Title
有限要素法を用いた三次元電磁界解析の高速化に関する研
究( 本文(Fulltext) )
Author(s)
片桐, 弘雄
Report No.(Doctoral
Degree)
博士(工学) 甲第453号
Issue Date
2014-03-25
Type
博士論文
Version
ETD
URL
http://repository.lib.gifu-u.ac.jp/handle/123456789/49022
※この資料の著作権は、各資料の著者・学協会・出版社等に帰属します。
博 士 論 文
有限要素法を用いた三次元電磁界解析の高速化に関する研究
Acceleration of three-dimensional electromagnetic field analysis
using finite element method
平成 26 年 3 月
片桐
弘雄
博 士 論 文
有限要素法を用いた三次元電磁界解析の高速化に関する研究
Acceleration of three-dimensional electromagnetic field analysis
using finite element method
平成 26 年 3 月
片桐
弘雄
有限要素法を用いた三次元電磁界解析の高速化に関する研究
目 次
第１章
緒論 ·········································································································· 1
１．１
電気機器の三次元電磁界解析の高速化手法の動向と問題点 ····························· 1
１．２
本研究の目的と意義················································································ 2
１．３
本研究の内容概略··················································································· 2
第２章
辺要素有限要素法による三次元電磁界解析手法 ·················································· 4
２．１
緒言 ···································································································· 4
２．２
電磁界解析法 ························································································ 4
２．２．１
基礎方程式················································································ 4
（１）静磁場 ······························································································ 4
（２）時間依存場 ························································································ 5
（３）永久磁石を含む場················································································ 5
２．２．２
有限要素法による定式化 ······························································ 6
（１）ガラーキン法による残差方程式 ······························································ 6
（２）境界条件 ··························································································· 8
（３）未知数の定義法················································································· 10
（４）一次四面体辺要素による離散化 ···························································· 12
（a）補間関数 ·················································································· 12
（b）積分公式 ·················································································· 14
（５）一次三角柱辺要素による離散化 ···························································· 15
（a）補間関数 ·················································································· 15
（b）数値積分法 ··············································································· 17
２．２．３
時間依存場計算法 ····································································· 19
２．２．４
非線形計算法··········································································· 19
２．３
回路方程式との連立法··········································································· 20
２．４
節点力法によるトルクの計算法 ······························································· 22
２．５
回転機の要素分割修正法 ········································································ 24
２．６
結言 ·································································································· 25
-i-
第３章
一次三角柱辺要素を用いた三次元電磁界解析への適用例 ···································· 26
３．１
緒言 ·································································································· 26
３．２
インバータで駆動される埋込構造永久磁石同期電動機の解析 ························ 26
３．２．１
コギングトルク解析 ·································································· 26
３．２．２
PWM インバータ駆動時の解析 ···················································· 28
３．３
非接触充電コイルの解析········································································ 31
３．３．１ 一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素による解析 ··························· 31
３．３．２
３．４
第４章
二次コアの分割が二次コア中の渦電流損に及ぼす影響 ····················· 35
結言 ·································································································· 38
簡易 TP-EEC 法を用いた三次元電磁界解析の過渡収束改善手法 ··························· 39
４．１
緒言 ·································································································· 39
４．２
TP-EEC 法··························································································· 39
４．３
簡易 TP-EEC 法 ···················································································· 40
４．３．１
簡易 TP-EEC 法の概要 ······························································· 40
４．３．２
簡易 TP-EEC 法の補正効果 ························································· 41
４．４
回転機解析のための簡易 TP-EEC 法の拡張 ················································ 42
４．４．１
同期電動機の場合 ····································································· 42
４．４．２
誘導電動機の場合 ····································································· 42
４．５
簡易 TP-EEC-DC 法 ··············································································· 43
４．５．１ 半周期性の簡易 TP-EEC-DC 法 ···················································· 43
４．５．２ 一周期性の簡易 TP-EEC-DC 法 ···················································· 43
４．６
第５章
結言 ·································································································· 45
簡易 TP-EEC 法を用いた三次元電磁界解析への適用例 ······································· 46
５．１
緒言 ·································································································· 46
５．２
回転機への簡易 TP-EEC 法の適用 ···························································· 46
５．２．１ 埋込構造永久磁石同期電動機への適用 ·········································· 46
５．２．２ 誘導電動機への適用 ·································································· 50
５．３
IEEJ ベンチマークモデルへの簡易 TP-EEC-DC 法の適用 ······························ 54
５．４
シールド板付き C 形コアへの簡易 TP-EEC-DC 法の適用······························· 57
５．５
結言 ·································································································· 60
第６章
結論 ········································································································ 61
謝辞 ···················································································································· 63
-ii-
