Page 1 Page 2 論文内容要旨本論文では、 Gz多様体内の caー

かわ
い
こうたろう
氏名･(本籍 )
河井
公大朗
学位の種類
博
学位記番号
理博第 2 7 3 4号
学位授与年月日
平成2
5年 3月 2
7日
学位授与の要件
学位規則第 4条第 1項該当
研究科, 専攻
東北大学大学院理学研究科 (
博士課程)数学専攻
学位論文題目
Submani
f
ol
dsi
n G2
mani
f
ol
ds
士 (
理
学)
(
G2多様体における部分多様体)
論文審査委員
(
主査)
教
授
宮
岡
礼
子
教
授
板
東
重
稔
教
授
本
多
宣
博
論
文
目次
1
.I
nt
r
oduc
io
t
J
I
2･Pr
e
l
i
mi
J
l
ar
ie
sonc
a
ibr
l
a
t
e
dge
ome
t
r
ya
nd G2ge
ome
t
r
y
2.
1
.Ca
l
i
br
a
t
e
dGe
o
me
t
r
y
2.
2
.G2ge
o
me
t
r
y
3.CoJ
I
S
t
r
uC
iono
t
fCoas
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dsi
nR7 a
ndA2
S4 w
it
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t
r
i
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s
3.
I
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ns
t
uc
r
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i
o
nofe
xa
mpl
e
swi
t
hs
m
y
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t
ie
r
s
3.
2.Co
a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
ol
dsi
nR7
3.
3.Co
a
s
s
o
c
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
bl
dsi
nA2
_
∫4
.Ca
l
i
br
a
t
e
dSubmam
if
o
l
dsandRe
duc
ionsofG2
t
ma
ni
f
ol
ds
4
4.
1
.Re
l
a
t
i
onst
oCa
l
a
bi
Ya
uma
ni
f
ol
ds
4.
2.SLr
e
d
uc
t
i
o
nofG2ma
ni
f
ol
ds
4.
3.T2 r
e
d
uc
t
i
o
nofa
m os
l
tG2ma
ni
f
ol
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4.
4.Exa
mpl
e
s
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f
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l
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5･De
f
or
ma
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t
J
l
SO
fas
s
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c
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ives
t
ubmani
f
o
l
dsi
nne
rl
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ypa
ra
l
l
e
lG21
5.
1.A
ss
oc
i
a
ivede
t
f
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ma
t
i
o
nsi
nne
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r
l
ypa
r
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l
l
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l
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5･
2･Co
mp
ut
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t
i
o
ni
nt
hes
t
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r
ds
phe
r
eS 7
Appe
ndi
xA･Pr
oof
so
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o
pos
i
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t
nCha
pt
e
r3
Appe
J
l
di
xB･Pr
oo
f
sofPr
o
pos
i
ionsi
t
nCha
pt
e
r5
Bi
bl
i
ogr
a
phy
18
7-
論
文
内容要
旨
本論文では､ G2多様体内の c
a
l
i
br
a
t
e
ds
u
bma
ni
