1. ⟨a1, ··· , ar⟩R = V . 2. a1, ··· , （疑問 2）a1, ··· , {0} ̸= ⟨a1⟩R ̸

10 月 15 日
（定義 1）V を Rn の部分空間とする. {a1 , · · · , ar } ⊂ Rn が V の基底であるとは, 以下の 2 条件をみたすことをいう.
1. ⟨a1 , · · · , ar ⟩R = V .
2. a1 , · · · , ar は R 上一次独立.
（疑問 2）a1 , · · · , ar ∈ Rn が V の基底であるとき, 定理 1.23 より,
{0} ̸= ⟨a1 ⟩R ̸= ⟨a1 , a2 ⟩R ̸= · · · ⟨a1 , · · · , ar−1 ⟩R ̸= V = ⟨a1 , · · · , ar−1 , ar ⟩R
が成り立つ. ⟨a1 ⟩R は原点を通る直線であり, ⟨a1 , a2 ⟩R は原点を通る平面である. 「V は r 次元」と定義してもよいのだろ
うか？
（演習 3）
( )
1
} は R2 の基底か.
1
( )
( )
1
2
{c1 =
, c2 =
} は R2 の基底か.
1
2
( )
( )
(
)
1
2
−1
{c1 =
, c2 =
, c3 =
} は R2 の基底か.
1
2
0
( )
(
)
1
−1
{c1 =
, c3 =
} は R2 の基底か.
1
0
(
)
( )
−1
2
{a1 =
, a2 =
} は R2 の基底か.
0
1
1. {c =
2.
3.
4.
5.
（観察 4）
• 演習 3 でみたように, 与えられた部分空間に対して, 基底は一意的でなく, 何通りも取ることができる.
•「V の次元=V の基底の本数」と定義するためには, 「V の任意の基底は, 等しい本数のベクトルからなる」ことを示
さなければならない.
（定理 5) Rr の一次独立なベクトルの最大本数は r である.
（定理 6）b1 , · · · , br ∈ Rn が部分空間 V の基底であるとき, V の元のうち一次独立なものの最大本数は r である. いいかえ
ると, r + 1 本以上の V の元は一次従属である.
（疑問 7）部分空間には
  , 必ず基底があるのだろうか？
x
 
（演習 8）V = { y  ∈ R3 | 2x + 3y − z = 0} とする.
z
1. V は R3 の部分空間であることを示せ.
2. a ∈ V かつ a ̸= 0 なる a の例を一つ挙げよ.
3. V = ⟨a⟩R か.
4. 前問で否と答えた場合, b ∈ V かつ b ̸∈ ⟨a⟩R なるものの例を一つ挙げよ.
5. V = ⟨a, b⟩R か.
6. 前問で否と答えた場合, c ∈ V かつ c ̸∈ ⟨a, b⟩R なるものの例を一つ挙げよ.
（定理 9：基底の延長定理）V ̸= {0} を Rn の部分空間とする. b1 , · · · , bs ∈ V が R 上一次独立ならば, これに適当に V の元
bs+1 , · · · , br を加えて, V の基底 b1 , · · · , bs , bs+1 , · · · , br を作ることができる.
4
1. 演習 1.39 を参考にして答えよ
.
 
x
 
(1) V = { y  ∈ R3 | −x + y + z = 0} の基底を一組書け.
z
(2) 前問で得た V の基底に, 何本かベクトルを加えることにより R3 の基底を作れ.
 
x
y
 
2. V = {  ∈ R4 | 5x + 5y + 4z + 23w = 0, 4x + 4y + 3z + 18w = 0, 2x + 2y + z + 8w = 0} は R4 の部分空間で
z
w
あることを示し
, V
の基底を一組書け．
 
  
1
1
3
  
  
3. (1) W = ⟨ 2  ,  0  ,  2 ⟩R の基底を一組書け.
3
−1
1
(2) 前問で得た W の基底に, 何本かベクトルを加えることにより R3 の基底を作れ.
5

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