参考文献 ·············································································································· 64
研究業績一覧 ········································································································ 66
-iii-
第１章
１．１
緒論
電 気機 器の 三 次元 電 磁界 解 析に おけ る 高速 化 手法 の 動向 と問 題 点
近 年 の計 算 機の 性能 向 上と 数 値解 析 技術 の進 歩 に伴 い ，有 限 要素 法等 を 用い た 電磁
界 解 析技 術 の電 気機 器 への 実 用的 な 利用 能力 は 目覚 し く向 上 し， 試作 コ スト の 削減 や
開 発 期 間 の 短 縮 の た め の 強 力 な 道 具 と な っ て お り (1) ， 設 計 や 開 発 の 現 場 に 広 く 普 及 し
て い る。
一 方 ，電 磁 界解 析 の 普 及に 伴 い， こ れま で解 析 が困 難 であ っ た複 雑か つ 大規 模 な問
題 が 解析 対 象と なる よ うに な った た め， 現在 の 計算 機 の性 能 をも って し ても ， 計算 時
間 が 数週 間 から 数ヶ 月 以上 に 及ぶ 場 合も 珍し く ない 。
そ の ため ， 高速 化計 算 の要 求 に一 段 と拍 車が か かり ， 電磁 界 解析 のさ ら なる 高 速化
が 望 まれ て いる 。
電 磁 界解 析 では ，通 常 ，非 線 形反 復 計算 ルー プ の内 側 に線 形 化さ れた 連 立一 次 方程
式 を 解く た めの ICCG法 (2) の よ う な反 復法 の ループ を 含む 。し た がっ て，一 般 的な 電 磁
界 解 析は ，時間 ス テッ プ－ 非 線形 反 復－ 連立 一 次方 程 式の 3重ル ー プ構 造と な る 。電 磁
界 数 値解 析 の計 算時 間 を削 減 する た めに は ，3重 ルー プ のい ず れか を高 速 化す れ ばよ い。
例 え ば ， 連 立 一 次 方 程 式 の ル ー プ の 高 速 化 手 法 と し て ， マ ル チ グ リ ッ ド 法 (3) や 領 域 分
割 に よ る 並 列 計 算 (4) な ど が あ げ ら れ る 。 非 線 形 反 復 の 収 束 特 性 の 高 速 ・ 安 定 化 手 法 と
し て ， 直 線 探 索 (5) に 関 す る 研 究 が 盛 ん に 行 わ れ て い る 。 ま た ， 時 間 ス テ ッ プ の ル ー プ
の 高 速化 と して は， 複 素近 似 法が 挙 げら れる 。
時 間 ステ ッ プの ルー プ の新 た な高 速 化手 法の 一 つと し て， 渦 電流 を考 慮 した 電 気機
器 の 定常 解 析に おけ る 数値 解 析的 な 過渡 現象 を 抑え ， 時間 ス テッ プ数 を 削減 で きる 簡
易 time periodic-explicit error correction(TP-EEC)法 (6) が 提 案 され て いる。この 手 法は 機 械
的 な 動作 を 伴わ ない 電 気機 器 の 電 磁 界解 析に 適 用さ れ てき た 。し かし ， 本研 究 の開 始
時 に は，回転 機 のよ うに機 械 的な 周 期的 な動 作 を伴 う 電気 機 器へ の簡 易 TP-EEC法 の 適
用 法 が報 告 され てい な かっ た 。さ ら に， 産業 応 用の 分 野で は 交流 に直 流 が重 畳 した 強
制 電 流を 流 す電 気機 器 もあ り ，こ れ らの 電気 機 器に は 直流 磁 界が 含ま れ るた め 磁界 の
半 周 期性 を 利用 する 従 来の 簡 易 TP-EEC法 は そ のま ま では 適 用で きか っ た。そ こで ，本
研 究 では 回 転機 や直 流 分が 含 んだ 電 磁界 解析 に も適 用 でき る 過渡 収束 改 善法 を 提案 し，
時 間 ステ ッ プの ルー プ の高 速 化を 目 指す 。
ま た ，連 立 一次 方程 式 のル ー プの 高 速化 にお い ては ， 有限 要 素の 要素 形 状を 検 討す
る こ とも 考 えら れる 。 電気 機 器の 三 次元 電磁 界 解析 で は， 要 素分 割が 容 易で 複 雑な 三
次 元 形 状 に 柔 軟 に 対 応 で き る 一 次 四 面 体 辺 要 素 (7) が 多 く 用 い ら れ て い る 。 一 次 四 面 体
辺 要 素を 用 いた 解析 で は， 薄 く扁 平 な要 素が あ る場 合 ，計 算 精度 が著 し く悪 化 する こ
と が 報 告 さ れ て お り (8) ， 薄 膜 等 の 薄 い 形 状 の 部 品 を モ デ ル 化 す る 際 に は 厚 み 方 向 の 長
さ に 合わ せ てメ ッシ ュ を非 常 に細 か く分 割し な けれ ば なら ず 要素 数が 膨 大に な って し
-1-
ま う 問 題 が あ る 。 一 方 で ， 一 次 三 角 柱 辺 要 素 (9) を 使 え ば ， 厚 み 方 向 に 薄 く 扁 平 な 要 素
で も 精度 が 悪化 しな い ため ， 薄い 形 状の 部品 が ある 場 合で も 少な いメ ッ シュ で 精度 よ
く 高 速に 計 算で きる と 考え ら れる 。 また ，モ ー タや 非 接触 充 電コ イル の よう に モデ ル
形 状 が単 純 で， 三次 元 メッ シ ュを 二 次元 の分 割 図か ら 積み 上 げて 作成 で きる 場 合に 限
れ ば ，三 角 柱辺 要素 で も容 易 に要 素 分割 がで き ，一 次 三角 柱 辺要 素に 優 位性 が ある と
考 え られ る 。そ こで 本 研究 で は， モ ータ や非 接 触充 電 コイ ル の電 磁界 解 析に 三 角柱 辺
要 素 を用 い るこ とで 未 知数 の 削減 や ICCG法 の 収束 性 向上 に より ，連 立一次 方 程式 の ル
ー プ の高 速 化を 目指 す 。
１．２
本 研究 の目 的 と意 義
本 研 究の 目 的は ，電 気 機器 の 電磁 界 解析 の高 速 化を 達 成す る こと であ る 。そ の ため
に ， 本研 究 では 以下 の 3つ の 検討 を 行う 。
一 次 三角 柱 辺要 素に よ る電 磁 界解 析 を用 い， 電 気機 器 の 電 磁 界解 析の 高 速化 を 達成
する。
回 転 機解 析 のた めの 簡 易 TP-EEC法 の 適 用法 を開発 し，回 転機 の 電磁 界解析 の 高速 化
を 達 成す る 。
直 流 磁界 を 含む 電気 機 器の 電 磁界 解 析の 数値 解 析的 な 過渡 を 取り 除く た めに ， 従 来
の 簡 易TP-EEC法 を 拡 張し た 簡易 simplified TP-EEC method for DC magnetic field method
(TP-EEC-DC法 ) (10) を 開 発 し ， 直 流 磁 界 を 含 む電 気機 器 の 電 磁 界 解 析 の高 速化 を 達 成 す
る。
こ の 目的 の 達成 によ り ，開 発 した 手 法が 電気 機 器の 設 計・ 開 発プ ロセ ス の効 率 化に
大 き く貢 献 する こと が 期待 さ れる 。
１．３
本 研究 の内 容 概要
本 研 究は 本 章を 含め 6章か ら なる 。
第 2章 では ，電 気機 器 の 電 磁 界解 析 に必 要な 有 限要 素 法に つ いて 論述 す る。ま ず，マ
ク ス ウェ ル の電 磁方 程 式を 磁 気 ベ ク トル ポテ ン シャ ル と電 気 スカ ラポ テ ンシ ャ ルを 使
っ て 一次 四 面体 辺要 素 およ び 一次 三 角柱 辺要 素 によ る 定式 化 を行 い， 時 間微 分 は後 退
差 分 近似 に よっ て離 散 化す る 。次 に ，鉄 など の 材料 の 透磁 率 の非 線形 性 を考 慮 する た
め の 方法 と して ，ニ ュ ート ン ・ラ フ ソン 法を 用 いた 非 線形 問 題の 定式 化 につ い て述 べ
る 。 さら に ，磁 界の 方 程式 と 回路 方 程式 を連 立 させ た 解析 手 法や 回転 機 のメ ッ シュ 修
正 法 およ び 電磁 力計 算 方法 に つい て 述べ る。
第 3章 で は ， 一 次 三 角 柱 辺 要 素 と 一 次 四 面 体 辺 要 素 を 用 い て PWMイ ン バ ー タ で 駆 動
さ れ る埋 込 構造 磁石 電 動機 お よび 非 接触 充電 コ イル の 電磁 界 解析 を行 い ，計 算 精度 ，
計 算 速度 の 観点 から 三 角柱 辺 要素 の 優位 性を 明 らか に する 。
第 4章 で は ， 数 値 解 析 的 な 過 渡 を 取 り 除 き ， 高 速 に 定 常 解 を 求 め ら れ る 簡 易 TP-EEC
-2-
法 に つい て 述べ ると と もに そ の手 法 の回 転機 解 析の た めの 適 用法 につ い て述 べ る。 さ
ら に ， 直 流 成 分 を 含 む 磁 界 の 定 常 解 析 に 簡 易 TP-EEC 法 を 適 用 す る た め ， 簡 易
TP-EEC-DC法 を 提 案 す る。
第 5章 で は ， 回 転 機 解 析 の た め の 簡 易 TP-EEC法 の 適 用 法 を 埋 込 磁 石 構 造 形 同 期 電 動
機 と 誘導 電 動機 に適 用 し，提 案 手法 の 実用 的な 回転 機 に対 す る有 用性 を 明ら か にす る 。
さ ら に，簡 易 TP-EEC-DC法 を 渦電 流 場数 値計 算 技術 調 査専 門 委員 会で 提 案さ れ てい る
三 次 元 渦 電 流 解 析 検 証 用 標 準 ベ ン チ マ ー ク モ デ ル (11) の 線 形 磁 界 解 析 お よ び シ ー ル ド
板 付 き C形 コ ア の 非 線 形 磁 界 解 析 に 適 用 し ， 簡 易 TP-EEC-DC法 に よ り ， 過 渡 収 束 改 善
法 の 適用 範 囲を 更に 拡 げる こ とが で きる こと を 明ら か にす る 。
第 6章 では 2～5章 で得 られ た 成果 を 要約 して い る。
-3-
第２章 辺要素有限要素法による三次元電磁界解析手法
２．１
緒言
電 気機 器 の設 計・ 開 発に お ける 電 磁界 解析 技 術の 役 割は 大 きく ，ト ル クや 誘 起電 圧
の 算 出を は じ め ，損 失 や効 率 の算 出 など に盛 ん に用 い られ て いる 。 電 磁 界解 析 の多 く
は 有 限要 素 法 (12) を 利用 して お り ，そ こ に用 い られて い る基 礎 方程 式・定式化 お よび 離
散 化 を理 論 的に 示す こ とは ， 非常 に 重要 であ る 。
そ こで 本 章で は， 三 次元 有 限要 素 法に よる 電 磁界 解 析 の 定 式化 を行 う 。ま ず ，マ ク
ス ウ ェル の 電磁 方程 式 を磁 気 ベク ト ルポ テン シ ャル お よび 電 気ス カラ ポ テン シ ャル に
よ っ て表 し ，一 次四 面 体辺 要 素と 一 次三 角柱 辺 要素 に よる 定 式化 を行 う 。ま た ，時 間
微 分 項は 後 退差 分近 似 によ っ て定 式 化す る。 次 に， 鉄 など の 材料 の透 磁 率の 非 線形 性
を 考 慮す る ため の方 法 とし て ，ニ ュ ート ン・ ラ フソ ン 法を 用 いた 非線 形 問題 の 解析 手
法 に つい て 述べ る。 さ らに ， 磁界 の 基礎 方程 式 と回 路 方程 式 を連 立さ せ た解 析 法， 回
転 機 の要 素 分割 図作 成 法お よ び電 磁 力・ 損失 の 計算 方 法に つ いて 述べ る 。
２．２
電 磁界 解析 法 (1),(12)
２ ． ２． １
（１）
基 礎方 程 式
静 磁場
電 磁界 の 現象 はマ ク スウ ェ ルの 電 磁方 程式 を 用い て 表す と 次式 とな る (13) 。
rot H  J 
rot E  
D
t
(2.1)
B
t
(2.2)
div B  0
(2.3)
div D  
(2.4)
こ こ で Hは 磁 界 の 強 さ ， Jは 電 流 密 度 ， Dは 電 束 密 度 ， Eは 電 界 の 強 さ ， Bは 磁 束 密 度 ，
 は 電 荷 密 度で あ る。 また ， B， H， D， E， Jの間 に は次 の 関係 があ る 。
B  H
D  E
(2.5)
(2.6)
J  E
(2.7)
こ こ で  は 透 磁 率 ，  は 誘 電 率 ，  は 導 電 率 で あ る 。 (2.3)式 よ り 次 式 で 定 義 さ れ る 磁 気
ベ ク トル ポ テン シャ ル A (14) を 導 入 す る。
B  rot A
(2.8)
静 磁 場 問 題 で は 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aを 用 い て (2.1)式 の 時 間 微 分 項 を 零 と す る
と （ 2.1） 式 ，（ 2.5）式 より 解 くべ き 静磁 場の 基 礎方 程 式は 次 式の よう に 表せ る 。
-4-
1

