Aryabhatiya
II, 32, 33
不定方程式の解法についで
矢
Aryabhatiya
は 紀 元476年
野
道
雄
に イ ン ドで 生 れ た 天 文 ・数 学 者 Aryabhata
の 時 著 わ し た 天 文 学 と 数 学 の 綱 要 書 で あ る 。 全 体 は 四 章121の
か れ,
そ の 第 二 章 Gapitapada
Arya
が23才
調韻文で書
は 天 文 学 の 基 礎 と して 古 来 重 視 され た 数 学 が 扱 わ
れ て い る。 この小 論 で は第 二 章 の最 後 に見 られ る不 定 方 程 式 の 整 数 解 の 求 め 方 に
つ い て, 若 干 の 問 題 点 を 指 摘 し な が ら そ の 方 法 を 説 明 し, Aryabhata
の数 学 の
一 端 を 紹 介 す る。
不 定 方 程 式 は “kuttakara”と
呼 ば れ,
暦 法 計 算 な ど に 用 い られ古 代数 学 の難
題 の ひ と つ で あ る 。 七 世 紀 の 数 学 者 Brahmagupta
siddhanta
で Kuttakaradhyaya
る。 ま た11世
Brahmasphuta-
と い う章 を 特 別 に 設 け て か な り詳 し く論 じ て い
紀 の 数 学 者 Bhaskara
こ こ で 論 ず る Aryabhata
はそ の著 作
は 二 次 の 不 定 方程 式 を 解 い た と言 わ れ る。
の 方 法 は 初 歩 的 で あ る に せ よ, イ ン ドで 最 初 に あ ら わ
れ た 解 法 と し て 注 目 さ れ る。
不 定 方 程 式 と は ど の よ う な も の か 。 た と え ば Aryabhatiya
註釈者
Nilakanthasomastuvam
に 対 す る15世
紀 の
は 次 の よ うな 列 題 を 提 出 し て い る1)。
「二 本 の長 さ の等 しい 竹 が あ る。 まず11ハ ス タの 長 さに よつ て, 次 に それ よ り8ハ ス タ
長 い (=19ハ
ス タ の) 長 さ に よつ て 測 つ た と こ ろ, そ れ ぞ れ5ハ ス タ, 3ハ ス タ の剰 余
が 出 た。(長 さ等 しい) 両 竹 は何 ハ ス タの 長 さで あ るか 言 え 。 た だ し この場 合 『大 剰 余 』
は5,『
小 剰 余 』 は3で あ る。」
求 め る 竹 の 長 さ を 諾 と し て,
1)
上の列題を式に表わす と
The Aryabhatiya of Aryabhata with the Bhasya of Nllakanthasomastuvan,
Trivandrum Sanskrit Series. No. CI. 1930. p. 161ff.
dvati varnsau tulyamanau you tau pramaya avasesitau/
isahastena manena tato vasvadhikena ca//
pancasamkhyas
trisamkhyas
ca kiyaddhastau
pancakam hy adhikagram syad iha unagram
-402-
ca tau vada/
trikam tatha//
(41)
Aryabhatiya
II, 32, 33
x=11y+5
{x=19z+3
また は{
(矢
野)
x-11y=5
〔A〕
x-19z=3
と な る。 す な わ ち与 え られ た式 よ り も未 知 数 の方 が 多 い わ け で, 諾は整 数 とい う
条 件 をつ け られ る。
さて この よ うな 問 題 を Aryabhata
後32と33に
は ど の よ うに解 いた か 。 そ れ が 第 二 章 の 最
の べ られ て い るの で あ る。
adhikagrabhagaharam
chindyad
sesaparasparabhaktam
matigunam
