工業反応装置特論
講義時間：水曜6限
場所
：8-1A
担当
：山村（前半）
1
（剛体）ブレード直下の流れと圧力分布
Newtonian corn syrup
stagnation point
せん断粘度μ
単位幅当り流量q
22°
h(x)
x
循環渦
移動速度U
移動固体と剛体ブレードに挟まれた
縮小流れの流れパターン
F. Davard, D. Dupuis、J. Non-Newtonian Fluid Mech. 93 (2000) 17–28
ある流れ方向位置で


基礎式（第１回講義参照）
流体圧力は極大値
逆圧力勾配による逆流が発生
dp
1
q
 6U 2  12 3
dx
h
h
(1)
圧力分布の物理的説明
dp
 0のなるクリアランスをh  h*とすると
dx
1
q
2q
*
(1)より0  6 U 2  12 3  h 
(2)
*
*
U
h
h
(2)を用いて(1)を書き直せば
dp 1 h*
 2  3 (3)
dx h h
dp
(i )
 0の場合
dx
1 h*
(3)より 2  3  0  h  h*
h h
dp
(ii )
 0の場合
dx
1 h*
*


0

h

h
h 2 h3
p=p(x)
p=p(x)
h*
低圧
h(x)
h*
x
1D LUBRICATION THEORY (１)
（例）剛直矩形ブレード塗布
クリアランスhは直線で
与えられるので
rigid blade
h  ax  b (2)
h1  h2
ただしa  
, b  h1
L
Stagnation
point
h1
h2
U
0
xc
L
潤滑理論から
dp
1
q
 6 U 2  12 3 (1)
dx
h
h
(2)を代入して
dp
1
q
 6 U
 12
2
dx
(ax  b)
(ax  b) 3
4
1D LUBRICATION THEORY (2)
流量qはxによらず一定であることに注意し
x  0でp  p（基準圧）
, h  h1として積分すると
1
x
1

1 
1
1
p  p1  6 U  (
)  6 q 
2
a
(
ax

b
)
 a ax  b  0

0
x
U
1
1 6 q 
1
1
6
(
 )
 

a
ax  b b
a  (ax  b) 2 b 2 
h h
第1項が支配的
h  ax  b, a   1 2 , b  h1を代入すれば
p （圧力増加、上流）
L
LU 1 1
6 Lq 1
1
p  p1  6
(  )
( 2  2 ) (3)
第2項が支配的
h1  h2 h h1 h1  h2 h h1
（圧力低下、下流）
粘度μ、ブレード長さL、基板速度U、
流量q、およびクリアランスh(x)を
代入してプロットすると圧力分布が得られる
p1
0
x
5
L
ブレードが受ける力
（３）を長さ方向に積分すれば、ブレードが流体から受ける
（単位幅あたりの）力Fが得られる
L
F   pdx
0
F / L  p1 