rot rot A   rot  rot A  J


(2.9)
こ こ で  は 磁 気 抵 抗 率 で あ る 。 静 磁 界 問 題 は (2.9)式 を 満 足 す る 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ
ャ ル Aを 求 めて ，(2.8)式よ り 次の よ うに 磁束 密 度 Bの x，y，z方 向 の 成 分 B x ，B y ，B z を 求
め る こと に なる 。
Az Ay 

y
z 
A A 
By  x  z 
z
x 
Ay Ax 
Bz 

x
y 
Bx 
（２）
(2.10)
時 間依 存場
磁 束が 時 間的 に変 化 する た め解 析 領域 内に あ る導 体 また は 磁性 体に 渦 電流 が 流れ ，
そ れ によ る 反作 用磁 界 が問 題 とな る 場合 につ い て考 察 する 。 ただ し， 低 周波 を 扱う 問
題 で は マク ス ウ ェル の 基礎 方 程 式の (2.1)式右 辺 の時 間 微 分項 の 変 位電 流 を無 視 す るこ
と が でき る 。 (2.8)式を (2.2)式 に 代入 する と 次式 を得 る こと が でき る。
 A

E  
 grad  
 t

(2.11)
こ こ で  は 電 気 ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル で あ り ， grad  は rot（ grad  ） =0に 起 因 し て 生 じ
る 項 であ る 。こ れ より (2.7)式 と (2.11)式か ら時 間依 存 場の 磁 界の 基礎 方 程式 は 次式 で 表
さ れ る。
rot rot A  J 0  J e
(2.12)
 A

J e   
 grad  
 t

(2.13)
こ こ で J0は 強 制 電 流 密 度 ， Jeは 渦 電 流 密 度 で あ る 。 な お ， 辺 要 素 を 用 い る 場 合 は ゲ ー
ジ 条 件 と し て  =0を 選 択 で き る た め (2.13)式 よ り 電 気 ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル  を 削 除 す
る こ とも で き (15) ，渦電 流場 の 定式 化 が簡 単に な る。た だし ，電気 スカ ラ ポテ ン シャ ル
 を 未 知 とし た 場合 ，係数 マ トリ ク スの 特異 値 の分 布 が改 善 され るた め ，連 立 一次 方
程 式 の 解 法 で あ る ICCG法 の 収 束 特 性 が 改 善 さ れ 計 算 時 間 が 短 い と い う 利 点 が あ る (16) 。
（３）
永 久磁 石を 含 む場
外 部 か ら の 強 制 電 流 密 度 J0と 渦 電 流 密 度 Je以 外 に 磁 界 を 作 る 永 久 磁 石 が 存 在 す る 場
合 ， 永 久 磁 石 の 磁 気 特 性 は 磁 化 Mを 用 い て 表 現 す る こ と に な る 。 す な わ ち 一 般 の 磁 性
体 の 磁気 特 性が (2.5)式 で表 さ れる の に対 して ，永久 磁 石の 磁 気特 性は 次 式で 表 され る。
B  0 H  M
(2.14)
-5-
こ こ で 0 は 真 空 の 透 磁 率 で あ る 。 こ の よ うに 解 析領 域 内 に 一 般 の 磁性 体 と永 久 磁 石 が
混 在 し て い る 場 合 ， 各 々 を 別 々 の 式 で 取 り 扱 う 。 永 久 磁 石 中 の 磁 気 特 性 は (2.14)式 に
(2.12)式を 適 用す ると 次式 と なる 。
rot
1
0
B  M   J 0  J e
(2.15)
続 いて (2.15)式 に (2.8)式 を 代入 す ると ，永久 磁石 を 含む 場 の基 礎方 程 式は 次 式で 表 さ
れる。
rot rot A  J 0  J e  J m
J m   0 rot M
(2.16)
(2.17)
こ こ で  0 は 真空 の磁 気抵 抗 率， J m は 等価 磁化 電流 密 度と す る。
２ ． ２． ２
（１）
有 限要 素 法に よ る定 式 化
ガ ラー キン 法 によ る 残差 方 程式
前 項 の (2.16)式 に 後 述 す る 要 素 の 辺 で 定 義 さ れ る 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aの 補
間 関 数 N i を 重み 関数 と して ，ガラ ー キン 法 (12) を 適用 す ると 渦 電流 およ び 永久 磁 石を 考
慮 し た動 磁 場解 析の た めの 残 差 G oi は 次式 で 定義さ れ 零と な る。
Goi  Gli  G j 0i  G jei  G jmi  0
(2.18)
た だし ，（ 2.18）式 右辺 の 各項 は 以下 のよ う にな る 。
Gli   N i  rot  rot AdV
(2.19)
G j 0i   N i  J 0 dV
(2.20)
  A

