂ρ
(
)
∂p
∂p
kℓ
′ kℓ
kℓ
′
′
ˆ
ˆ
⟨ τˆs ⟩t = ⟨ δ Js ⟩t − δ
⟨ δ hs ⟩t +
⟨ δ ρˆs ⟩t
∂h′
∂ρ
⟨
⟩LG
= ⟨ Jˆ′ kℓ ⟩s − Jˆ′ kℓ λs
τˆkℓ := δ Jˆ′ kℓ − δ kℓ
( ∂p
⇒ ⟨ Jˆ′ kℓ ⟩t の LG 期待値からのズレは ⟨ τˆ kℓ ⟩t を評価すればよい
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
43 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (計算 4/6)
⋆ 1 次まで
′ ij
′ ij
eg) ρt Dt uit = −∂j Jt′ ij = −∂j J(0)t
− ∂j J(1)t
I
I
⟨
{
}
= pt (r) + Φt (r) δ ij
⟨
⟩
⟨
ˆ ⟩LG
′ ij
Jt′ ij (r) − J(0)t
(r) = τˆ ij (r) t = τˆ ij (r) eΣt λ
′ ij
J(0)t
(r) =
Jˆ′ ij (r)
⟩LG
λt
(full order)
t
⟨
⟩LG
′ ij
ij
ˆ (1)
J(1)t
(r) = τ(1)t
(r) = τˆ ij (r) Σ
t (Γ) λt
∫
I
[
t
ˆ (1)
Σ
t (Γ) =
ds
{
}
(∂k βs ) · δ qˆsk − βs (∂k uℓs ) · τˆskℓ + · · ·
]
0
′ ij
J(1)t
(r) ⊃ −
∫
∫
t
ds
0
{
}
dr ′ βs (r ′ ) ∂k uℓs (r ′ ) ⟨ τˆ ij (r) τˆskℓ (r ′ ) ⟩LG
λt
}
∼ − βt (r) ∂k uℓt (r)
{
⇒
′ ij
J(1)t
(r)
∼ −2 η
σtij
(
∫
∫
t
ds
0
LG
dr ′ ⟨ τˆ ij (r) τˆskℓ (r ′ ) ⟩λ
t
)
− ζ − 2 η/3 δ ij θt
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
44 / 63
曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (計算 5/6)
ˆ t の書換え＠ LL-frame (その 2)
Σ
∫
[
t
ˆ t (Γ) =
Σ
ds
0
+
I
I
βs
ρs
{
(∂j λ′0
ˆsj − (λ′0
ˆsjk
s ) · δq
s ∂j uk ) · τ
λ′0
s
∂j Js′ ij −
( ∂p
∂i λ′0
s −
βs
∂β
∂(βµ)
{
}
∂p
′0
ˆ′
+ Ds λ′0
· δh
s − λs (∂ · us )
s
∂h′
]
{
}
∂p
′0
′
+ Ds λ′4
−
λ
(∂
·
u
)
·
δ
ρ
ˆ
s
s
s
s
∂ρ
qˆj := Jˆ′ 0 j −
h′ + p
ρ
τˆij := δ Jˆ′ ij − δ ij
∂i λ′4
s
)}
· δπ
ˆ s′ i
ˆj
π
ˆ′ j − ∆
( ∂p
∂h′
ˆ′ +
δh
∂p
∂ρ
δ ρˆ′
)
.