adhauparigunitam
antyayug
adhikagracchedagunam
unagrabhagaharena/
agrantare
unagracchedabha
dvicchedagram
ksiptam//
jite swam/
adhikagrayutam//
この 方 法 は表 現 が余 りに 省略 的 で あ るた め註 釈 の助 け無 し で は理 解 す る こ とが
困 難 で あ る 。 ま ず Nilakantha
の 註釈 に した が つ て解 釈 し よ う。
ま ず 一 行 目 の “unagrabhagahara”と
う な 除 数2)」, ま た
は 「そ の agra
“adhikagrabhagahara”と
す な わ ち剰余 が 小 さいよ
は 「そ の 数 に よ つ て 除 せ ら れ た 余
り が 大 な る も の3)」,で あ る 。 先 に あ げ た 例 題 〔A〕 で 言 え ば, 大 剰 余 〔5〕 を 生 ず
る除 数
〔11〕 と, 小 剰 余 〔3〕 を 生 ず る 除 数 〔19〕 が そ れ ぞ れ
:hara (〔a〕除 数 と略 す) と unagrabhagahara
は この
る が,
〔a〕 除 数 を 〔司
こ の 余 りが
adhikagrabhaga-
(〔u〕除 数 と略 す) で あ る 。 さ て 一 行 目
除 数 で 割 る こ と を の べ て い る 。 こ こ で 余 り (sesa) が 出
〔U〕除 数 の 相 手 方 と な り, 次 の 段 階 で こ れ に よ つ て 〔司
除数
を 割 る の で あ る4)。 そ し て さ ら に こ こ で 出 た 余 り で 〔a〕除 数 を 割 る 。 こ の よ うに
お 互 い に 余 り に よ つ て 割 り算 を 続 け て い く 。 そ れ が 第 二 行 前 半 で あ る 。
さ て こ れ 以 後 の 操 作 を 本 文 で は 随 分 省 略 し て い る 。 註 釈 に よ る と,〔a〕
系 列 に な る 余 りが 十 分 小 さ くな る と"mati"を
と は 〔a〕除 数 の 系 列 に な る最 後 の 余 り に あ る 数 を か け,
加 え,〔u〕
2)
3)
4)
5)
除数の
想 定 す る こ と が で き る5)。 “mati”
大 剰 余 と小 剰 余 と の差 を
除 数 の 系 列 の 最 後 の 余 り で 割 る と 割 り切 れ る よ う な,
そ う い う想 定 さ
unam agram seso yasya sa unagro bhagaharah/
yena hrtasistam adhikath so 'dhikagrabhagaharah/
tam adhikagrarh bhagaharam unagrena bhagaharena hrtva sistam eva parasparaharane unagrabhagaharapratiyogi/tayoh
.punah parasparaharanam
karyam/
adhikagrabhagaharasese 'lpe saty eva matikalpana karya/
-401-
Aryabhatiya
II, 32, 33
れ た 数 の こ と で あ る6)。 こ の mati
と mati
(矢
野)
(42)
を 想 定 す る こ と に よ つ て 割 り切 れ た
商 と を, 先 の 相 互 除 法 で 得 た 商 の 系 列 の 下 に 並 べ る7)。 こ う し て 第 一 の 「商 の 連
鎖 配 列 」(phalavalli)
が 出来 上 る。
第 三 行 目 の 前 半 で は,
こ の 連 鎖 配 列 に お け る mati
を そ の直 前 の数
(す な わ ち最:
下 位 か ら三 番 目 の数) に か け, 最 下 位 の 数 (す なわ ち mati の直 後 の 数) に 加 え る (ant.