G jei   N i    
 grad  dV

  t
Ve
(2.21)
G jmi   N i   0 rot M dV
(2.22)
V
Vc
Vm
こ こ で Vは 全 領域，V c は巻 線 の領 域，V e は 渦電 流が 流 れる 導 体の 領域 お よび V m は 永 久磁
石 の 領域 と する 。(2.19)式 に おい て 磁気 ベク ト ルポ テ ンシ ャ ル Aは 離散 化の 過 程で 要 素
内 で は一 次 近似 され る ため ，回 転を 2回適 用す ると 恒 等的 に 零と なる こ とか ら ，この ま
ま の 形で は 離散 化で き ない 。 そこ で 次式 のベ ク トル 公 式お よ びガ ウス の 発散 定 理を 用
い て 変形 す る。
u  rot ν  ν  rot u  divu  ν 
(2.23)
 div udV   u  ndS
(2.24)
V
S
-6-
u  ν   w  u  ν  w 
(2.25)
(2.19)式 に ベク トル 公式 お よび ガ ウス の発 散 定理 を 適用 す ると 次式 が 得ら れ る。
 N  rot rot AdV   rot N   rot AdV   N   rot A ndS
i
i
V
i
V
(2.26)
S
こ こ で nは 微 小 面 積 dSの 外 向 き の 単 位 法 線 ベ ク ト ル で あ る 。 (2.26)式 に お い て 右 辺 第 2
項 は 境界 積 分項 で固 定 境界 上 では N i =0と な り，磁界 の 強さ Hが 境界 面に 垂直 な 場合 は n
×H=0と な る た め 結 局 零 と な る 。 し た が っ て 通 常 こ の 項 を 零 ， す な わ ち 磁 束 は 境 界 に
対 し て平 行 また は垂 直 にし か 通ら な い も のと し て解 析 する 。
次 に (2.22)式に おい て永 久 磁石 の 磁化 Mは 要素内 で 一定 と して 与え る ため に，そ の回
転 量 は恒 等 的に 零と な る。そ こ で (2.22)式 に もベ クト ル 公式 お よび ガウ ス の発 散 定理 を
適 用 する と 次式 が得 ら れる 。
 N  
i
Vm
0
rot M dV   rot N i   0 M dV   N i   0 M   ndS
Vm
(2.27)
Sm
(2.27)式 の 境界 積分 項も 零 とし て ，境 界上 の 磁化 Mは 垂 直 ま た は 平 行 で あ る と す る 。
以 上 よ り 渦 電 流 お よ び 永 久 磁 石 を 考 慮 し た 動 磁 場 解 析 の た め の 残 差 G oi は 次 式 で 定
義 さ れる 。 なお ，境 界 積分 項 も示 す 。
Goi   rot N i   rot AdV   N i   rot A  ndS
V
S
  A

  N i  J 0 dV   N i    
 grad  dV

  t
Vc
Ve
(2.28)
  rot N i   0 M dV   N i   0 M   ndS
Vm
Sm
と こ ろで (2.28)式 におい て 電 気ス カラ ポ テン シャ ル  も 未 知変 数 とし た場 合 ， 未知 変
数 は Aの 3成 分と  の 合 計4変 数 とな る が，(2.28)式 の残 差 G oi に は 3成分 の式 しか な いた め
方 程 式 の 数 が 未 知 変 数 よ り も 少 な い こ と に な る 。 そ こ で 渦 電 流 密 度 Jeに 対 し て 次 式 に
示 す 電荷 保 存則 の式 を 導入 す る。
div J e  0
(2.29)
(2.13)式 と (2.29)式よ り，後 述 する 要 素の 節点 で定 義 され る 電気 スカ ラ ポテ ン シャ ル 
の 補 間 関 数 N i を 重 み 関 数 と し て ガ ラ ー キ ン 法 を 適 用 す る と 残 差 G di は 次 式 で 定 義 さ れ
零 と なる 。
Gdi   Ni div J e dV  0
(2.30)
Ve
ま た ，(2.30)式 に ベク トル 公 式お よ びガ ウス の 発散 定 理を 適 用す ると 次 式が 得 られる。
 N div J dV   N J
i
Ve
e
i
Se
e
 ndS   grad N i  J e dV
(2.31)
Ve
(2.31)式 よ り渦 電流 が境 界 面に 対 して 平行 に 流れ る 場合 に は，上 式の 右辺 第 一項 の 境
-7-
界 積 分項 は 零に なる 。 また ， 境界 面 に対 して 垂 直な 場 合， 磁 気ベ クト ル ポテ ン シャ ル
Aと 電 気 ス カラ ポ テン シャ ル  は 固 定境 界と な るた め 零に な る 。し た がって こ の項 を 零，
す な わち 渦 電流 は境 界 に対 し て平 行 また は垂 直 にし か 流れ な いも のと す る。 以 上よ り
磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aと 電 気 ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル  を 未 知 数 と す る ， い わ ゆ る
A-  法 を 用 い る 場 合 ， (2.28)式 と (2.31)式 の 連立 方程 式 を 解 くこ と で 磁 束 分布 お よ び 渦
電 流 分布 を 解析 する こ とが 可 能と な る。
（２）
境 界条 件
図 2.1に 示 す よ う な 透 磁 率  が 異 な る 2つ の 領 域 間 の 境 界 面  上 の 磁 束 密 度 B， 磁 界 の
強 さ Hの 連 続 性 を 考 察 す る 。 た だ し ， 境 界 面  は x-y平 面 に 平 行 で あ る と 仮 定 す る 。 電
磁 界 にお い て磁 界が 満 足す べ き物 理 的な 境界 条 件は 次 式で 表 され る。
B1  n  B2  n
H1  n  H 2  n
(2.32)
(2.33)
こ こ で B 1 お よ び B 2 は それぞ れ 領域 1およ び 領域 2の磁 束 密度 ，H 1 お よび H 2 はそ れ ぞれ 領
域 1お よび 領域 2の磁 界 の強 さ ，nは境 界 面  の 単位 法 線ベ ク トル とす る 。(2.32)式は 境
界 面 に 対 す る 磁 束 密 度 Bの 法 線 方 向 成 分 の 連 続 条件 ， (2.33)式 は 磁 界 の 強さ Hの 接 線 方
向 成 分の 連 続条 件を 示 して い る。(2.33)式 の磁 界の 強 さ Hの 接 線方 向成 分の 連 続条 件 は，
前 述 の (2.26)式の 右辺 第 2項 の 境界 積 分項 を零 と する こ とで 満 たす こと が でき る 。また ，
磁 束 密 度 Bは 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aを 用 い て (2.8)式 で 表 さ れ る こ と か ら 磁 束 密
度 Bの 法 線 方向 成 分の 連続 性 は ，磁 気 ベク トル ポテ ン シャ ル Aの 連 続条 件を 考 えれ ば よ
い こ とに な る。 (2.32)式と (2.8)式よ り  上の Aの 分 布 に関 し て次 式が 得 られ る 。
Ay1
x

