有限円筒の 3 次元応力問題について

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有限円筒の3次元応力問題について
松岡, 健一; 能町, 純雄
室蘭工業大学研究報告.理工編 Vol.9 No.2, pp.465-478, 1977
1977-12-10
http://hdl.handle.net/10258/3664
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有限円筒の 3次元応力問題について
松岡健一・能町純雄
O nThree DimensionalStressProblems ofFinite
Hollow Cylinder
KenichiMatsuokaandSumioNomachi*
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k
e
1.まえカマき
著者らはこれまで円柱座標で表わされる 3次元応力問題として，静的弾性問題では，多層弾
性体の問題 l)2)，無限および有限円柱の問題 3) 円孔を有する無限および半無限体の問題 4)5)を取
扱ってきた。これらはいずれも解法として Fourier-Hankel変換を用いるものであり，数値計算
も数多く行なわれている。しかし円柱座標で、表わされる 3次元応力問題としては最も一般的な
有限円筒の問題に関しては，曲げを受ける両端単純支持された厚肉円筒の問題 6)を取っている
のみで，任意の境界条件に対する解析は行なっていない。この問題に対する著者ら以外の研
究としても，軸対称問題を取扱った柴原らの研究 7)や奥村の研究 8)があるくらいで，非軸対称問
題に関してはその一般解も示されていないようである。
本論文では，まず，有限円筒の非軸対称問題をこれまでと同様に Fourier-Hankel変換を用い
て解析し，その一般解を示した。この解は丈献 6)に示したものとは別の核関数を用いて積分
変換してえられたものであるが，文献 6)の解に比較して境界条件の取扱いが一般的になって
いる。次に，得られた解を用い若干の数値計算を行ない，軸対称の場合に対して柴原らの結果
との比較を行なった。また一部無限円筒の結果との比較も行なった。
*北海道大学工学部教授工博
(
6
7
)
466
松岡健一・能町純雄
2
.基礎方程式
円柱座標におけるつり合い式は，座標軸を r，，
B
zとし，Gr，θ
σ，のをそれぞれに 8
， z
Z
AV
K
知
一
(1)
札)吋
(2)
(3)
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↑
，
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一
一
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一
一
。
一一
++
一パ
一
一
σ
一
一
一
方向の直応力度， τrO， T()z，τ
zrをせん断応力度とすれば，物体力を無視して
となる。また弾性応力問題を対象とするので Hookeの法則は
川
(u
， o
u
w¥
σ
γ
=
(
2
μ十 λ
)どと土十
A
(
~+ v
;
:
:
n+ θ
，
，
<
N)
μ θr '"
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8 'oz)
v ， ow¥
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σ
，
9
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(
2
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)
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.
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l
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σ
，
2
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(2μ+λ)一一十人 ( ~".+丘+ U~n)
oz '"¥or 'r 'ro8/
(4)
V
二 μ(~笠+生一斗
μ ¥
r
o
8 'or r/
(5)
(6)
(
2
L
2
ι
)
oz 'r
o
8
(
7)
(8)
(
担
+
立
笠
)
oz ' or/
となる。ここで u， V ，
W
(9)
はそれぞれ r
，，
8 z方向の分変位であり，
μ，λは Lame の弾性定
数である。
3
. 各変位成分の Fourier-Hankel変換値
有限円筒の一般解は，式 (
1
)
(
3
)の連立偏微分方程式を解くこ
とにより得られるが，ここでは積分変換の一種である F
o
u
r
i
e
r
〆
，
xx
。を核として積分変換を行なう。このとき式(
4
)
c) の聞で
/
F
o
u
r
i
e
r変換を行ない， rに関して (a， b)， Z に関して (0，
(
9
)の Hookeの法則を考慮して応力を変位で表わし積分を行
なう。次に r方向の有限変換を実際に行なうために，次のよう
(
6
8
)
図- 1 有限円筒
BE E -E E -E E
，
1 2… である。こうして Oに関して (0， 2π) の間で有限
一
一
一
J
-
m8X，L
3ニ cosmθX
。を式(
1
)
(
3
)に対して選ぶ。ここで m=O，
cli
cosmθ X L2=sin
・
‘
，・
・・
・
・
'
s，
、
、
唱
岨
・
三
〆‘¥
Ill1Ll
考える。ここで積分変換の核関数として L1
C の有限円筒を
11111111J1
刈/
今図一一 lに示すような内径 a，外径 b，長き
ー
変換と H
onkel変換を用いる方法によって解く。
有限円筒の 3次元応力問題について
4
6
7
におく
Cm[u]=Am
nzγ+ Bzγ
円，
Sm[
川
V
寸
U
] Am
z
r
附
問
(
1
0
)
二
間悶
Cm[
r
γ
τz
] TL
品
z
γ+ T
L
品
z
γ ，S [
θ
r
τz]=TL
品
z
γ
問
問
二
T
#
'
z
r，
(
1
1
)
X1 r
H
m
+
l(
c
;
r
)
c
o
s人々とおき，パ Z に関する変換を完成させる。次に辺々相減じて X=X2=r
H
m
l(
C
i
r
)c
o
sl
¥