f
ol
ds
､とりわけその具体的構成と変形理論について考察
した｡
Ca
l
i
br
a
t
e
d幾何の理論は､極小部分多様体の研究を目的として Ha
Ⅳe
yおよび La
ws
o
nによって導入され
た｡Ca
l
i
br
a
t
i
o
nとよばれるリーマン多様体〟上の特別な閉微分形式を考え､それに付随する極小部分多
c
a
l
i
br
a
t
e
ds
ubma
ni
f
ol
ds
)を考える. これは､ケーラー多様体内のコンパクト複素部分多様体が､そ
様体 (
のホモロジー類内で体積が最小であるという事実 (
wi
r
t
i
nge
rの不等式)の一般化である｡
Ca
l
i
br
a
t
e
d幾何はリーマンホロノミー群の理論と深い関わりを持っている｡実際､ホロノミ一群が特定
の群に還元されるようなリーマン多様体は､いくつかの自然な c
a
l
i
br
a
t
i
o
nを持っことが知られている｡
Be
r
ge
rにより既約非対称な計量を持っ単連結リーマン多様体の取りうるホロノミ一群は､
so(
m)
,U(
m)
,s
p(
m)
,s
p(
m)
s
p(
1
)
,G2
,
S
pi
n(
7
)であることが知られており､本論文では特に G2 の場合を考察
o
r
s
i
o
n一
缶e
eG2多様体といい､閑かつ余閉な
する｡ホロノミ一群が C 2 に含まれるようなリーマン多様体を t
3次微分形式￠で特徴づけられる｡この意味で C2多様体は､閉 2次微分形式で特徴づけられるシンプレ
クティツク多様体の一般化として捉えられる｡め(
およびその Hodge双対*￠)は c
a
l
i
br
a
t
i
o
nを定め､それ
a
l
i
br
a
t
e
ds
u
bma
ni
f
ol
dを (
c
o
)
a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
o
l
dという. より一般には､3次微分形式￠
らに対応する c
が閉､あるいは余閉という条件を落とすことで､(
t
o
r
s
i
o
nB･
e
eとは限らない)G2多様体が定義される｡
近年では､t
o
r
s
i
o
n一
丘e
e(;
2多様体は､カラビ･ヤウ多様体同様ミラー対称性において重要な役割を果た
すことが期待されている. 1
996
年に St
r
o
mi
nge
r
,Ya
u,Za
s
l
o
w は､コンパクトカラビ･ヤウ多様体のミラー
対称性は､特異ファイバーを含む特殊ラグランジュ 3 トーラスの双対ファイブレーションにより説明され
o
r
s
i
o
nre
f
eG2 多様体内の c
o
a
s
s
oc
i
a
t
i
veファ
る､という予想を提出した｡ M 理論においても､コンパクトt
イブレーションが､上と同様の役割を果たすことが期待されている｡
◆(
c
o)
a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dの具体的構成
本論文の最初の目的は､(
c
o)
a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dの具体的構成である｡これらは複雑な偏微分方程式
によって定義され､具体的な例の構成が難しい｡
R7上では､まず Ha
ve
r
y,La
ws
o
nによって St
J
t
2)不変な
c
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dが構成された｡Lo
t
a
yは 2ul
r
e
dな例､および発展方程式によって T2×R袖不変な
ものを構成した.Foxは 2ul
r
e
dc
o
a
s
s
oc
i
a
t
i
vec
o
neから､2ul
r
e
dでなく c
o
neでもない例の族を構成した｡
Ka
ig
r
ia
nni
s
,Mi
nOoは S4
,cp2の反自己双対東上に､底空間内の曲面上の階数 2のある部分束となる例を
与えた｡
cha
pt
e
r3においては､Li
e群の対称性を用いて c
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
bl
dsの更なる例を構成する｡この
手法では､まず c
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
bl
dが余等質性 1の Li
e群の作用で保たれると仮定する｡この場合
には､c
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ve条件を表す偏微分方程式は､軌道空間上の 1階常微分方程式に帰着されることはよく
知られている｡その常微分方程式を解くことにより､具体的な構成を考える｡またこの手法では､構成さ
れた部分多様体に含まれる特異軌道の様子がわかりやすいという利点がある｡
今回は R7 および S4の反自己双対東上に St
J
t
2),T2×R,
｡不変なものを構成した.最初に､次の Ha
ve
r
y,
La
ws
onの例を我々の手法により再構成した｡
定理 1 : Pa
r
ve
ya
ndLa
ws
o
n)V∈S2⊂ R3 を固定する｡このとき任意の C≧0に対して
Nc=S
U(
2
).
(
(
b･
,
0
,
0
.
0
)
.
m,
)ER7
:
T(
4
7
･L 5
yZ):
=C.
r_
>叫
は R7 内の St
n
t
2)不変な c
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
ol
dである｡Sut
2)作用は､ C2-R4 上の自然な Sut
2)作用か
-8
8-
らR4 の反自己双対束に誘導される作用である｡ C>0のとき､Mcは 2つの連結成分
ME=NcnS
U(
2)･
【
(
bl
.