Ax1 Ay 2 Ax 2


y
x
y
(2.34)
(2.34)式 よ り  上 で  に 平 行 な 2成 分 A x と A y の み が 連 続 で あ れ ば 磁 束 密 度 Bの 法 線 方 向
成 分 の連 続 性が 満足 さ れる こ とを 示 して いる 。
次 に 有 限 要素 法 で は 有限 の 領 域 を 扱う こ と か ら (2.32)式 お よび (2.33)式を満 足 す る 解
析 領 域の 取 り方 につ い て検 討 する 。(2.32)式お よ び (2.33)式に お いて 領域 1を解 析 領域 の
内 部 ，領域 2を解 析領 域の 外 部と す れば ，境界 面上 で は境 界 面に 沿っ た 磁気 ベ クト ル ポ
テ ン シャ ル Aの み で磁 束密 度 Bお よ び磁 界 の強 さ Hが 表 され る 。境 界面 上の 磁 気ベ ク ト
ル ポ テン シ ャル Aが 零 以外 で あれ ば ，(2.8)式よ り磁 束 密度 Bは 境 界 面に 垂直 に なる こ と
が わ か る 。 こ れ よ り 通 常 境 界 面 上 の 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aを 未 知 数 と す る と 磁
束 密 度 Bは 境界 面 に対 して 必 ず垂 直 とな り ，こ のよ う な境 界 を自 然境 界 と呼 ぶ 。また ，
解 析 領 域 を 十 分 に 広 く 取 る と 磁 束 密 度 Bは 近 似 的 に 零 と な り (2.32)式 お よ び (2.33)式 を
満 足 す る こ と が わ か る 。 こ の よ う な 境 界 を 遠 方 境 界 と 呼 ぶ 。 一 方 ， 磁 束 密 度 Bが 境 界
面 に 対 し て 平 行 な 場 合 ， 境 界 面 に 沿 っ た 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aは 一 定 値 で な け
れ ば なら な い。 この よ うな 境 界を 固 定境 界と 呼 ぶ。 な お， 遠 方境 界に お いて も 境界 面
-8-
に 沿 っ た 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aは 零 と し て 与 え る た め 遠 方 境 界 は 固 定 境 界 の 一
種 で ある こ とが わか る 。
続 いて 渦 電流 密度 J e と電 界 の強 さ Eの 境 界条 件に つ いて 検 討す る。磁 界と 同 様に 渦 電
流 密 度 J e と 電 界の 強さ Eが 満 足す べ き物 理的 な 境界 条 件は 次 式で 表さ れ る。
J e1  n  J e 2  n
(2.35)
E1  n  E2  n
(2.36)
こ こ で J e1 およ び J e2 はそれ ぞ れ領 域 1お よ び領 域 2の 渦 電流 密 度 ，E 1 お よびE 2 は そ れ ぞ れ
領 域 1およ び領 域 2の 電 界の 強 さと す る。(2.35)式は 境 界面 に 対す る渦 電 流密 度 J e の法 線
方 向 成分 の 連続 条件 ，(2.36)式 は電 界 の強 さ Eの 接線 方 向成 分 の連 続条 件 を示 し てい る。
(2.35)式の 渦 電流 密度 J e の 法 線方 向 成分 の連 続 条件 は，前 述の (2.31)式 の右 辺 第 1項 の境
界 積 分 項 を 零 と す る こ と で 満 た す こ と が で き る 。 ま た ， 電 界 の 強 さ Eは 磁 気 ベ ク ト ル
ポ テ ン シ ャ ル A と 電 気 ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル  を 用 い て (2.11) 式 で 表 さ れ る こ と か ら
(2.36)式よ り  上 の Aと  の 分 布に 関 して 次式 が 得ら れ る。
Ax1 1 Ax 2 2 



