基礎力学: 演習問題 I 略解 1. 次の関数 f (t) を t で微分せよ。得られた導関数をもう一度微分せよ。(g, v0 , h0 , a, ω, α は定数) (a) f (t) = − gt2 + v0 t + h 0 2 d f (t) = −gt + v0 dt d2 f (t) = −g dt2 (b) f (t) = a cos(ωt + α) d f (t) = −aω sin(ωt + α) dt d2 f (t) = −aω2 cos(ωt + α) 2 dt (c) sin(ωt) t d f (t) cos(ωt) sin(ωt) = aω −a 2 dt t t 2 sin(ωt) d f (t) cos(ωt) 2 sin(ωt) = −aω2 − 2aω +a 2 2 dt t t t3 f (t) = a (d) f (t) = a sin(ω2 t2 ) d f (t) = 2aω2 t cos(ω2 t2 ) dt d2 f (t) = 2aω2 cos(ω2 t2 ) − 4aω4 t2 sin(ω2 t2 ) dt2 2. 各成分を時間で一回微分すれば速度、更にもう一回微分すれば加速度が得ら れる。 (1) r = (at, bt2 , ct3 ) dr u= = (a, 2bt, 3ct2 ) dt d2 r a = 2 = (0, 2b, 6ct) dt (2) r0 t r0 t2 e x + 2 ey + r0 ez τ τ dr r0 2r0 t = e x + 2 ey u= dt τ τ 2 d r 2r0 a = 2 = 2 ey dt τ r= (3) r = (r0 sin(Ωt), r0 cos(Ωt), v0 t) u = (r0 Ω cos(Ωt), −r0 Ω sin(Ωt), v0 ) a = (−r0 Ω2 sin(Ωt), −r0 Ω2 cos(Ωt), 0) dr du 、加速度 a = と書くことにする。|r|2 = r · r が一定（円運動） dt dt 3. 速度 u = の場合 d(r · r) =0 dt すなわち ( ) d(r · r) d 2 dx dy dz 2 2 = (x + y + z ) = 2 x + y + z = 2r · u = 0 dt dt dt dt dt なので、速度 u と位置ベクトル r は直交する。すなわち、原点からの距離が 変わらないので、原点から離れたり近づいたりする向きの速度の成分はない のである。 同様に速度の大きさ |u| が一定の時、|u|2 = u · u が一定なので d(u · u) =0 dt すなわち ( ) dvy dv x d(u · u) d 2 dvz 2 2 = (v x + vy + vz ) = 2 v x + vy + vz = 2u · a = 0 dt dt dt dt dt なので、速度 u と加速度 a は直交する。速度の大きさは変わらなくても、向 きが変わるだけで加速度があることになることに注意しよう。
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