岡村 隆 (関西学院大学)
∂p
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
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曲率項の微視的導出
佐々の方法 ∼ Hamiltonian から流体へ (計算 6/6)
⋆ 2 次まで
{ (2)
( (1)
)
}⟩
ˆ t (Γ) + Σ
ˆ t (Γ) 2 /2 LG
τˆij (r) Σ
λt
[
]
∫ t
βs
k
ℓ
kℓ
′k
ˆ (1)
Σ
(Γ)
=
ds
(∂
β
)
·
δ
q
ˆ
−
β
(∂
u
)
·
τ
ˆ
+
∂
Φ
·
δ
π
ˆ
k
s
s
k
k
s
s
s
s
s
t
ρs
0
′ ij
J(2)t
(r) =
I
I
I
⟨
ˆ (1)
ˆ (2)
Σ
には力 ∂Φ のみ → 加速度差 ∂ 2 Φ が出るなら Σ
から
t
t
∫ t
β
t
′ ij
J(1)t
∼ (NS) +
∂k Φt
ds dr ′ ⟨ τˆij (r) δ π
ˆ s′ k (r ′ ) ⟩LG
λt
ρt
0
∫ t
)
( λ′0
s
ˆ t (Γ) ⊃
ˆ s′ k
Σ
ds
∂ℓ Js′ kℓ · δ π
ρs
0
∫
)
)
( β (1)
s
′ kℓ
′ kℓ
∂ℓ J(1)s
∂ℓ J(0)s
· δπ
ˆ s′ k
· δπ
ˆ s′ i +
ρs
ρs
0
(β
)∫ t
⟨
⟩LG
⟨
⟩LG
t
′ ij
′ kℓ
ˆ (2)
J(2)t
(r) ⊃ τˆij (r) Σ
(Γ)
∼
∂
J
ds dr ′ τˆij δ π
ˆ s′ k λ
ℓ (1)t
t
λt
t
ρt
0
ˆ (2)
Σ
t (Γ) ⊃
t
ds
(β
s
ˆkℓ δ π
ˆ s′ m ⟩LG
∼ ⟨ τˆij δ π
ˆ s′ k ⟩LG
λt (∂ℓ ∂m Φt )
λt ⟨ τ
←
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
潮汐力が寄与？
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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目次
.
. .1 はじめに
.
. .2 2 次流体力学∼現象論
.
. .3 ゲージ／重力対応による輸送係数の評価
.
. .4 2 次流体力学∼運動論
.
. .5 曲率項の微視的導出
.
. .6 まとめと今後
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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47 / 63
まとめと今後
.
相対論的因果律を満たす散逸流体力学の問題点
..
Israel-Stewart 理論
BRS3
.
非平衡エントロピーから流体力学を導く
微分展開として流体力学を整理 (BRS3 ⊃ IS)
ゲージ／重力対応は IS に現れない項の存在を予言（特に曲率依存項）
Boltzmann eqn は曲率依存項を導かない
(∵ 既に低階微分の有効理論)
.
曲率依存項の微視的導出に向けて
.
.
.. .
.
..
修正 Boltzmann 方程式
衝突項に配位空間の非局所性を反映
多体 Hamiltonian から直接, 流体方程式を導く佐々の方法
Q. J ij に加速度差 ∼ 曲率依存項が現れるか？
cf) 速度差 ∼ ずり粘性
ij
A. 外力による加速度差は J に寄与する ＠ Newtonian かも . . .
⟨
τˆij δ π
ˆ s′ k
⟩LG
λ
̸= 0 なら
→
ちょっと厳しい？
全体通して要チェック
.
今後
.
ただし
.
.. .
.
..
.
..
I
formal な部分は出来ている. あとはミクロ／マクロ展開をするだけ
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
.
.
曲った時空へ相対論的拡張
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Appendix
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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ゲージ／重力対応
ゼロ温度対応
ゼロ温度 AdS/CFT 対応
..
(d + 1)-dim. sQFT
⇐⇒
AdS flat bdy 上 (u = 0)
←→
ds2d+2
eg) N = 4 SYM4
⇐⇒
5-dim. AdS（古典）重力
←→
←→
gs ≪ 1
2
gYM
.
..
.
λ :=
2
gYM
N
(d + 2)-dim. AdS 重力
L2
u2
=
(−dt2 + dx2d + du2 )
(L/ls )4 ≫ 1
.
強結合 (λ ≫ 1) の量子物理を古典重力 (ls /L ≪ 1) で解析
(N = 4) SYM4 ̸= QCD だが定量的にも有用な知見が得られている
I
閉じ込め
.
.
グルーオン放射問題
⇒ 一種の可解模型的な役割
この対応はまだ証明されていないが, この予想の背景には
超弦理論のある配位 (D-brane) の性質がある.
それを仲介して sQFTd+1 と AdSd+2 重力 との対応が付けられる
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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ゲージ／重力対応
有限温度対応
.
ゲージ／重力対応 ⊃ 有限温度 AdS/CFT 対応
.