t
x
t
x 
Ay1 1 Ay 2 2 




t
y
t
y 
(2.37)
(2.37)式 よ り  上 で  に 平 行 な 2成 分 A x と A y お よ び  が 連 続 で あ れ ば 電 界 の 強 さ Eの
接 線 方向 成 分の 連続 性 が満 足 され る こと を 示 し てい る 。
次 に領 域 1を 解 析領 域内 部 ，領 域 2を 解 析領 域の 外 部と す る有 限領 域 につ い て検 討 す
る 。 渦 電 流 密 度J e は (2.13)式 よ り 磁 気 ベ クト ル ポテ ン シ ャ ル Aと 電 気 ス カラ ポ テ ン シ ャ
ル  か ら 表さ れ るが ，Aは 磁 束密 度 Bの 境 界条 件に よ り決 定 され るた め 渦電 流 密度 J e の
境 界 条件 は  を 用い て指定 す るこ と がで きる 。まず ，境 界面 上の 電 気ス カラ ポ テン シ
ャ ル  を 未知 数 とす る ，い わ ゆる 自 然境 界と す ると (2.31)式 の 右辺 第一 項を 零 とす る こ
と か ら ， 渦 電 流 密 度 Jeは 境 界 面 に 対 し て 平 行 と な る 。 ま た ， 境 界 面 に 沿 っ た 電 気 ス カ
ラ ポ テ ン シ ャ ル  を 零 と す る ， い わ ゆ る 固 定 境 界 と す る と 渦 電 流 密 度 Jeは 境 界 面 に 対
し て 垂直 と なる 。
B 1 , H 1 , J e1 , E 1
n
Boundary 
Region1
Region2
Fig. 2.1
B 1 , H 1 , J e1 , E 1
Boundary between two regions.
-9-
（３）
未 知数 の定 義 方法
未 知 変 数 に は 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aお よ び 電 気 ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル  を 用 い
る 。 図 2.2に 磁 気ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル Aの 未 知変 数 の 定 義 方 法を 示 す 。図 中 の 矢 印 が
未 知 変数 を 表す 。従 来 の節 点 要素 で は図 2.2(a)に示 す よう に 各節 点に お ける 磁 気ベ ク ト
ル ポ テン シ ャル の x，yおよ び z方 向 成分 を未 知 数と す る。し たが って ，要素 の 境界 面 上
で は 磁気 ベ クト ルポ テ ンシ ャ ルの x，yお よ び z方向の 全 成分 が 連続 とな る 。し か しな が
ら ，前 節 の (2.34)式 よ り節 点 要素 法 にお ける Aの 全 成 分の 連 続性 は本 来 不要 で あり ，接
線 方 向 成 分 の み の 連 続 性 で 磁 束 密 度 Bお よ び 磁 界 の 強 さ Hの 連 続 性 を 満 た し た 解 析 が
で き る 。そ こ で辺 上の 磁気 ベ クト ル ポテ ンシ ャ ルを 未 知数 と する 辺要 素 を通 常 用い る 。
辺 要 素に お いて は境 界 面上 で 定義 さ れる 未知 変 数が 境 界面 に 沿っ た成 分 のみ で ある こ
と か ら， 先 に述 べた 境 界条 件 を自 然 に満 たす こ とが で きる 。 一方 ，電 気 スカ ラ ポテ ン
シ ャ ル に つ い て は ， 未 知 数 を 節 点 上 で 定 義 す る 。 こ の と き ， 要 素 の 境 界 面 上 で は ，
電 気 スカ ラ ポテ ンシ ャ ル  の 連 続 性 が保 証さ れ る。
以 上 よ り 一 次 四 面 体 辺 要 素 お よ び 一 次 三 角 柱 辺 要 素 の 未 知 変 数 は 図 2.3お よ び 図 2.4
の よ うに 定 義す る。
A z1e
1
A y1e
1e
A x1e
A 1e
2
2e
4e
3
A 3e
A 2e
A 6e
A 4e
3e
(a) nodal element
Fig. 2.2
A 5e
(b) edge element
Definition of unknown variables.
- 10 -
4e
 1e
1e
1e
A 1e
2e
A 3e
A 2e
A 6e
 2e
A 4e
4e
A 5e
3e
(b) electric scalar potential 
6e
A 7e
A 3e
A 1e
4e
5e
A 4e
A 9e
A 8e
 6e
6e
 4e
A 5e
4e
 5e
5e
 1e
3e
1e
A 2e
 3e
3e
 2e
2e
2e
(a) magnetic vector potential A
Fig. 2.4
 4e
Definition of unknown variables in first -order tetrahedral edge elements.
A 6e
1e
3e
 3e
(a) magnetic vector potential A
Fig. 2.3
4e
2e
(b) electric scalar potential 
Definition of unknown variables in first-order prismatic edge elements.
- 11 -
（４）
一 次四 面体 辺 要素 に よる 離 散化
（ a）
補 間関 数
(2.28)式 を 一 次 四 面 体辺 要 素 に よ り 離 散 化 す る際 に ， 図 2.5に 示 す 要 素 (e)に お い て 相
対 辺 番 号 leに 対 応 す る 相 対 節 点 番 号 me， neを 定 義 す る 。 未 知 変 数 は 図 中 に 示 す 相 対 節
点 番 号 meから 相 対節 点番号 neへ 向か う 方向 を正 とす る 。こ の とき 要素 の 辺で 定 義さ れ
る 磁 気ベ ク トル ポテ ン シャ ル Aの 補 間関 数 N le は 次式 で 定義 さ れる (7) 。
N le  me grad ne  negradme
(2.38)
こ こ で  me お よ び  ne は そ れ ぞ れ 相 対 節 点 番 号 me， neに 対 応 す る 体 積 座 標 で あ る 。 体 積
座 標 とは 相 対座 標の 一 種で 図 2.6に 示 すよ うに ，相対 節 点番 号 meに 相対 する面 を 底面 と
す る 斜線 部 の四 面体 の 体積 V me と 要 素 (e)の 体 積比で 定 義さ れ 次式 で表 さ れる 。
me 
1
ame b me x  cme y  d me z 
6Ve
(2.39)
V e は 要 素 (e)の 体積 で ，次 式 で表 さ れる 。
Ve 
1 4
me
  1 xme yne zoe  z pe   yoe z pe  z ne   y pe z ne  zoe 
6 me1
(2.40)
式 中 の me，ne，oe，peは循 環 する 相 対節 点番 号 を示 し ，例え ば me=2の時 ne，oe，peは
そ れ ぞれ 3， 4， 1に対 応す る 。ま た ， a me ， b me ， c me ， d me は 次 式 で表 され る。
ame   1
x y
bme   1
y z
cme   1
z x
me
ne
me
oe
 z pe   yoe z pe  zne   y pe zne  zoe 
(2.42)
oe
 x pe   zoe x pe  xne   z pe xne  xoe 
(2.43)
 y pe   xoe y pe  yne   x pe  yne  yoe 
(2.44)
ne
me
ne
d me   1
me
x y
ne
z  yoe z pe   xoe yne z pe  y pe zne   x pe  yoe zne  yne zoe  (2.41)
pe oe
oe
（ 2.39） 式を （ 2.38）式 に 代入 す ると 次式 が 得ら れ る。
N le 
1
amebne  anebme  cmebne  cnebme y  d mebne  d nebme zi
36Ve2
 ame cne  anecme  bme cne  bnecme x  d me cne  d necme z j
(2.45)
 ame d ne  aned me  bme d ne  bned me x  cme d ne  cned me  yk
こ こ で i，jお よ びkは それぞ れ x，yお よ び z方向 の単 位 ベク ト ルで ある 。辺 leは 複 数 個の
要 素 に 共 有 さ れ て い る が ， い ず れ の 要 素 で 求 め た 辺 leの 補 間 関 数 を 同 一 に す る た め に
は ，辺 leの 両端 の節 点 meお よ び neの 絶 対節 点番 号 n me お よ び n ne が ，n me >n ne と な るよ う に
相 対 節点 番 号を つけ れ ばよ い こと に なる 。要 素 (e)内 に おけ る 磁気 ベク ト ルポ テ ンシ ャ
ル A (e) は （ 2.45） 式の ベク ト ル補 間 関数 N le を 用い て 次式 で 表さ れる 。
- 12 -
6
Ae    N le Ale
(2.46)
le1
こ こ で A le は要 素 (e)の相対 辺 番号 leに 沿 った 未知変 数 であ る。 また ，そ の単 位 はベ ク ト
ル 補 間関 数 N le の 単 位が m -1 で あ る こと か ら Wbの次元 を 有す る。すな わ ち，A le と い う 未
知 変 数は 磁 気ベ クト ル ポテ ン シャ ル の単 位 Wb/mよ り も長 さ の次 元だ け 高く ，ラ プ ラス
問 題 など の 既知 の境 界 値を 与 える と きに は， 磁 気ベ ク トル ポ テン シャ ル 値に そ の辺 の
長 さ をか け たも のを 未 知変 数 A le に 与え な けれ ばなら な いの で 注意 を要 す る。以 上 より
(2.45)式と (2.46)式 を用 いる こ とで ， (2.28)式を 離散 化 する こ とが でき る 。
ne
Relative edge number le
Element (e)
Relative node number me
pe
oe
Fig. 2.5
Relationship between edge and node in tetrahedral edge element.
ne
Ve
V me
me
pe
oe
Fig. 2.6
Volume coordinates of relative node number me.
渦 電流 の 電荷 保存 則 の (2.31)式を 離 散化 する 際に ，要 素の 節点 で 定義 され る 電気 ス カ
ラ ポ テン シ ャル  の 補間関 数 N ne は 次 式 で定 義 され る 。
N ne 
1
ane  bne x  cne y  d ne z 
6Ve
(2.47)
こ れよ り 要素（ e）内に お ける 電 気ス カラ ポ テン シ ャル  （ e ） は（ 2.47）式 を 用 い て 次
式 と なる 。
4
 e    N nene
(2.48)
ne1
以 上よ り (2.47)式と (2.48)式 を 用い るこ と で， (2.31)式 を離 散 化す るこ とが で きる 。
- 13 -
（ b）
積 分公 式
(2.45)式 ， (2.47)式 に示し た 通 り ， 四面 体 要 素 では 辺 要 素 補 間関 数 の 各 成分 お よ び 節
点 要 素 補 間 関 数 は ， x,y,zの 一 次 関 数 に な る 。 よって ， (2.28)式 第 1項 ，第 3項 ， 第 4項 ，
第 5項 およ び (2.31)式右 辺第 2項 の体 積積 分 は高 々二 次 関数 の 体積 積分 と なる 。
本 稿で は ，こ れら の 体積 積 分に は 以下 の積 分 公式 を 用い 計 算す る。
 a  bx  cy  dz  exy  fyz  gzx  hx
V

2

 iy 2  jz 2 dV

 Ve a  b x  c y  d z  e xy  f yz  g zx  h xx  i yy  j zz ,
x
1 4
1 4
1 4
xle , y   yle , z   z le ,

