dx dt = -3x 1 x dx dt = -3 ∫ 1 x dx dt dt = ∫ (-3)dt ∫ 1 x dx = ∫ (-3)dt

数学 A2 微分方程式入門
問題 1.
dx
= −3x の一般解を求めよ.
dt
問題 3.
解答例
解答例
1 dx
= −3
x dt
∫
∫
1 dx
dt = (−3)dt
x dt
∫
∫
1
dx = (−3)dt
x
dx
= (2t − 1)x
dt
1 dx
= (2t − 1)
x dt
∫
∫
1 dx
dt = (2t − 1)dt
x dt
∫
∫
1
dx = (2t − 1)dt
x
log |x| = −3t + C0
log |x| = t2 − t + C0
dx
= −3x
dt
(x で割る)
(t で積分)
(置換積分)
|x| = e−3t+C0 = e−3t eC0
(定数置き直し)
問題 2.
dx
= (2t − 1)x の一般解を求めよ.
dt
|x| = et
2
−t+C0
= et
x = ±eC0 e−3t
x = ±eC0 et
∴ x = Ce−3t
∴ x = Cet
dx
= tx の一般解を求めよ.
dt
問題 4.
2
2
2
−t C0
e
−t
−t
dx
= 2x2 の一般解を求めよ.
dt
解答例
解答例
dx
= tx
dt
1 dx
=t
x dt
∫
∫
1 dx
dt = t dt
x dt
∫
∫
1
dx = t dt
x
−
1
log |x| = t2 t + C0
2
−3t+C0
|x| = e
=e
1 2
2t
1 2
x = ±eC0 e 2 t
1 2
∴ x = Ce 2 t
dx
= x2
dt
1 dx
=2
x2 dt
∫
∫
1 dx
dt = 2 dt
x2 dt
∫
∫
1
dx = 2 dt
x2
C0
e
1
= 2t + C0
x
1
= −(2t + C0 )
x
1
∴x=−
2t + C0
数学 A2 微分方程式入門
問題 1.
dx
= −3x の一般解を求めよ.
dt
問題 3.
解答例
解答例
1 dx
= −3
x dt
∫
∫
1 dx
dt = (−3)dt
x dt
∫
∫
1
dx = (−3)dt
x
dx
= (2t − 1)x
dt
1 dx
= (2t − 1)
x dt
∫
∫
1 dx
dt = (2t − 1)dt
x dt
∫
∫
1
dx = (2t − 1)dt
x
log |x| = −3t + C0
log |x| = t2 − t + C0
dx
= −3x
dt
(x で割る)
(t で積分)
(置換積分)
|x| = e−3t+C0 = e−3t eC0
(定数置き直し)
問題 2.
dx
= (2t − 1)x の一般解を求めよ.
dt
|x| = et
2
−t+C0
= et
x = ±eC0 e−3t
x = ±eC0 et
∴ x = Ce−3t
∴ x = Cet
dx
= tx の一般解を求めよ.
dt
問題 4.
2
2
2
−t C0
e
−t
−t
dx
= 2x2 の一般解を求めよ.
dt
解答例
解答例
dx
= tx
dt
1 dx
=t
x dt
∫
∫
1 dx
dt = t dt
x dt
∫
∫
1
dx = t dt
x
−
1
log |x| = t2 + C0
2
|x| = e
1 2
2 t +C0
=e
1 2
2t
1 2
x = ±eC0 e 2 t
1 2
∴ x = Ce 2 t
dx
= 2x2
dt
1 dx
=2
x2 dt
∫
∫
1 dx
dt = 2 dt
x2 dt
∫
∫
1
dx = 2 dt
x2
C0
e
1
= 2t + C0
x
1
= −(2t + C0 )
x
1
∴x=−
2t + C0

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