平成 26 年度生入学選考試験数学［特待生入試］

［関西健康科学専門学校入学試験過去問題①］
平成 26 年度生入学選考試験数学［特待生入試］
１．方程式 2x2－7x＋2＝0 の 2 解のうち、大きい方を α とするとき、次の問いに答えなさい。
問 1 α に最も近い整数を求めなさい。
問 2 α＋、√α＋を求めなさい。
√
２．自然数 l、m、n に対して、条件 p、q、r を次のように定める。
p：l、m、n のうち、少なくとも一つは偶数である
q：l、m、n はすべて奇数である
r：l2＋m2＝n2 が成り立つ
また、条件 q の否定を q で表す。
次の（ア）～（エ）に当てはまるものを、下の①～④のうちから一つずつ選びなさい。
p は q であるための（ア）
p は r であるための（イ）
q は r であるための（ウ）
r は q であるための（エ）
① 必要十分条件である
② 必要条件であるが、十分条件でない
③ 十分条件であるが、必要条件でない
④ 必要条件でも十分条件でもない
３．a を定数とする。2 次関数
y＝x2－3x＋a2－4a＋
…① のグラフを G とする。次の問いを答えなさい。
問 1 G の頂点の座標を求めなさい。また、G が x 軸と共通点をもたないような a の値の範囲を求めなさい。
問 2 a＝1 のとき、G を x 軸方向に− 、y 軸方向に－3 だけ平行移動して得られるグラフを表す 2 次関数を求
めなさい。また、この 2 次関数のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを求めなさい。
問 3 G が点（− 、3）を通るとする。このとき関数①の 0≦x≦2 における最小値と最大値を求めなさい。
問 4 c を正の定数とするとき、関数①の 0≦x≦c における最小値と最大値が問 3 と同じである。このような
c の条件を求めなさい。
４．AB＝2√3、BC＝6、CA＝6√2である△ABC の外接円を O1 とし、円 O1 の中心を P とする。次の問いに答え
なさい。
問 1 cos∠ABC、sin∠ABC を求めなさい。
問 2 円 O1 の半径を求めなさい。
問 3 辺 BC の中点を M とし、直線 PM 上に中心をもち、2 点 B、C を通り直線
AC と点 C で接する円を O2 とし、O2 の中心を Q とする。直線 AB と円 O2
との B 以外の交点を D としたときの AD を求めなさい。
問 4 △ABC の面積 S1 と△BCD の面積 S2 を求めなさい。
問 5 CD、CQ、PQ も求めなさい。
５．座標平面上を動く点 P が最初原点にある。さいころを 1 回投げて「出た目が 1、2 のときは x 軸の正方向に
1 だけ動く」
「出た目が 3、4 のときは y 軸方向に 1 だけ動く」
「出た目が数 5、6 のときは動かない」とする。
さいころを 4 回投げたとき、点 P が座標（X、Y）の点にあるとする。次の問いに答えなさい。
問 1 （X、Y）＝（4、0）となる確率を求めなさい。
問 2 （X、Y）＝（3、1）となる確率を求めなさい。
問 3 （X、Y）＝（3、0）となる確率を求めなさい。
問 4 （X、Y）＝（2、1）となる確率を求めなさい。
問 5 4 回投げて移動する距離を L とする。すなわち、L=X＋Y とする。L＝2 となる確率と L の期待値を求め
なさい。
［関西健康科学専門学校入学試験過去問題②］
平成 26 年度生入学選考試験数学［特待生入試］
2
１．次の不等式 x －2x－2＜0 …① ｜x－2｜＜1 …②
x2＋(a＋1)x＋a≧0 …③とする。
次の問いに答えなさい。
問 1 ①、②をともに満たす x の範囲を求めなさい。
問 2 ①、②の少なくとも一方を満たす x の範囲を求めなさい。
問 3 すべての実数 x が③を満たす a の値を求めなさい。
問 4 すべての実数 x が③を満たすような a の値の範囲はどのようなときか求めなさい。
問 5 ①、②、③をすてべ満たす実数 x が存在しないような a の値の範囲はどのようなときか求めなさい。
２．整数の集合 A、B、C を A＝｛3k｜k は整数｝ B＝｛3k+1｜k は整数｝ C＝｛3k+2｜k は整数｝とする。
次の問いに答えなさい。
問 1 次の（ア）
、
（イ）に当てはまるものを、下の①～③のうちから一つずつ選びなさい。
n が A の要素であるとき、n2－1 は（ア）の要素である。
n が B の要素であるとき、n2－1 は（イ）の要素である。
① A
② B
③ C
問 2 n を整数とする。次の（ア）
、
（イ）に当てはまるものを下の①～④のうちから一つずつ選びなさい。
2
「n －1 が A の要素である」ことは「n が B の要素である」ための（ア）
。
2
。
「n －1 が 9 の倍数である」ことは「n が B の要素である」ための（イ）
① 必要十分条件である
② 必要条件であるが、十分条件でない
③ 十分条件であるが、必要条件でない
④ 必要条件でも十分条件でもない
３．a を定数とし、x の関数 y＝x2－(2a－1)x＋a2+a－
…① のグラフを G とする。次の問いに答えなさい。