4 le1
4 le1
4 le1
xy 

 4
 4
1  4
  xle   yle    xle yle  ,
20  le1  le1  le1

yz 

 4
 4
1  4
  yle   z le    yle z le  ,
20  le1  le1  le1

zx 

 4
 4
1  4



z
x
  le   le    z le xle  ,
20  le1  le1  le1

2
4


1  4
2
xx 
  xle    xle  ,
20  le1  le1


2
4


1  4
2


yy 
  yle    yle  ,
20  le1  le1


(2.49)
2
4


1  4
2


zz 
  z le    z le 
20  le1  le1


- 14 -
（５）
一 次三 角柱 辺 要素 に よる 離 散化
（ a）
補 間関 数
(2.28)式 を 一次 三角 柱辺 要 素に よ り離 散化 す る際 に ，図 2.7(a)に示 す 要素 (e)に おい て
相 対 辺 番 号 leに 対 応 す る 相 対 節 点 番 号 me， neを 定 義 す る 。 未 知 変 数 は 図 中 に 示 す 相 対
節 点 番号 meか ら 相対 節点番 号 neへ向 か う方 向を 正と す る。こ のと き要 素 の辺 で 定義 さ
れ る 磁気 ベ クト ルポ テ ンシ ャ ル Aの 補間 関 数 N le は次 式 で定 義 され る (9) 。
N le (r , s, t )  LneN me  LmeN ne 1  l  6
N le (r , s, t ) 
1
Lnet
2
7  l  9
(2.50)
こ こ で， r， s， tは 図 2.7(b)に 示 す局 所座 標 系の 各成 分 であ る。 なお ， 0≦ r, s≦ 1， -1≦ t
≦ 1の 範囲 をと る 。 me およ び  ne は そ れぞ れ 相対節 点 番号 me，neに 対応 する 節 点補 間 関
数 ， L me お よ び L ne は そ れ ぞ れ 相 対 節 点 番 号 me， neに 対 応 す る 面 内 補 間 関 数 で あ る 。 節
点 補 間関 数 およ び面 内 補間 関 数は そ れぞ れ (2.51)式 お よび (2.52)式 で定 義さ れ る。
N me (r , s, t ) 
1
Li (1  ti t )
2
(2.51)
Li (r , s)  1i  i2 r  i3 s
(2.52)
ここで，(2.51)式 および(2.52)式 で用 いたパラメータを表 2.1に示 す。辺 leは複 数 個 の要 素 に共
有 されているが，いずれの要 素 で求 めた辺 l eの補 間 関 数 を同 一 にするためには，辺 leの両 端
の節 点 meおよびneの絶 対 節 点 番 号 n me およびn ne が，n me >n ne となるように相 対 節 点 番 号 をつけ
ればよいことになる。要 素 (e)内 における磁 気 ベクトルポテンシャルA (e) は（2.50）式 のベクトル補
間関 数N le を用いて次 式で表される。
6
Ae    N le Ale
(2.53)
le1
ここでA le は要 素 (e)の相 対 辺 番 号 leに沿 った未 知 変 数 である。また，その単 位 はベクトル補
間関 数N le の単 位がm -1 であることからWbの次 元を有 する。すなわち，A le という未 知 変数 は磁 気
ベクトルポテンシャルの単 位 Wb/mよりも長 さの次 元 だけ高 く，ラプラス問 題 などの既 知 の境 界
値 を与 えるときには，磁 気 ベクトルポテンシャル値 にその辺 の長 さをかけたものを未 知 変 数 A le
に与 えなければならないので注 意 を要 する。以 上 より (2.50)式 および(2.53)式 を用 いることで，
(2.28)式を離散 化することができる。
- 15 -
A 6e
5e
A 4e
A 7e
1e
3e
A 7e
t s
A 2e
A 1e
x
4e
A 9e
A 8e
A 3e
A 6e
A 4e
A 5e
4e
z y
6e
6e
1e
A 9e
A 2e
A 3e
r
2e
A 8e
3e
5e
A 5e
A 1e
2e
(b) local coordinates
(a) global coordinates
Fig. 2.7 Relationship between edge and node in prismatic edge element.
Table
2.1 Parameters in interpolation.
Node number
1i
i2
i3
ti
1
1
-1
-1
-1
2
0
1
0
-1
3
0
0
1
-1
4
1
-1
-1
1
5
0
1
0
1
6
0
0
1
1
渦 電流 の 電荷 保存 則 の (2.31)式を 離 散化 する 際に ，要 素の 節点 で 定義 され る 電気 ス カ
ラ ポ テン シ ャル  の 補間関 数 は (2.51)式の 節点 補間 関 数で 定 義さ れる 。
こ れよ り 要素（ e）内に お ける 電 気ス カラ ポ テン シ ャル  （ e ） は（ 2.51）式 を 用 い て 次
式 と なる 。
4
 e    N nene
(2.54)
ne1
以 上よ り (2.51)式と (2.54)式 を 用い るこ と で， (2.31)式 を離 散 化す るこ とが で きる 。
- 16 -
（ b）
数 値積 分 法
三 角柱 辺 要素 では (2.28)式 第 1項，第 3項，第 4項，第 5項 お よび (2.31)式右辺 第 2項の 体
積 積 分を 解 析的 に行 う のは 困 難で あ るの で， こ の積 分 はガ ウ スの 積分 (17) を 用 い る。
次 式に 三 角形 面内 の ガウ ス の積 分 を示 す。
1 1 s
 f ( x, y)dxdy    f (r, s) | J |drds
0 0
np
(2.55)
  w f (ri , si ) | J |
rs
i
i 1
重み w i rs と 積 分 点 r i, s i は 表 2.2のよ う に与 えら れる 。
また ， (2.55)式 の ヤコビ 行 列 Jは次 式で 与 えられ る 。
 x

J   r
y

 r
x 
s 
y 

s 
(2.56)
次 式に t 軸 方向 の ガウス の 積分 を 示す 。
dx
dt
dt
np
dx
  wit f (t i )
dt
i 1
 f ( x)dx  
1
1
f (t )
(2.57)
なお， 重 み w i t と 積 分 点 t i は 表 2.3の よ うに 与え られ る 。
三次 元有 限 要素 法で は体 積 積分 と なる が， 三角柱 辺 要素 で はガ ウス の 積分 公 式を 三
次 元 的に 拡 張す る。 関 数の 変 数変 換 と要 素の 座 標系 は 対応 し てい るの で 体積 積 分は 次
式 で 求め ら れる 。
 f ( x, y, z)dV   f dxdydz
    f (r , s, t ) | J |drdsdt
1
1 1
1 0 0
(2.58)
npt nprs
   wmrs wlt f (rm , s m , t l ) | J |
l 1 m 1
こ こ で ， nptは t軸 方 向 の 積 分 点 数 ， nprsは 三 角 形 面 内 の 積 分 定 数 ，
wmrs お よ び wlt は 重
み ， r m ， s m お よ び t l は 積分 点 の座 標 ， Jは 次 式で与 え られ る ，ヤ コビ 行 列で あ る。
 x
 r
 y
J 
 r
 z
 r
x
s
y
s
z
s
x 
t 
y 

t 
z 
t 
(2.59)
- 17 -
Table 2.2
Integration points and weight in triangle.
Number of integration
Integratio
Integration
points np
n point r i
point s i
1
1
3
1
3
1
2
1
2
0
1
2
1
2
0
1
3
1
3
2
15
2
15
2
15
11
15
11
15
2
15
3
4
Table 2.3
Weight w i rs
1
1
3

27
48
25
48
Integration points and weight along t-axis.
Number of integration points np
Integration point t i
Weight w i t
1
0
2