0
.
0
.
0
)
.
rt
,
)∈R7
:
±(
4r2 -5
y2
)>0
)
をもち､M 昌は CPl上の自然束 o(-1
)の､M c
Lは S3×R の位相を持っ｡ C-0の場合は､零切断および S 3
×R の和としてかける｡更にこの Sut
2)作用に関して不変な c
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dはすべてこの形で
与えられる｡
T2×R,
｡作用の場合は次の結果を得た｡これは上記の Lot
a
yにより構成されたものと比べ､より具体的
な表示を与えている｡
,
Y
:
Iう (0,2T/2),♂:Iう R を滑らかな関数で
定理 2:
I⊂ R を十分小さい開区間とし､α
a
元1
喝(
血 r)
2kmβt
叫 2a一
声
) dF d
,
_
_一
i
l
(
a+β)
喝(
t
a
T
L
r)= 一t
an
(
2a- P)二面
a一声)+3ta
L
E
L
声dt 盃l
を満たすものとする｡このとき
oa
s
s
oc
i
a
t
i
vec
o
neで､T2×R X Iの位相を持つ.
は R7 の T2 不変 c
Ha
Ⅳe
y,La
ws
onは四元数､八元数の計算を用いて議論したが､ここではそれらを用いない議論により､∫4
の反自己双対東上に一般化することができた｡実際､S 4 の反自己双対束 ^2
-S 4 には Br
ya
n
t
,Sa
l
a
mo
nによ
o
r
s
i
o
nBe
eG2構造 (￠,
,
gA
)(Å>0
)が入ることが知られており､ S 4 の立体射影による局所座標をとる
りt
ことで､R7 の場合とはぼ同様に議論することができる｡これは我々の手法の利点である｡
定理 3 :
V
亡S 2 ⊂R3 を固定する｡このとき任意の C∈Rに対して
i
( +a4
)
盲
血+
A
･榊
2
,･((
-
両
帝
1+y望
7
-≧0
.
y∈Rut
G
Q‡
は ^2
-S4 内の St
J
t
2)不変な c
oa
s
s
o
c
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
ol
dである｡Sut
2)作用は､S 4⊂C 2◎ R 上の自然な st
A
t
2)
作用から反自己双対束に自然に誘導される作用である｡C≠ 0のとき､Mcは CPl
上の自然束 o(
-1
)の位
o
neに漸近する｡更にこの
相を持っ｡ C-0の場合は､零切断および S3×R の和としてかけ､ A- 0で c
∫Ⅵ2)作用に関して不変な c
o
a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
bl
dはすべてこの形で与えられる｡
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
ol
dを記述
また更に､R7 の場合同様､S 4 の反自己双対東上の T2×R畑作用で不変な c
する常微分方程式も導出し､いくつかの場合に解を具体的に求めた｡
cha
pt
e
r4においては､自由な S l,T2作用をもつ G2多様体上の (
c
o)
a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dを商空間上の
部分多様体を用いて特徴づけた｡ ^2
-S 4 など知られている多くの例で T
2 は作用しており､ s l
,
T2 が作用
する場合を考えるのは自然である｡まず､ 6 2多様体に g lが作用する場合には次の定理を得る｡
定理 4 :(
Y
,
￠,
g)を G2多様体と L s l
が G2構造を保って自由に作用しているとする｡このとき Y/s lには
sut
3)構造 k,
J.