々
式
(
1
)
，(
2
)を積分変換してえられた結果に式 (
1
0
)
，(11)を代入し，辺々相加えて X
二
二
ωを代入し，Xo
3
)を積分変換して得られた結果に，式 (
1
0
)
，
とおき変換を続行する。さらに式(
ニ
rHm(
c
;
r
)sinNzとして積分を行なう。ただし上の説明中
Cm[!]二 f f m m鰍
Sm[!]二 ffsinm雌
(a)
Hj(fir)=]j(fir)Y
m
(
f
i
a
)
]
m
(
f
i
a
)巴(
f
i
r
)，j m-l，m ，m+l
こ二
で， ~i， i
ニ 1， 2，…は Hm(
c
;
b
) = 0の根を小さいものから順に並べたものであり， ]
， Yは
第 1種および第 2種の B
e
s
s
e
l関数である。また N二刀 π
/C， n=0， 1， 2，…である。
以上の計算により，各変位成分の有限 F
o
u
r
i
e
r
H
a
n
k
e
l変換値を含む 3元連立方程式が導か
れ，これを解くことにより変位成分の積分変換値が次のように求められる。
Hm+1Cn[Amzr] f
a
b
f
o
CA山
二
r
I
Hm+l(乙山田 Nzdrdz
，
1
1
~ ~ r 1， ~ ~ r 1
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1 r11 1I 7I.T E Y r Y r 1
二2
一
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m
C
[
σ
γ
]
+S
m
C
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r
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+
μ
N
Cm
S
n
[
W
]
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CmCn[
σ]
(~Cn[Amzr]
a
μ(2μ+λ) -(N2
+f
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，
，
，
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1
2
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Hm-lCn[Bm
z
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a
b
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1
Cm
C
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[
σ
γ
]
SmCn[rro]-4μ一一~
[
B
m
z
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]
μ
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z
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HmCmSnIwl=ftywrHAFtf)cosmh凶 '
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C
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入
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γ
]
2
N2+~l L
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2
μ 十人)
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1
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1\.~ ， r~~r 1
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十 2μ (~Cn[Amzr] 十一一~ C
]
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2
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l
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J
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(
2
μ
l
)2L
l 1[
N
十t
H
，:'HV N
lA/
- Hm-1[T
品山
式(l 2)~(14) 中の CmCn[ σr ]，
S
m
C
n
[
r
r
e
，
]…ーなどは肝， τ叫……の積分変換値・を記号
で示したものであるが，その意味は式 (α) および式 (12)~(14) の最初に示した式から明らか
であろう。
4
. 有限円筒の変位の一般解
有限円筒の各変位成分の一般解は，式(12
)
(
1
4
)を逆変換することにより与えられるが式ω をそ
のまま逆変換して得られる W は円筒の偶部(たとえば r=a，
C二
0) で常に Oとなり一般的
には好ましくない。そこで以下に述べるような補正を加える。
まず式の表現を簡単にするため，式 ω-(14)中の
CmCn[σ
γ
]，SmCn[τ
r
o
]，ーなどを次のよう
におく
、
Jft
Bmnγ =Cn[Bm
，
] γm
i
z
=
H
m
+
l
[
T
;
;
'
z
r
]， omiz=Hm-l[T'
/
nz
r
，
]J
z
r
LU
1
)
αm
nr=SmCn[τ
γ
θ
]， βm
n
r二 CmCn[σ
γ
]， Amnr二 Cn[Amzr
，
]
また wの補正により生ずる値も簡単化し，
~r:;mnr 二川 åu/ θ r ]，
Dm
i
z= Hm
+
l
[θAmz/az]， }
Em
l[aBm
az
，]
i
Z Hm
z
r/
(c)
ニ
とおく。ここで式(
4
)を c
osm8・c
o
s
A
危を核関数として θについて (0， 2π)，zについて (0，
c)で積分変換を行ない，式を整理すれば
(
7
0
)
4
6
9
有限円筒の 3次元応力問題について
I
~
F m +1 .