..
(d + 1)-dim. sQFT
⇐⇒
AdS flat bdy 上 (u = 0)
←→
ds2d+2
eg) N = 4 SYM4
⇐⇒
5-dim. AdS（古典）BH
←→
←→
(L/ls )4 ≫ 1
2
λ := gYM
N
T
s
ρ
.
..
(N = 4)
I
I
←→
←→
←→
=
L2
u2
(
−f dt2 + dx2d +
du2
f (u)
)
gs ≪ 1
TBH
SBH /V
QBH /V
.
SYM4 ̸= QCD だが定量的にも有用な知見が得られている
viscosity bound
(η/s ≥ ~/4πkB )
expanding plasma （熱化過程）
Jet quenching
.
2
gYM
(d + 2)-dim. AdS BH
J/Ψ 抑制
特に動的過程に強い
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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ゲージ／重力対応
拡大解釈版
.
ゲージ／重力対応（拡大解釈版）
..
(d + 1)-dim. sQFT ⇐⇒
(d + 2)-dim. AdS BH + α
？
⇐⇒
5-dim. AdS（古典）BH + α
？
←→
←→
gs ≪ 1
T
s
µ
ρ
(L/ls )4 ≫ 1
←→
←→
←→
←→
TBH
SBH /V
ΦBH
QBH /V
.
.
？
.
..
.
拡大解釈版は ctrl para.(eg. µ) や可観測量 (eg. ρ) は分かるが
背後の理論 (Lagrangian, Hamiltonian) は不明
⇒ “新規材料”
“新規材料” の実験測定
⇔
AdS BH +α
⇔
AdS BH +α の解析
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(old) membrane paradigm
拡大解釈版のゲージ／重力対応は何だか怪しげ
しかし, BH を何かの “物質” と解釈する考えには歴史がある
BH membrane paradigm
−→
(old) membrane paradigm
I
拡大解釈版ゲージ／重力対応 →
(new) membrane paradigm？
.
Black Hole Membrane Paradigm ∼ 漸近 obs. から見た BH の特徴
..
無限遠の obs. による BH の表現
境界条件 (horizon の “一方通行性”) が “物性” を導く
I
I
.
無限の重力赤方偏移
horizon ingoing = horizon regularity for FF obs.
I
I
I
.
..
I
2
membrane の electric conductivity： σmem = 1/geff
membrane の (shear viscosity)/(entropy density)： η/s = 1/4π
物理解釈上の難点： (energy density) < 0, (bulk viscosity) < 0
membrane の応答が局所的
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
.
.
⇒ 普遍的性質
53 / 63
（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(old) black hole membrane paradigm
eg) 静電ポテンシャルの鏡像法
S=
∫
R3
[
]
d3 x (∇ϕ)2 /2 − ρϕ
⋆ 全域の静電ポテンシャル問題を x > 0 だけで考えたい
S> :=
I
∫
∫
x>0
(· · · )
⇒
δS> = −
0 = δS> ; △ϕ = −ρ
dydz δϕ ∂x ϕ + (EOM)
x=0+
∵ δϕx=0+ = 0 は課されていない
¯> := S> + Ssurf の変分問題にしてクリア
⇒ surf. action Ssurf を加えた S
∫
I
δSsurf = +
I
一方 δSsurf =: −
⇒ △ ϕ = −ρ,
x=0+
dydz δϕ ∂x ϕ を要請
←
∫
dydz
δϕ
σ
←
x=0+
表面項を打ち消す
面電荷密度の定義
σ = −∂x ϕ
σ は x = 0 を通過する電気力線を湧き出す（吸い込む）面電荷密度
⇒ 全域の問題を部分領域のみで扱うと境界にモノがあるように見える
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
.