,Tl
,
￠土
)が入る｡このとき､次の 1対 1対応がある｡
Y内の S )
不変 a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
d⇔ Y/S l内の正則曲線
-8
9-
Y内の Sl不変 c
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
d⇔ Y/Sl内の pha
s
e
(
土i
)の特殊ラグランジュ部分多様体
次に a
l
mos
tG2多様体に T2 が作用する場合を考える｡この部分が Cha
pt
e
r4の主要部分である｡ここでは
Ma
ds
e
n,Swa
n
nによって導入された mul
t
i
mo
me
ntma
pの概念を用いる｡これは S
m pl
y
e
c
t
i
c幾何の mo
me
nt
ma
pを拡張した概念である. これにより､mo
me
ntma
pを用いた Ca
l
a
bi
Ya
u多様体内の特殊ラグランジュ
部分多様体の構成法を一般化することが可能になる｡
定理 5 ･
'(
Y
,
￠,
g)を a
l
mos
tG2多様体とし､ T2 が G2構造を保って自由に作用しており､ T2 作用に関する
mul
t
i
mo
me
n
tma
pvが存在するとする｡ Vはピ:Y/T2 - Rを誘導し､どにより Y/T2 上に 3つの CR構
追(
Q=ke
r
(
dピ
)
,
乙)(
i
=0,
1
,
2)で之｡∠ l
∠ 2i
dQ
となるものが定まる｡このとき､次の l対 1対応
がある｡
Y内の T2不変 a
s
s
o
c
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
d
⇔ Y/T 内の grad(ど)の積分曲線内の 1次元部分多様体
2
Y内の T2不変 c
oa
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
d⇔ Y/T2内の CR ∠｡正則曲線
これら以外にも sl
,
T2軌道に直交するような (
c
o
)
a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
ol
dも同様に特徴づけた. そしてこれ
らの特徴づけを用いて､岩揮多様体の c
o
ne上などにいくつかの例を構成した｡
◆ ne
a
r
l
ypa
r
a
l
l
e
l G2多様体内の a
s
s
oc
i
a
i
tves
u
bma
ni
f
ol
dの変形理論
本論文の次の目的は､ne
a
r
l
ypa
r
a
l
l
e
lG2 多様体上の a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
bl
dの無限小変形に関する研究
である｡G2多様体 Yは､その c
o
neが S
pi
n(
7)多様体となるとき (
ホロノミー群が S
pi
n(
7)に含まれるとき)
､
ne
a
r
l
ypa
r
a
l
l
e
lG2多様体という.A
ss
oc
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
ol
dM とは､Yの G2構造に付随した 3次元極小部分
a
r
l
ypa
r
a
l
l
e
lG2多様体､a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dは多くの例が知られている｡実際､sp(
2)
多様体である.ne
佐々木､佐々木･アインシュタイン多様体は ne
a
r
l
ypa
r
a
l
l
e
lG2 多様体
⊂ su(
4)⊂ S
pi
n(
7)より､7次元 3
s
s
oc
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
ol
dとなる｡
である｡更にこれらの特殊ルジャンドル部分多様体は､a
佐々木叩アインシュタイン多様体内の特殊ルジャンドル部分多様体の無限小変形は､大仁田義裕氏に
より研究がなされた｡無限小変形の空間をラプラシアンの固有空間として特徴づけ､S
7
,so(
5)/SO(
3)内
の等質特殊ラグランジュ部分多様体の変形空間を幾何学的に説明した｡特殊ラグランジュ部分多様体は
a
s
s
o
c
i
a
t
i
veであるから､次の自然な問が考えられる｡
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
bl
dとしても変形した場合､
問 6 :特殊ラグランジュ部分多様体としてだけではなく､a
変形の空間はどのようになるか ?
cha
pt
e
r5においては､S7内のいくつかの等質な a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dに対して､上記に対する回答を与
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
o
l
dは Lo
t
a
yにより分類されており以下が知られている.
える.S7の a
命題 7 :(
Lo
t
a
y)S7内の全測地的でなく､かつ全測地的な S6に含まれない連結な等質 a
s
s
oc
i
a
ive
t
pi
n(
7)作用で移りあうものを除いて､以下のいずれかとなる｡
s
u
bma
ni
f
ol
dは､S
Al=T3
･
三C
(
1
･
LI
L
i
) ≡T
3･
)
f
A2 -SU(
2)･E
(
1
D
JL
l
)窒SU(2
-9
0-
E3
A3 = ∬ (
2
)∫ t
(
0
エi
.