m-1
Nl
Cm[w]
cosNzlo- "~/ Amnr-苛 JBmp
r
CmSn[
ω]=-
1
> T
げ
1
ワ川十~
-ーと一一一一
βm
n
r，
m
n
r+
λ NC
~mm ' ~N
(
1
5
)
次に式 (
8
)を sinm8
，式 (
9
)を c
osm8で積分変換し，得られた式を辺々相加え rH
間+
1(~lr) で積分
変換を行ない，式を整理すれば
Hd
川
ι
ι
C
叫m
[
川
刈
ω]二」子什
ι
￨
C
叫
川
山
m
[
[
μ
ω
山
川
刈]品
r
H
ι
H
m
品川.α..
b+て壬
L(μD
与
乞ん
間zz
問
と
!
;
i
ぐ
目
臼
i
(
1
6
)
川
また相辺相減じ r
H
m
l (~ir) で積分変換を行ない，式を整理すれば
HmC
ιm[
川
叶
ω
]
二
ι
引[
C
ι
叫
仙
問
」
山
[
い
ω
]
同
ι
胤品肘
n
川
ベ
+
バ
1
(
叶
」
品
(
1
7
)
式(
ω
i
ω
6
)，(
17
)から次の式が得られる。
HηmC
ぷ刈，
(
1
8
)
(
1
9
)
μ(
DmiZ十 E
m
i
Z
)一 (
γm
.
z十 OmiZ)=0
)
-(14)に式(15
)
-(
18
)の関係を代入し逆変換を行なうことにより各変位成分を求めることができ
式(12
る。上の誘導では m 宇 0， nヰ Oの場合について述べているが n二 0， mニ Oの式は，上に述
べた各式で m ニ Oとすれば、良い。 nニ Oのときは別な形となるが，誘導の方法は上の場合と同
様である。また iニ Oに相当する初期項も必要となるが，これも途中の積分変換で r
H
m
+
l(~ir)
の代りに r
2
m，r
H
m
l(~lr) の代りに r2+m を用いて積分を行ない同様に求めることができる。
従って各変位成分内一般式は
1
A
，
1∞
τ2
:
:(Am
cosm8
，
zγ +Bmzr)
m=l
U 二三 Ao
z
r+
JL
(
2
0
)
JL
u=12(AmzTB772Zγ)sinm
8
.
(
2
1
)
7
Tm=1
mb
z
m 1
2ma2
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定数で，変位の適合条件や境界条件により決定されるものである。また各応力成分は H
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法則式 (4)~(9) から求められる。
式 (22)~(25) 中の関数は Fourier 変換および Hankel 変換の逆変換により得られるもので結果の
みを示せば次のようである。
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川
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5
. 境界条件および適合条件
式似)~(25) 中の未知定数のうち， Amn
，Bmnについては，これらが円筒の外面および内面の変位
を表わすものであるから次の条件を満足しなければならない。これは境界の状態に無関係に成
立しなければならない。すなわち
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，
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2
2
)および(
2
3
)で与えられる。
次に境界条件であるが，今図 -2に示すよう
外力の作用を円筒の z=c/2に対して対称
変形を生じきせるものと逆対称変形を生じさせ
るものとに分けて考えるものとすれば
a
)Z =c/2に対して対称変形をなすとき
i
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O および、 Z cにおいて
二
σ'z)z~o= σz)z 二 C-ρl( r
，
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)
τzo)z~o= ーら θ )z~C 二 q ，( r，
8
)，
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坊主
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.