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(old) black hole membrane paradigm
一般的手続き： 外部領域 (ext) & boundary S (= membrane)
考えたい外部問題 Sext
I
Sext
I
δSext = (EOM) + δSext |S + · · ·
→
¯ext := Sext + Smem
S
¯ext = (EOM) としたい
δS
⇒ δSmem := −δSext |S
I
δSext |S = (Hamilton-Jacobi の表面項) = (運動量) × δ(表面配位)
⋆ δSmem = (応答) × δ(表面配位)
= − (運動量) × δ(表面配位)
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(old) black hole membrane paradigm
(
)
2
F
−2
LEM = − 2 + J M AM ,
⇒
∇N geff
F MN = J M
4geff
∫
−2
δSEM,mem = −δSEM,ext |S = −
dΣ geff
nM F M N δAN
S
∫
−2
dΣ j µ δAµ
⇒
j µ = −geff
nM F M µ
⇒ δSEM,mem =:
S
あらゆる場は horizon in-going ＠ horizon 近傍： Φ(t, r) → Φ(t + r)
I
ds2D = −α2 dt2 + dr 2 /α2 + · · ·,
I
0 ∼ ∂u Φ ∝ (α dt − dr/α) · ∇Φ
nM = (dr)M /α
−2 M µ
−2
⇒ j µ ∼ geff
n F M = geff
F µτ
⇒ Ohm’s law
→
→
n · ∇Φ ∼ ∂τ Φ
⇒
⃗j∥ = g −2 E
⃗∥
eff
2
membrane の electric conductivity： σmem = 1/geff
∫
⋆ 一般に Ohm’s law は非局所： ⃗j(x) =
I
dτ = αdt
⃗ ′)
dx σ(x − x′ ) E(x
membrane の（電磁）応答は局所的
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(old) black hole membrane paradigm
∫
∫
√
R[ G ]
K
Sext =
dD X −G
+
dΣ 2 ,
KM N := gM L ∇L nN
2 κ20
κ0
S
∫
(
)
1
MN
MN
δSmem = −δSext |S =
dΣ
δg
Kg
−
K
M
N
2κ20 S
∫
1
1
⇒ δSmem =:
dΣ tµν δgµν
⇒
tµν = 2 (K g µν − K µν )
2
κ0
I
1
1
1
Ln gµν ∼ (n · ∇)gµν ∼ − (U · ∇)gµν
2
2
2
}
{
(
)
1
D−3
= 2 −θ Uµ Uν + g +
θ γµν − σµν
D−2
κ0
Kµν =
⇒ tµν
cf)
(g: U の acc.)
tµν = ϵ uµ uν + P γµν − 2 η σµν − ζ θ γµν
⇒ ϵ = −θ/κ20 ,
P = g/κ20 ,
ζ = −1/2κ20
η = 1/2κ20 ,
⇒ η/s = 1/4π
←
entropy density s = S/A = 4π/2κ20
物理解釈上の難点： ϵ < 0, ζ < 0
力学的応答も局所的
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(new) membrane paradigm?
horizon そのものは無限遠 obs. から見えない
⇒ 無限遠 obs. がアクセスできるところに
BH “物性” があるとした方が良いのでは？
Q. どこに？
A. BH 時空が外部につくるポテンシャル障壁の最も高いところ
.
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(new) membrane paradigm?
ds2d+1 = −f (r) dt2 + dr 2 /f (r) + r 2 dΩ2d−1
(
)
Φ = e−iωt ϕ(r)/r (d−1)/2
∫
dr
r∗ :=
f
]
d ( (d−3)/2 )
r
f
dr
scalar field (S-wave)： 0 = − m2 Φ,
(
)
ω 2 ϕ = −∂r2∗ + V (r) ϕ ,
[
d−1
V (r) := f m2 +
2 r (d−1)/2
potential の特徴
I
I
I
(near H)
non-extremal： r∗ に関して急速な立ち上がり
extremal： r∗ について巾的振る舞い
∫
WKB 透過率：
∫
∼
dr
r0
√
∞
−∞
1
r−r0
1
r−r0
dr∗
∫
√
V (r) =
∞
r0
∫
dr √
dr
V (r) ∼
√
f
f
r0
for non-extremal
for extremal
⇒ extremal の方が強い pot. 障壁
岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
.
.
.
.
.
