移動境界問題の計算法（浅水流の水際線の追跡計算）（2層流計算の参考資料の紹介）倉橋貴彦 1. 浅水流問題の水際線の移動を考慮した解析・洪水・津波の際の水際線の移動・塗膜・溶射被膜の際の液体境界の移動の問題 http://www.city.joetsu.niigata.jp/ uploaded/attachment/67676.pdf 解析の流れ 1. あらかじめ水際線の移動が予想される陸域を含めて要素分割を行う．この時，初期水深h（陸域では負の値）を入力する。 2. 時間ステップnにおいて，計算される各要素の3節点の実水深Hn(=h+ηn)と設定された初期水深εとを比較する。もし (1) 3節点全ての水深Hn<εである場合には，その要素は陸域であるとして，解析対象領域から除外する（図の(1),(2)要素） (2) 3節点のうち1節点でもε≦Hnである場合にはその要素は水域であるとして，解析領域内に含める．この場合，Hn<εの節点はHn=εとして計算する．（図の (3),(4)要素） (3) 時間ステップn+1において，Hn<εとなる節点は陸域の節点であるとし，境界条件としてuin+1=0を与える。 1 3 (3) (1) 2 陸域 (2) 5 (5) (4) 4 7 (6) 6 8 水域一次元の浅水長波方程式 u t  t g h  x u x 0 0 u  g  , x  0   hu , x  0 ガラーキン法により離散化すると・・・  Le / 3  L /6  e  0   0 Le / 6 0 Le / 3 0 0 Le / 3 0 Le / 6 0   u a       0  u b       Le / 6   a     Le / 3   b   g /2 g /2 0 g /2 g /2 0 0 0 h /2 0 0 h /2 要素内の平均水深 h  0  u a    0 ub     h / 2   a   h / 2   b  h a  hb 2 0    0    0   0  完全陰解法により離散化すると・・・  Le / 3  L /6  e  0   0 Le / 6 0 Le / 3 0 0 Le / 3 0 Le / 6  0  0    h / 2   h / 2     0   u an 1  u an  0  u bn 1  u bn  L e / 6    an 1   an  L e / 3    bn 1   bn 0  g /2 0  g /2 h /2 0 h /2 0 / t   /  t   /  t   /  t  g / 2   u an 1   0      g / 2  u bn 1   0     n 1   0  a   0   0   bn 1   0  各ステップに対して、両辺に整理すると・・・  Le / 3  L /6  e  h t / 2   h t / 2 Le / 6  gt / 2 Le / 3  gt / 2 h t / 2 Le / 3 h t / 2 Le / 6 g  t / 2   u an 1    g  t / 2  u bn 1    n 1  Le / 6   a   Le / 3   an 1   Le / 3  L /6  e  0   0 Le / 6 0 Le / 3 0 0 Le / 3 0 Le / 6 0   u an    0  u bn    Le / 6   an   Le / 3   bn  解析例 z   0 . 1m x h  10 m (1) a 1 b a (2) b h1  h2  h3  10 m g  10 m / sec B .C .  1  0 .1m   0 . 01 m B .C . u1  0 m / sec  t  0 . 001 sec 2 L  1 .0 m 3 L  1 .0 m 計算条件を浅水長波方程式に対する有限要素方程式に代入する。水際境界を含む要素の処理をどのようにするか？（言い換えると、u2,η2の条件をどのように与えるか。）   1 1 6   0 .003    0 .003 2 1  0 .003 2  0 .003 0 .003 2 0 .003 1 0 .003   0    0 .003  u 2    1   0 .1  2   2   (1 ) 2  1 1  6 0  0 1 0 2 0 0 2 0 1 0 0    0  u2    1   0 .1  2   2   (0) 2 z z   0 . 1m   0 . 1m x h  10 m h  10 m a 1 (1) L  1 .0 m b a (2) 2 L  1 .0 m 3 1 0 .003   u 2    2   2  (1 ) 2  0 0  u 2    2   2  (0)   0.01 m (1) a b b a L  1 .0 m (2) 2 L  1 .0 m 3   0 .003  0 .1   1  0 . 1    2    0 .01 m B .C . u 2  0 m / sec (0)ステップの水際線の流速に0(m/s)，微小水深にε(m)を与えると・・・  2   0 .003 0 .003   u 2    2   2  (1 ) 2  0 b h2  10 m 境界条件を考慮して、整理すると・・・  2   0 .003 x 0 0    2    9 .99  (0)   0 .003  0 .1    1  0 .1   0 .0003     20 . 08   最終的に以下の連立方程式を解くことになる。  2   0 .003 0 .003   u 2    2   2  (1 )  0 .0003     20 . 08   結果として、(1)ステップ目の水際線の流速と水深は以下のようになる。 u 2     2  (1 )  0 .015     9 . 950   (2)ステップ目の計算では，以下の u 2     2  z   0 . 1m x h  10 m a 1  2  1  1 0  6   0 . 003   0 . 003   0 (1 )  0 .015     9 . 950     0.01 m (1) L  1 .0 m b a (2) b 2 L  1 .0 m 3 1 0  0 . 003 0 . 003 4 1  0 . 003 0 1 2 0  0 . 003 0 . 003 0 2 1 0 0 . 003 1 4  0 . 003 0 . 003 0 1  0    0 . 003 u 2   0 . 003   u 3    0   0 . 1 1   2    2    3  0 (2) 左辺の境界条件を処理した方程式に対して、右辺に u2=0.015m/s,u3=0m/s,η2=-9,950m,η3=-9.990m 2  1  1 0   6 0 0   0 1 0 0 0 4 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 1 4 0 0 0 1 0 0    0 u2   0   u 3    0   0 . 1 1   2    2    3  (1 ) その他の話題その他の話題（定常の2層流方程式） 2層流の計算出典：吉田裕，川原睦人，新体系土木工学3－有限要素法，丸善出版(株)，1983．注：流れ場も非定常問題にする場合は式6.35に∂u(1)/∂t 式6.36に∂v(1)/∂t 式6.38に∂u(2)/∂t 式6.39に∂v(2)/∂tを追加する。