称￨逆対称
形変形
r=bにおいて
σ
γ
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γ
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ρ
z
(
8
，
z)，
図-2 変形の状態の区分
b-
βm
n
lニ
L
Y
h
(
O
，
z)CMθco
山
d8dz，
(
7
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(
3
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松岡健一・能町純雄
ω
川
ひけ
θ
ル
叫
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ルγ
r=bγ
U
τ問
.
z
)γ
作=
b=q4
バ
(8，z
，
)
入
(
β
3
3
ω)
i
i
i
) r αにおいて
ご
川ニ αサ 3
(
8，
z)，
=a=q5(8，
z)
川
てγz
)γニ G 二
βmnz=L1ch(O
，
z)CO
叫郎防必仇
倒
αM=L1cq5(O
，
z)siMcosNZ
倣，
β
q
6
(θ，
z
)，
(
3
6
)
ただし ρ
1~ P
3，q1~q6 は各面に作用する直応力および、せん断応力である。
b
)
i
)
z=c/2に対して逆対称変形をなすとき
zニ Oおよび z=cにおいて
σ
.
Z
)
Z
=
C
=ρ
1
(r，
8
)
τ
z
o
)
z
=
o τ
z)z=c=q1(r，
B
)，τ
z
r
)
z oニ τ
zr
)
z
=
c q
2
(r
，
B
)
σ
z
.)
Z
=
O二
二
二
ニ
:
.Dm
i
2=
=Omi2==…・・・二 O
i
2= Em
i
2= γm
(
3
8
)
γmzI=HbfほIsinm8+μosm8)rHm+1
(
か )drd8
二試γ
(
O
m
i
1
一仇s
i
叫
(
3
7
)
+φcosm
8
)rHm
1(作 )drd
θ
(
3
9
)
(
4
0
)
i
i
) r:=bおよび r=αにおいて
この場は外力の分布形状が α
)の場合と異なることを考慮すれは、条件としては α) の場合と
全く同様で、ある。
また D ， E， γ， Ò の聞には式 (19) の関係が存在する。式 (28)~ (
3
2
)， (
3
4
)， (
3
5
) によ， γ，
O，α，β は定まり，残りの
A，B，C，E，防7 は式
(
2
6
)， (
2
7
)， (
3
3
)， (
3
6
) から求めることとな
る
。
6
.数値解析例
以上の理論により，図
3のような外力が作用した場合の計算例を示す。この場合 5で述べ
た境界条件において
ρ
1
(r
，
θ
)
=
ρ2(8，
z)=0
で，せん断外力 qは全て Oである。従って勾，
a y
，oは全て Oであり Bm
n
1= 0， Dm
i
l= Em
i
l=
0，Dm
i
2=-Em
i
2となる。また ρ
3 (e
， z) は円周方向には等分布する軸対称内圧を考えるも
のとし，軸方向に図に示すような部分分布外力とすれば
(
7
6
)
有限円筒の 3次元応力問題について
4
7
5
ハU
z
一
一
)
AUa
円
σ
( qu
C-CI-CO<Z<C-Cl十 C
o
川
'''目白目白目白目白目'白目目白目白目白目白目白目白目白目，︿‘盲目白目白目白目目・冒目白目白目白目・目白目白目白目目且‘、
hyA
C
l-C
o< Z<C
l+CO，
Z<CI-CO，C
l+CO<Z<C-CI-CO，
C-Cl十 Co<Z
となる。式 (
3
4
) から
;
π
i
j
:
:
:
b
o
c
o f
:
:
:
p
o
m
M
伸
。
s
m
nイ
山針
=
官
{1+(ーパん叫
clsInNco，
(
f
o
r m二
o) 同
他の未知定数は前述のように式伽，)， (
:
幻
)
， (
3
3
)，例)から求めるこ
とになるが，詳しい式はここでは省略する。
ニ 0
.3
まず初めに柴原らの結果と比較するためポアソン比 ν
b/a=4.0，C/a=8
.0の円筒で軸対称外力が円筒内面中央部
1
5項
， nについては偶数項のみ 1
5項である。結果を図
ーー﹂
Iは
c
に作用する場合の解析を行なった。この計算に用いた級数項は
4
4(a)(b)とも実線は著者らの計算結果を示し，点線
に示す。図
悼
十b
両者はかなり一致している。 (
b
)はのを示したものであるが両者
斗
は柴原らの結果を示している。 (
a
)はめを比較したものであるが
の聞にはかなりの差がみられる。特に r=aにおいてその差は
著しい。すなわち著者らの結果では z/a=4で σ
.