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(new) membrane paradigm?
ex) 4D RNBH： f (r) = g(r) = (r − r+ )(r − r− )/r2
f (r) =
)(
)
( r )2 ( r
r
+
−1
−1+ϵ ,
r
r+
r+
near extremal RN (ϵ ≪ 1) → ϵ ≪
2
⇒ ds24 ∼ r+
r
r+
−dt2 + du2
2
+ r+
dΩ22 ,
u2
ϵ := 1 −
r−
r+
− 1 ≪ 1 を満たす領域が存在
(
u :=
)
2
r+
AdS2 × S2
r − r+
ex) 一般の near horizon： f (r) = g(r) (r = r0 ＠ horizon)
f (r) =
r02 f ′′ (r0 )
2
near extremal：
⇒ ds2D ∼
′
f0
′′
r 0 f0
(
)(
)
2 f ′ (r0 )
r
r
−1
−1+
+ ···
r0
r0
r0 f ′′ (r0 )
≪1
→
′
f0
′′
r 0 f0
2 −dt2 + du2
+ r02 dΩ2D−2 ,
f0′′
u2
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
r
r0
(
u :=
.
岡村 隆 (関西学院大学)
≪
.
−1≪1
2
2
r0
)
2 f ′′ r − r
r0
0
0
.
.
.
’14/6/29 ＠基研
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(new) membrane paradigm?
BH membrane paradigm (horizon = null 面)
I
普遍的性質を有するが 非物理的解釈も要求
I
真の horizon は漸近 obs. から見えない
⇒ 新たな特徴付けによる BH “物性” はできないか？
.
漸近的 AdS ∼ BH “物性” の新たな特徴付け
..
near extremal BH の “物性”∼ 漸近的 AdS BH
I
I
I
.
near horizon 領域と平坦な漸近領域との間に AdS 領域をもつ
pot. 障壁により これら 2 つの領域は decouple ＠ low-E
漸近 obs. にとって near horizon 領域の “界面” は AdS 領域
⇒ 漸近 obs. にとって BH “物性” は AdS 領域
（near horizon 領域の “無限遠”）に encode される
（Hamilton-Jacobi 処方を施せ）
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..
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岡村 隆 (関西学院大学)
2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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⇒ AdS 領域に “membrane” があると思い BH membrane 処方を施せ
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（拡大解釈）ゲージ／重力対応と
BH membrane paradigm
(new) membrane paradigm?
具体的な処方箋
BH “物性” を担う near horizon (AdS 領域) をはじめから扱い
無限遠 obs. との “界面” となるポテンシャル障壁の頂上
つまり AdS 領域の無限遠に “物性” 情報があると考える
I
Sext = SnearH + Saympt + S
Xint ← SnearH に near H の情報
一般に漸近領域と結合するが near-ext. では near H のみ 抽出可
I
bc ＠ H： horizon in-going for timelike,
regular for spacelike
＠ AdS： (Min.) 漸近領域の obs. が課したい条件 ex) 正準？ 大正準？ · · ·
I
on-shell で SnearH は bdy data のみの関数 (bdy = H ∪ [AdS 領域])
on-shell
→ SnearH
の AdS 側 bdy term に near H の情報が投影されている
?
µ
∼
jmem
on-shell δSnearH
,
δAµ AdS bdy
?
µν
∼
Tmem
on-shell δSnearH
δgµν AdS bdy
···
(HJ)
⋆ AdS radius 方向に foliate したときの正準共役運動量＠ AdS 無限遠
= horizon 物性の elemag. current, energy-mom. tensor
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BH membrane paradigm
(new) membrane paradigm?
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BH “物性” の読み取り
..
bulk action： Sd+2 =
.
1
2κ2
∫
(
)
√
1
dd+2 X −G R[G] − 2Λ − F 2 + · · ·
4
EOM を解く
I
bc ＠ H： horizon in-going for timelike
I
bc ＠ AdS bdy： Gµν (x, u) ∼ (L/u) gµν (x) + · · ·
or
regularity for spacelike
2
Aµ (x, u) ∼ Aµ (x) + · · ·
on-shell action を評価し
I
.
..
on-shell on-shell
2 δSD
1 δSD
µν
µ
(x) := √
(x) := √
Tmem
, jmem
−g δgµν (x) AdS bdy
−g δAµ (x)
もしくは Gµν , Aµ の正準共役運動量 π
µν
,π
µ
AdS bdy
から
L/u の巾を適当に換算して求めても良い
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2 次流体に現れる曲率項の微視的起源
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