0)等 SU(
2
)
ここで T
3
･は T
3
⊂ sut
4
)の C4上の自然な作用を表し､sut
2
)
･は､C 2上への自然な作用からS
3
C2-C4 に
誘導される作用である｡
注意 8 :全測地的な S3
は自明な等質 a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
dであり､全測地的な S6
に含まれる a
s
s
oc
i
a
t
i
ve
ve
r
y,La
ws
o
nによって､A2は J
o
yc
eにより構成された特殊ラ
s
ubma
ni
f
ol
dは既に分類されている｡Alは Ha
グランジュ部分多様体である｡一方､A,は現在知られている他の幾何には現れない例となっている｡
本論文では､Li
e群に同型な a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
ubma
ni
f
ol
d(
全測地的 S3
,
A.
,
A,) の無限小変形について考察し､以
下の結果を得た｡
,A.
はr
ig
idであり､ A,は r
ig
idではない.
定理 9 :全測地的 S3
定理の証明には､まず a
s
s
oc
i
a
t
i
ves
u
bma
ni
f
o
l
dの無限小変形の空間を t
wi
s
t
e
dDi
r
a
co
pe
r
a
t
o
rの固有空間と
して特徴づける｡そして上のそれぞれの場合に固有空間を計算する｡計算には主に Pe
t
e
rWe
ylの定理を
用いる｡これはトーラス上のフーリエ変換を一般のコンパクトLi
e群上に拡張したものである｡この手法
は大仁田氏により用いられたもので､この手法により､複雑な微分方程式を解くことが可能になり､固有
空間の基底も求めることが可能となる｡
-9
1-
論文審査の結果の要旨
河井公大朗氏の学位論文の目的は, G2多様体の (コ) アソシアティプ部分多様体の構成と, ニアリー
パラレル C 2多様体のアソシアティブ部分多様体の変形理論である.
G2多様体とはホロノミー群が例外リー群 G2 に含まれる 7次元 ]
)-マン多様体で,同様に特殊ホロノミ一
群をもっケ-ラー多様体やカラビ-ヤウ多様体が複素幾何で論じられるのに対し,実幾何学で論じねばな
らず,既知の事は少ない. ケ-ラー形式から決まるカリブレーションに対して,G2多様体Yに付随する 3
次微分形式￠及びそのホッジスター *￠は Yのカリブレーションを定め,対応する部分多様体は (コ)ア
ソシアテイブとよばれる体積最小の部分多様体である. これらをファイバーとするファイブレーションは,
ミラー対称性の実版に当たり,その重要度が高い.一方, この極小部分多様体を定める偏微分方程式は難
解で,正則性が使えるケーラー幾何や, 1階の微分方程式でかける特殊ラグランジュ部分多様体に比べ,
その非自明な具体例はほとんど知られていない.
河井氏は,群 Gが作用する G2多様体の G不変な (コ) アソシアティブ部分多様体を探すという手法で,
R7及び,S4 の反自己双対束の上に新しい例を多数構成した.群作用の軌道空間に方程式を落とす事によ
り,偏微分方程式は常微分方程式 (
莱) になり,具体的, あるいは論理的に解くことが可能になる. とは
いえ,方程式を明示的に求め,それを解くためには,深い理解,知識,計算力が必要である.河井氏はこ
れを成し遂げ, (コ) アソシアティブ部分多様体を構成し,更にその族からなる γのファイブレーション
にも考察を進めた.
これとは独立に, ニアリーパラレル C 2多様体という佐々木多様体などを含む重要な空間において, ア
ソシアテイブ部分多様体 M の変形空間 Vを調べた. Vの考察には M の変形 Mtの tに関する 1次,2次の
項,すなわち,第 1
,第 2変分の計算が要求される.第 2変分から得られるヤコビ作用素はここではディ
ラック作用素として記述され, その固有空間の次元がVの次元の評価を与える.河井氏は等質,特にリー
群で表されるアソシアティブ部分多様体についてこの次元を計算し,ある場合は剛性,他の場合は変形の
可能性を示した.
以上の成果は, 自立して研究活動を行うに必要な高度の研究能力と学識を有する事を示している.従っ
て河井公大朗提出の博士論文は,博士 (
理学)の学位論文として合格と認める.
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