z
/ρ
oキ 0.4か
0.8
nU1dqL
d=zrfr
口
.•
ょ
¥
N
o
l
-
A 仙寸/0
よ
¥
ぃb111
0.6
aa 甘
、
司U I//=
olo
，
，c
一
一
v
co
0.8
円
リ
ーi
JJ/
r
一
一
a
1
.0
0.4
0.2
図 - 3 荷重状態
r
/
a
=
l
.
O
¥
)
=
0
.
3
co/a=0.4
cl/a=3.6
80=π/2
0.6
0.4
0.0
0.0
一一一 z
/
a
)
(LU
(
a
)
図- 4
柴原らの結果との比較
(
7
7
)
nU
0.4
.2 2.4 1
.0 0.8
4.0 3
.
4
.
2 2
4.0 3
n
u
-
一0
.2
4
7
6
松岡健一・能町純雄
ら
， zが中央から離れるに従い増加し z/a=3.2十 εでのρ
/。三子 0.6となり，この点て、大きな不連
続性を示し， z/aニ 3
.
2 ε
(
ε はごく小さな値)でのρ
/。今一 0
.
4となり zの減少に従いのも O
に近づいている。これに対し柴原らの結果は傾向として著者らの値に一致するものの数値的に
はかなり異なる。特 z/a=3.2で示す不連続値が 0
.
8P
O位て、小さな値となっている。著者らの
理論によれば，境界条件式において， n→∞としたとき，未知定数に含まれる荷重項の影響は，
それぞれについて最低次のもののみを示せば
Amnl 三と Bmnl~
Cmnl;
芯 O
JLmn2=Bmn?;
と
山一
叫山
u+A
川
Cmn2~
1
"ρ
RmnZ
市 nZ~ 京五干万
ー竺一一~R叩ー
4μλ N
μ TTl n~ ，
n
nl
となる。これからのに及ぼす荷重項の影響を検討すれば
ω円二容 βmnzcosNz+σ
二ん (
θ，
z)+σz.red
z red
と表わせる。従つてのは z/aニ 3
.
2において外力と同様の不連続性を示さなければならず，柴
原らの結果は問題がある。このようなことはのにも起り，著者らの理論ではのは z/a=3.2の
不連続最は λ/(μ+λ)であるが柴原らの値はやはり小さな値となっている。以上の理由また後の
例で示すように無限円筒としての値との比較などから著者らの理論は妥当なものと思う。
.
2
5
，b/a=4
.
0
，C/aニ 8
.
0として外力を円筒内面の中央部および両端
次にポアソン比 ν=0
1
.0
0.8
0.4
一
←
一
一
，
;
，
一
一
一
一
一
，
;
，
3
.
6
)
図--5 σ
γの z
方向の分布 (Cl/a=
図-7 のの
z方向の分布 (Cl/a=36)
。
。
0.1
3.0
←
一
一
一 z/a
一
←
一
一
一
，
/
0
図- 8 τ
問の z方向の分布 (Cl/aニ 36
)
図--6 σ
。
の z方向の分布 (C1
/a=36
)
(
7
8
)
有限円筒の 3次元応力問題について
4
7
7
1.0
0.2
。 -0.4
~
¥
e
b
一
一
一
一
一
一
ー_z/a
図-9 σTの z方向の分布 (C1/a=
0
.
4
)
一1.2
2.0
1
.0
0.0
主百
4.0
一
一
一
一
一
，
;
，
0.4
図ー 1
0 σ。
の z方向の分布
(C1
/aニ 0
.
4
)
0.2
¥
)
=
0
.
2
5
c~ /a=0.4
cl/a=O.4
0.0
1
.0
2.0
，
;
図-12 τTZの z方向の分布 (C1/a=04)
，
;
図-11 σzの z方向の分布 (C1/a=
0
.