yayug)
こ と を 示 し て い る8)。 そ の 結 果 を 下 か ら 四 番 目 の 数 に か け, 下 か ら 二 番 目
の 数 (=mati)
が,
に 加 え る 。 そ し て そ の 結 果 を ま た か け た り加 え た りす る の で あ る
か け 算 の み が 第 一 連 鎖 に わ た り た し算 は か く し て 除 々 に 作 ら れ て い く第 二 連
鎖 との 間 にお い て行 わ れ る。
こ の よ うに し て 第 二 連 鎖 が 完 成 す る と, そ の 最 後 の 数
(す な わ ち 一番 上 の数) に
対 し て 次 の よ うな 最 後 の 操 作 が 行 わ れ る 。 そ れ が 第 三 行 目 の 後 半 か ら 四 行 目 の 最
後 ま で で あ る。
ま ず 最 上 位 の 数 (uparistharaai)
〔a〕除 数 を か け,
を
〔U〕,除 数 で 割 る 。 そ し て そ の 余 り (sesa) に
さ ら に大 剰 余 を加 え る。 そ の 結 果 が
満 足 す る 数 」 “dvicchedagra”,
例題
「二 種 の 除 数 お よ び 剰 余 を
〔A〕 で 言 うな ら ば, 二 つ の 整 方 程 式 を 満 足
す る 整 数 詔 で あ る9)。
た だ し Nilakantha
bhagahara〔11〕
り算 は,
も断 つ て い る よ う に10), 例 題 〔A〕 に お い て は adhikagra-
の 方 が,
19÷11か
unagrabhagahara〔19〕
よ り も 小 さ い の で,
ら始 め る こと に な る。
以上 に の べ た方 法 で例 題
〔A〕 を 解 い て み よ う。
11) 19 (1
11
1
1
24
14
1 X m+(5-3)
2
2
1
10
4
=2(e
2
2
8) 110 (1
8
0印
最初 の 割
は
3) 8 (2
6
2) 30 (1
2
〔a〕除 数 の 系 列
m=2)
Ph. V
. I.
Ph. V. II.
10
6)
yat
punar
matiguiiam
antare
ksiptva
tatha
haranam,
7)……aptam
adhikagrabhagaharasistam
apy unagrabhagaharasesena
phalam
api
mater
adho
-400-
vinyasya,
hr te yatha
tad
agrantare
sesasya
agrayor
Uinyata
syat
(43)
Aryabhatiya
19)
II, 32, 33
(矢
野)
24 (1
19
5
5×11+5=60
し た が つ て 求 め る 記 の 最 小 値 は60で
と こ ろ で Aryabhatiya
svara)
あ る。
に 対 す る も う一 人 の 註 釈 者 Paramesvara
(Paramadi-
の 提 出す る例 題 は少 し異 る。
「あ る数 に8を か け, 29で 割 る と余 りは4に 等 しい 。 同 じ くこの数 に17を か け, 45で
割 る と余 りは7に 等 しい 。 そ の あ る数 は い く らか 。
」11)
こ れ を 式 で 表 わ す と,
8
29x=y+29
4
17
7
8x-29y=4.......(1)
または{
45x=2+45
と な り, 例 題
CBS
17x-45z=7......(2)
〔A〕 と異 る 点 は 諾 に1以
外 の 系数 が つ い て い る とい うこ と で あ る。
した が つ て 〔A〕 よ り も複 雑 な 過 程 が 必 要 で あ る 。Paramesvara
は次 の 三 段 階 に
分 け て 説 明 し て い る。
i) (1)
を 満 足 す る ひ と つ の 整 数 解x1を
求 め る 。 相 互 除 法 を 利 用 し てx1=15を
得 る。
ii) (2)を
満 足 す る ひ と つ の 整 数 解 娩 を 求 め る 。 相 互 除 法 を 利 用 し てx2=11を
得 る。
iii)
i), ii) で 得 た15と11が
bhagahara,
“agra”で あ り, し た が つ て29が
45が unagrabhagahara
adhikagra-
で あ る。 こ こ で も相 互 除 法 を 行 な い 。
(1), (2)を と も に 満 足 す るx=1001を
得 る 。Paramesvara
8)
に よ れ ばA.
II, 32,
nyastesu phaladvandvesu mater urdhvastham phalam matpa hatva tadadhogatam antyaphalam ca tasmin ksipet/
9) tayor uparistharasav unagracchedabhajite sesam. adhikagracchedagunath
krtva punar apy adhikam eva agrarh tatra eva yojayitva yal labhyate tad
dvicchedagram/
10) asminn udaharane'dhikagrabhagaharasya
eva alpatvat tena ekadasasarhkhyena ekonavimsatisamkhyam unagrabhagaharam eva prathamam haret/
11) The Aryabhatiya with the Comentary of Paramadisvara, edited by H. Kern.