 h1  h2  1 
L
1 
  

ln

h1  h1 
 h1  h2 
6 Lq  1
L  1 1 
  

 2
h1  h2  h1 h1  h2  h2 h1 
6 LU
h1  h2
(4)
（4）の右辺は流れ方向の平均圧力に等しい
L
1
p   pdx  F / L
L0
6
1D LUBRICATION THEORY (3)
特別な場合―ブレード両端が大気解放―
x  Lでp  p（基準圧
), h  h2なら
1
LU
1 1
6 Lq 1
1
06
(  )
(
 )
h1  h2 h2 h1 h1  h2 h2 2 h12
整理して
1
1
1 1
( 2  2 )q  (  )U
h2 h1
h2 h1
1 1
   q  U
 h2 h1 
U
q 
1 / h1  1 / h2
さらにブレードが基板に平行ならh1  h2 ( h)として
q
U
1
 Uhとなりクエット流れに一致
2/h 2
7
ブレード傾きによる変化
H
マノメータ
（液柱圧力計）
a.縮小流れ
b.拡大流れ
粘度１Pa∙s
100m
逆流
50m
100m
h
p1  0Pa
100m
h2
50m
h1
h
L=100μm
10 m/s (600 m/min)
x
0.00
0.12
0.1
-0.02
0.08
-0.04
p[MPa]
p [MPa]
圧力分布
-0.06
0.06
0.04
-0.08
0.02
-0.10
-0.12
0
20
40
60
x[μm]
80
100
0.1MPa=1atm=10m H2O
（水中10mにおける圧力と同じ）
0
20
40
60
80
100
x[um]
ブレード中央部では負圧に成り得る
→
ブレード押し圧低減
下流部で流れ方向に圧力増加
→
渦発生の可能性
縮小・拡大流れの組み合わせ（１）：ロール塗布
新日鉄住金
film transfer zone
web
Back up Roll
film metering
zone
film transfer zone
coated web
x
Metering Roll
0
film take-away
zone
adverse pressure gradient
film forming
zone
FORWARD ROLL COATING
pressure
Applicator Roll
（2本ロール間の）
縮小流れ
拡大流れ
9
縮小・拡大流れの組み合わせ（２）：グラビア塗布
各装置で１色ずつ塗布
流路縮小による
圧力増加
流路拡大による
圧力低下
大気圧へ
100000
系列2
80000
60000
p[Pa]
40000
Rigid or
Deformable roll
20000
0
-20000
Filament
Film on
lands
Gravure
roll
0
20
40
60
-40000
80
100
圧力増加（セル内）
-60000
x[m]
Residual
film
Blade
30m
100m
pyramidal
(ピラミッド）
trihelical
(斜線）
honeycomb
(ハニカム）
40m
10 m/s
(600 m/min)
ロール曲率等を考慮したより現実的な解析例は
Xiuyan Yin, Satish Kumar, PHYSICS OF
10
FLUIDS, 17, 063101(2005)
ミッション：
□
□
□
□
□
□
□
□
□
潤滑理論の基礎式を導出できる
潤滑理論から流体圧力分布を算出できる
毛管力を考慮したFilm Profile Equation(FPE)を導出できる
1D-FPEの線形安定性ができる
スロットダイ塗布のコーティングウィンドウを求められる
粘弾性流体に対するMaxellモデルを導出できる
非相溶高分子溶液中に対するCahn-Hilliard Equation (CHE)を導出できる
1D-CHEの線形安定性ができる
拡散係数が推算できる
11
Report 2 film thickness in blade coating
氏名
右図のようなブレード塗布を考える。基板表面に沿った方向にx軸、基板に
垂直な方向にy軸をとり任意のx座標におけるブレード・基板間のクリア
ランスをh(x)=h1-(h1-h2)x/Lとする。
[問1]単位幅あたりの液体の流量をq(m2/s)と書き潤滑理論(lubrication theory)を
用いると圧力勾配は次式で与えられることを導け。
dp
1
q
 6U 2  12 3 (1)
dx
h
h
y
x
0
[問2]式(1)をx=0から任意の位置xまで積分すると液体圧力p(x)は次式で表わされる。
6LU  1
1  6Lq  1
1 


p( x)  p1 
  
 2  (2)
2

h1  h2  h( x) h1  h1  h2  h( x) h1 
x=Lにおける圧力p(L)が上流側圧力p1に等しい場合、流量qは次式で与えられることを示せ。
U
q
(3)
1 / h1  1 / h2
[問3] 問1-2の結果から圧力pが極大値を示すのはクリアランスhが次式を満たす
場合であることを示せ。
2
h
(4)
1 / h1  1 / h2
[問4]ブレード直下の速度分布は次式で表される。
1 dp 2  U
1 dp 
u
y   
h  y  U (5)
2  dx
 h 2  dx 
ブレード面上(y=h)でdu/dy=0となる、すなわち逆流が発生し始めるのは、
クリアランスhが次式を満たす場合であることを示せ。
この条件を満たすブレード面上の点は淀み点(stagnation point）と呼ばれる。
3
h
(6)
1 / h1  1 / h2
12