4
)
5-12に示す。これらの計算では級数項
部に作用させた場合の計算を行なって得た結果を図
は
lニ
3
0，nは偶数項のみ 3
0項まで集めた。外力を中央部分に作用きせた場合の結果に対して
は，無限円筒の内面に同様の外力が作用した場合の結果も合せて点線で示した(図 -5-8)。
図
5はめの分布を示したものであるが無限円筒と比較したとき z/a= 0付近では当然多少
異なるものの他の部分ではかなりよく一致している。
σ
θ ，のの分布を図
6，7に示しているが，
これらの応力は無限円筒と比べれは、全体としてわずかに異なり特に z/a=
.0ではかなり異な
る。しかし分布の傾向としては両者同様である o
無限円筒の値はほとんど一致している。 σ円
Trzは図
8に示しであるが，有限円筒の値と
Trzは円筒外面における条件が有限円筒も無限円筒
も同様であるため従って全体としても一致してくるが，
σ
θ，
σzは Z 士
Oおよび z=cの影響が大
きく有限円筒と無限円筒は一致はしない。しかし外力の作用巾に比較して有限円筒の長さが長
いためそれほど大きな違いはない。このことからも著者らの理論の正当性が明らかである。
図-9-12は両端部に外力を作用させた場合である。この結果，外力の作用位置を中心に考
えれば，め(図
9，
) τrz (
図
1
2
) は中央部分に外力を作用させた場合と比較して，各断面と
も多少小さな値となっているが傾向は非常によく似ている。 σ。(図
1
0
)は内面において z=O
で-1.0
8
5んと作用外力とは逆符号の大きな値となり zの増加に従って急激に減少し z/aニ
0
.
8十 E で再び大きな値を示している。のの分布は図
(
7
9
)
1
1に示したがこれも中央に外力を作用さ
4
7
8
松岡健一・能町純雄
せた場合とかなり異なった分布をしている
Z の増加とともにのも増加し
この場合
z=Oでのこ Oであるから
z/a=0.8-cでの今 0.4んとなり，
r aでは
二
z/a 0.8十 E での今
二
0.6
ρ。となっている。こののの分布は，円孔を有する半無限体の円孔面上端部に軸対称内圧が作用
するときののの分布に非常に良く似ている。
7
.む
すび
有限円筒の非軸対称 3次元応力問題の一般解を有限 Fourier-Hankel変換を用いて求め，任意
の境界条件に適用可能な形に一部修正した解を示した。この解は積分変換による解の特徴とし
て，積分定数が各境界の変位や応力の積分変換値で与えられ，境界条件の取扱いが容易になる。
数値解析は，軸対称内圧が作用した場合について行ない，円筒中央部に内圧が作用したもの
については，無限円筒としてえられる値や，思Ijな方法で解析している柴原らの結果と比較検討
を行なった。なお本計算は北海道大学大型計算機センターの FACOM-M-230-75で行なったも
のである。
終りに本論文は，桶回謙一氏の室蘭工業大学卒業論文に依るところが多い。また本論文の作
成にあたり，本研究室の教務職員田中功氏並ぴに技術員渡部良和氏の御助力を得た。記して深
く感謝の意を表します。
(昭和 5
2年 5月 21B受理)
参考文献
1)松岡健一・能町純雄:土木学会論文報告集 2
4
，
1 1(
1
9
7
5
)
1
1(
1
9
7
5
)
2)松岡健一・能町純雄:室工大研報 8，6
6
9(
1
9
7
6
)
3)松岡健一・能町純雄:室工大研報 9， 1
2
9， 1
1(
1
9
7
4
)
4)松岡健一・能町J純雄土木学会論文報告集 2
3
，8
5(
19
7
7
)
5)松岡健一・能町純雄・杉田修一:土木学会北海道支部論文報告集 3
6) Matsuoka，K
.G
.S
.G
.Nomachi:THEORETICALANDAPPLIEDMECHANICS，2
2，1
9
9(
1
9
7
4
)
7)柴原正雄・尾田十八:日本機械学会論文集
8)奥村勇:土木学会北海道支部論文報告集
3
4
，3
8
8(
19
6
8
)
3
1，2
6
1(
19
7
5
)
(
8
0
)

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