問 1 グラフ G の表す放物線の頂点 A を求めなさい。
問 2 グラフ G が x 軸と共有点をもたないのは a がどのようなときか。また、このとき、原点を O とし、A から x
軸に垂線 AH を引く、△OAH の面積 S を求めなさい。
問 3 S＝1 となるときの a を求めなさい。
問 4 グラフ G と y 軸との交点の y 座標を b とおくと、b＜0 となるときの a の範囲を求めなさい。
問 5 0≦x≦2 における関数①の最大値を求めなさい。
４．△ABC において、AB＝BC＝3、AC＝2 とする。次の問いに答えなさい。
問 1 cos∠ABC、sin∠ABC を求めなさい。
問 2 △ABC の外接円の半径を求めなさい。また、△ABC の面積も求めなさい。
問 3 辺 AB 上に AC＝CD となる A と異なる点 D をとる。BD を求めなさい。
問 4 △ABC の外接円 O と直線 CD との交点のうち C と異なる点を E とする。DE を求めなさい。また、△ADE
の面積も求めなさい。
問 5 点 C、E から点 A における円 O の接線に垂線を下ろし、その交点をそれぞれ H、K とする。HK を求めなさ
い。
５．1 個のサイコロを 3 回投げて、出た目の数を順に a、b、c とする。このとき、得点を次のように定める。
a＜b＜c であれば得点は c 点、 a＜b＝c で c が偶然であれば得点は
+3 点
a＜b＝c で c が奇数であれば得点は(c＋1)点、 a＝b＝c であれば得点は 2c 点、以外は得点は 0 点
次の問いに答えなさい。
問 1 a＜b＜c となるような目の出方は何通りあり、そのうち得点が 5 点となるのは何通りあるか求めなさい。
問 2 a＜b＝c となるような目の出方は何通りあり、そのうち得点が 5 点となるのは何通りあるか求めなさい。
問 3 得点が 4 点となる確率と得点が 6 点となる確率を求めなさい。
問 4 得点の期待値を求めなさい。
［関西健康科学専門学校入学試験過去問題③］
平成 26 年度生入学選考試験数学［特待生入試］
１．方程式 4x2＋2x－3＝｜4x－1｜ …①
とする。次の問いに答えなさい。
問 1 方程式①の解のうち x＜を満たすものを求めなさい。
問 2 方程式①の解は全部で何個あるか求めなさい。また、そのうち最大のものが x の方程式 x2＋3ax＋a2－2＝0
を満たすときの a を求めなさい。
２．m、n を正の整数とし、条件 p、q を p：mn は偶数
q：m＋n は奇数とする。
次の（ア）～（エ）に当てはまるものを、下の①～④のうちから一つずつ選びなさい。
p は「m と n がともに偶数である」ための（ア）
。
p は「m または n が偶数である」ための（イ）
。
q は「m または n が偶数である」ための（ウ）
。
2
2
q は「m ＋n が奇数である」ための（エ）
。
① 必要十分条件である
② 必要条件であるが、十分条件でない
③ 十分条件であるが、必要条件でない
④ 必要条件でも十分条件でもない
のグラフを C とする。
３．a を定数とし、x の 2 関数 y＝x2+2ax＋3a2－8a－10
次の問いに答えなさい。
問 1 グラフ C の表す放物線の頂点を求めなさい。
問 2 グラフ C が x 軸と異なる 2 点 P、Q で交わるのは a がどのようなときか答えなさい。
問 3 線分 PQ の長さ l とする。a がどのようなとき l は最大値になるか求めなさい。最大値も答えなさい。また、
このとき、グラフ C が原点を通るには、x 軸方向、y 軸方向にどれだけ平行移動するか答えなさい。
問 4 2 点 P、Q がともに x 軸の負の部分にあるのは a がどのようなときか答えなさい。
問 5 2 点 P、Q の x 座標をそれぞれ p、q（p＜q）とすると、－1＜p＜1＜q となるのは a がどのようなときか答え
なさい。
４．中心 O の円に内接する台形 ABCD があり、AD∥BC、AB＝3、BC＝8、AD＝5 とする。
次の問いに答えなさい。
問 1 DC、AC、cos∠ABC を求めなさい。
問 2 台形 ABCD の外接円の半径を求めなさい。
問 3 2 直線 AB、CD の交点を P、2 直線 AC、BD の交点を Q とする。AP、AQ、PQ を求めなさい。
√
問 4 台形 ABCD を含む平面に垂直な直線を O を通るように立て、この直線上に OE＝となる点 E をとる。この
とき四角錐 E－ABCD の体積を求めなさい。
５．3 枚の硬貨を投げて、表の出る硬貨の枚数を a とする。また、2 個のサイコロを投げて、出る目の数のうち大きい
ほうの目の数（二つの目の数が同じときにはその目の数）を b とする。次の問いに答えなさい。
問 1 a＝2 である確率と a の期待値を求めなさい。
問 2 b＝5 である確率と b の期待値を求めなさい。
問 3 積 ab のとり得る値の最小値と最大値を求めなさい。また、とり得る整数値は何通りあるか答えなさい。
問 4 ab＝0 である確率を求めなさい。
問 5 ab＝6 である確率を求めなさい。

Download Report