Leiden. 1874. p. 47ff.
rasau vasughne navadasrabhakte sesas caturbhis tulitas tathasmin/
atyastinighne saravedabhakte seso'dritulyo budha kas sa rasih// (p. 50)
-399-
Aryabhatiya
33はiii)
II, 32, 33
(矢
野)
(44)
の 過 程 だ け を の べ た も の で, i), ii) は 前 提 と さ れ て い る 。 iii) は
式 で表 わ す と
x-29t1=15
{
〔C〕
x-45t2=11
と な り12), 先 に あ げ た Nilakaptha
場 合 は す で にi),
の例 題
〔A〕 と 同 じ形 に な る 。 た だ
ii) の 過 程 が 前 提 と な つ て い る の で, 15と11は
〔C〕 の
そ れ ぞ れ 「大
剰 余 」 「小 剰 余 」 と い う よ りは む し ろ 〔B〕 の(1), (2) に お け る仮 の 値 鋭 と 娩 な の
で あ る 。 し た が つ て “agra”と い う 言 葉 の 理 解 は, Nilakaptha
で は 異 つ て く る の で あ る 。 〔A〕,〔C〕
の よ うに 数 式 で 表 現 し て し ま え ぱ “agra”
は い ず れ の 場 合 も 同 様 に 定 数 項 を 意 味 す る の で あ る が,
式 を 使 わ な い 文 章 で 表 現 し た 場 合,
と Paramesvara
例 題 と して
Aryabhata
〔A〕 を と る か
の よ うに数
〔B〕 を と る か に
よ つ て “agra”の 意 味 も ま た 異 な り, 解 法 も 簡 単 な も の と 複 雑 な も の と に 分 れ
る。
も し Aryabhata
が Paramesvara
の例 題
う と し て い た の で あ れ ば, Paramesvara
〔B〕 の よ うな 問 題 の 解 法 を の べ よ
の 言 う よ う に, A.
II, 32, 33の
叙述 は
〔C〕 の 段 階 か ら 始 つ て い る こ と に な る 。 し か し 〔B〕 は あ く ま で Paramesvara
の 提 出 し た 例 題 で あ り, Aryabhata
II, 32, 33を
が こ の よ うな 複 雑 な 形 の 問 題 を 意 味 し てA.
の べ た と は 必 ず し も 言 え な い 。 む し ろ Nilakaptha
の例 題
〔A〕 の
解 法 を 意 図 し て い た と み る 方 が, 素 直 に 解 釈 で き る 。
Clark
氏13)は 一 応 Paramesvara
に 徒 つ て 解 釈 し,“agra”は
一 時 的 な仮 の値 諾
を 意 味 す る と し て い る 。 しか し 以 上 の べ て き た こ と か ら わ か る よ うに 「剰 余 」 と
訳 し て 全 く差 し つ か え 無 い 。
以 上 の こ と か ら Paramesvara
と Nilakapthasomastuvan
相 違 し て い な い こ と が わ か る 。 た だ Paramesvara
う と し た た め,“agra”の
の方 法 は本 質 的 に は
が よ り複 雑 な 形 の 問 題 を 解 こ
意 義 が 拡 大 され た の で あ る。 な お上 に の べ た 連 鎖 配 列
に よ る解 法 は, 現 代 数 学 で 用 い る 連 分 数 と よ く似 て お り, 文 字 を 用 い て 一 般 的 に
証 明 で き る14)が こ こ で は 省 略 す る 。
12)
東 京 図 書,「 数 学 新 書5」 「方 程 式 の 整 数解 」13頁 参 照 。
13)
The
cago.
Aryabhatiya
1930.
Nilakantha
14)
of Aryabhata
p. 42-50.こ
translated
の 小 論 は Clark
with
notes
by W. R. Clark,
氏 に 負 う と こ ろ 大 で あ る が,
Clark
Chi氏 は
の 註 に な る テ キ ス トに は ふ れ て い な い 。
こ の証 明 は学 友 宮 島 一 彦 氏
(京 大 大 学 院 宇 宙 物 理 専 攻)
-398-
が筆 者 に 示 して くれ た。
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