0 v 0 h sin 2 2 1 gl gh v = =

暮らしの力学 KK22
仕事とエネルギ（３）力学的エネルギの保存則
これまでみてきたように、運動エネルギ、位置エネルギ、弾性エネルギそれぞれの変化は、その物
体になされた仕事に等しいから、仕事と諸エネルギの関係は、次式で表される。
U  T  Vg  Ve  T  Vg  Ve   E
(22.1)
ここで、
E  T  Vg  Ve
(22.2)
を力学的エネルギと呼ぶ。すべての力が保存力である限り、系になされる仕事はゼロとなる。したが
って、力学的エネルギは一定である。すなわち、
E  0
 E  T  Vg  Ve  const
(22.3)
である。すべての力が保存力であることを前提とすれば、運動エネルギとポテンシャルエネルギ（位
置エネルギ、弾性エネルギ）が交換可能であることを表しており、力学的エネルギ保存の法則と呼ば
れる。例えば、摩擦力や空気抵抗のような非保存力（熱が発生する）が作用する場合は、この法則は
成り立たない。
保存力の定義に関しては長くなるので、説明を省略するが、簡単に言うと、その力がなす仕事が経
路に依存しないで始点と終点の位置により決定される力である。慣性力（運動エネルギ）、重力（位
置エネルギ）
、弾性力（弾性エネルギ）はいずれも保存力である。
例題 22-1 傾斜角 45 度、斜面の長さ 25m のスキ
ージャンプ台がある。質量 80kg の選手が台の頂
上から滑り始めたとき（図 22-1）
、この選手が空
中に飛び出す瞬間の速度を求めよ。ただし、摩擦
は無いものとする。
（演習 26-1 と同じ問題）
図 22-1
例題解答 22-1 選手の質量を m 、始点と終点での
である。始点では速度がゼロ、すなわち、v1  0
速度をそれぞれ v1 , v 2 とすると、始点と終点にお
であり、終点での高さを基準面に選ぶと、h2  0
ける運動エネルギ T1 ,T2 はそれぞれ、
であるから、力学的エネルギ保存の法則により、
T1 
m 2
m
v1 , T2  v22
2
2
である。一方、始点と終点での高さをそれぞれ
下記の式が得られる。
mgh1 
m 2
v2
2
h1 , h2 とすると、始点と終点での位置エネルギ
従って、幾何学的関係を考慮すると、
Vg1 ,Vg 2 はそれぞれ、
v2  2 gh1  2 gl sin 
Vg1  mgh1 , Vg 2  mgh2
となる。
例題 22-2 図 22-2 のように、長さ 20cm の糸で
質量 m のおもりをつるし、これを h だけ引き上
げ、糸が鉛直となす角６０度でおもりを放した。
おもりが最下点に達したときの速度を求めよ。
例題解答 22-2
最下点の位置を基準とすると、
おもりを引き上げた高さは、
h  20  20 cos 60  10cm  0.1m
であり、おもりを離した位置ではおもりの速度
は 0 であるので、力学的エネルギ保存則より、
おもりが最下点に達したときの速度 v は、
1 2
mv  mgh
2
図 22-2
 v  2 gh
となる。 g  9.8m/s とすると下記となる。
2
v  2  9.8  0.1  1.4m/s
例題 22-3
図 22-3 のように h  5m の丘から、自転車で降りてくる。このとき、丘から降りきった地
点での速度を求めよ。ただし、自転車の初速はゼロとする。また自転車と運転者の質量は併せて
m  80kg とする。重力加速度を g  10.0m/s 2 としなさい。
図 22-3
例題解答 22-3 力学的エネルギーの保存則より、
1
mv 2  mgh
2
v  2 gh  2  10.0  5  100  10m/s 
KK 演習 27、宿題⑰

Download Report