2
1
3
8
9
0
3

- 18 -
1
3
5
5
9
２ ． ２． ３
時 間依 存 場計 算 法
(2.13)式 の 時 間 微 分 項 で あ る ∂/∂tの 処 理 法 と し て は ， 差 分 近 似 法 と 複 素 数 近 似 法 の 2
種 類 ある 。 しか しな が ら， 磁 性体 の 透磁 率の 非 線形 性 を考 慮 する ため に は差 分 近似 法
を 用 いる 必 要が ある 。 なぜ な らば ， 複素 数近 似 法で は 磁性 体 の透 磁率 の 時間 的 変化 が
考 慮 でき な いか らで あ る。 そ こで 本 論文 では 時 間微 分 項の 取 り扱 いに は 差分 近 似法 を
適 用 する 。
差 分 近 似 法 は 解 析 する時 間 領 域 を 微 小 時 間 幅  tで 小 刻 み に 区 切 り ， その区 間 内 で は
現 象 が 直線 的 に変 化す るも の と 仮定 して 微 分方 程式 を 離 散化 して step-by-step法 に より
計 算 する 手 法で ある 。 この 直 線の 勾 配の 決定 方 法に よ り前 進 ，後 退， 中 央差 分 法な ど
が あ る。 こ の中 から 解 の収 束 性よ り 後退 差分 法 を用 い た。 後 退差 分法 は 時間 微 分項 を
次 式 に示 す よう に時 刻 t+  tに お け る勾 配 で与 える方 法 であ る 。
At t At t  At

t
t
２ ． ２． ４
(2.60)
非 線形 計 算法
電 磁界 解 析 の 解析 対 象と な る鉄 な どの 磁性 体 の磁 化 曲線 は ，一 般に 非 線形 性 を有 す
る 。 すな わ ち， その 透 磁率 は 磁束 密 度に 対し て 一定 で はな い 。磁 性体 の 磁化 曲 線を 正
確 に 考慮 す るに は各 要 素に 適 当な 透 磁率 を仮 定 して 磁 束密 度 を線 形計 算 して ， その 結
果 得 られ た 各要 素の 磁 束密 度 に応 じ て透 磁率 を 修正 し て磁 束 密度 を再 計 算す る 必要 が
あ る 。こ れ を収 束す る まで 繰 り返 す のだ が， そ の繰 り 返し 計 算法 とし て 優れ た 収束 性
を 有 する ニ ュー トン・ラ フ ソ ン法 (12) が よ く 用い られ る 。こ の 方法 によ れ ば，解 くべ き
マ ト リク ス は (2.28)式 と (2.31)式よ り 次式 で表 さ れる 。
  Goit t 
  t t 
  Al 
  Gdit t 
  t t 
  Al 
 Goit t  
 t t   At t   G t t 
l
oi
 l  


t  t 
t  t  
 Gdi   l   Gdit t 
 t t  
 l  
(2.61)
（ 2.61） 式 の 係 数 マ ト リ ク ス は 次 式 で 与 え ら れ る 。 た だ し ， 時 間 微 分 項 は 後 退 差 分
近 似 し， 等 方性 の磁 性 体に つ いて の み示 す。

Goit t
   rot N ie    e  rot N le   ie  le dV
t  t
Al
 V

2
 e 

 Bte t

 je
2
  rot N
V


e 
l


 Bte t  rot N ie   Bte t  ie  le dV 



1
N ie    e  N le   ie  le dV

t Ve
- 19 -
(2.62)
Goit t
   N ie    e  grad Nle   ie  le dV
t  t
l
 je Ve
(2.63)
Gdit t
1 e  e  e  e 
   grad Nie  
 N l  i  l dV
t  t
Al
t
 je Ve
(2.64)
Gdit t
   grad Nie    e  grad Nle   ie  le dV
t  t
l
 je Ve
(2.65)






こ こ で と  je は そ れ ぞ れ 全 領 域 お よ び 渦 電 流 が 流 れ る 領 域 で あ る 。 ま た ， B t+  t (e) は 時
刻 t+  tに お け る要 素 (e)の磁 束 密度 で ある 。(2.62)～(2.65)式は 絶 対辺 番号 i お よ び l を有
す る 要 素 (e)に つ い て の み 計 算 し て ， そ れ ら の 和 を と れ ば (2.61)式 の マ ト リ ク ス が 作 成
で き る こと を表 し てい る。 す な わち  i (e) と  l (e) が こ れ ら を 表す 関数 で あり ，そ れ ぞ れ要
素 (e)が 絶 対 辺 番 号 i お よ び lを 有 す る と き 1， そ れ 以 外 の と き 0と な る 。 な お ， (2.61)式
の 係 数マ ト リク スは ，(2.64)式 と (2.65)式 に  tを 乗じ れ ば対 称 とな るこ と から ，ICCG法
(2)
が 適 用 可 能と なる 。また ，(2.62)式 中 の ∂  (e) /∂(B t+  t (e)2 )は ，磁 化 曲 線か ら求 め られ る 。
線 形 解析 で はこ れを 零 とし て １回 計 算す れば よ い。
式 (2.61)よ り，道編 集の 修 正量 {  A l t+  t }お よ び {  l t+  t }が 求 め ら れれ ば，解 ベ クト ル で
あ る {  A l t+  t }お よ び {  l t+  t }は 次 式 で求 める こ とがで き る。
A 
 
t t
l
n1
t t
l
n1
   A 
     
 Alt t
n
t t
l
n
t t
l
n
(2.66)
t t
l
n
(2.67)
こ こ で， 下 付 き の添 え 字 nは ニ ュー トン ・ ラフ ソン 法 の反 復 回数 を示 す 。
回 路方 程式 と の連 立 法 (18)
２．３
解 析領 域 内に 定常 電 流が 流 れて い る時 は ，(2.28)式 の 強制 電 流密 度を 直 接与 え るこ と
で 解 析が 可 能で ある 。しか し なが ら，時 刻 t=0で電 圧 を回 路 に急 に与 え たと き に生 じ る
過 渡 現 象 を 扱 う 場 合 ， 電 流 は 時 間 的 に 変 化 す る た め 電 流 値 I0も 未 知 変 数 と し て 扱 い ，
電 気 回路 方 程式 と連 立 して 解 析す る 必要 があ る 。こ の とき 回 路方 程式 は ，次 式 で与 え
ら れ る。
  V0  RI 0  L
dI 0 d

0
dt
dt
(2.68)
こ こ で V 0 は 巻 線 の 端 子 電 圧 ， Rは 抵 抗 お よ び Lは 解 析 領 域 外 の イ ン ダ ク タ ン ス で あ る 。
ま た ，  は鎖 交 磁束 数であ り 次式 で 与え られ る 。

nc
Sc
  A  ds dS
(2.69)
こ こ で n c は 巻 線 の 巻 数 ， S c は 巻 線 の 断 面 積 ， dsは 電 流 に 沿 っ た 微 小 線 分 お よ び dSは 巻
線 の 断 面 上 の 微 小 面 積 で あ る 。 微 小 線 分 dsの 方 向 は ， 巻 線 の 断 面 の 法 線 ベ ク ト ル n s と
同 じ であ る から ， (2.69)式 は 次式 で 表す こと が でき る 。
- 20 -

nc
A  ns dV
Sc 
(2.70)
(2.68)式 に (2.70)式 を代入 す る こ と で次 式 を 得 るこ と が で き る。 た だ し ，時 間 微 分 項
は 後 退差 分 近似 した 。
  V0  RI
t  t
0
I 0t t  I 0t 1 nc
L

t
t Sc

6
    N
j 0
le1
le
6

Alet t   N le Alet   nse dV  0
le1

(2.71)
な お， 強 制電 流 I 0 と強制 電 流密 度 J 0 の関 係式 は次 式 であ る 。
J0 
nc
I 0 ns
Sc
(2.72)
こ れよ り (2.72)式を (2.20)式 に 代入 する こ とで 次式 を 得る こ とが でき る 。
e t  t
G joi

j 0
nc t t
I 0  N ie   nse  ie dV
Sc
(2.73)
(2.62)式 を 用 い て (2.28)， (2.31)お よ び (2.71)式 を連 立 し て 非 線 形 解 析 す る に は ， 解 く
べ き マト リ クス は次 式 で表 さ れる 。
  Goit  t   Goit  t 
  t  t   t  t 
  Al   I 0 
  η t  t   η t  t 
  t  t   t  t 
  Al   I 0 
  G t  t 
  tdi t 
[0]
  Al 
Goit t
n
 c
t t
I 0
Sc
 Goit  t  
 t  t  
 l    At  t
  lt  t
[0]   I 0
  t  t
 l
t  t  
 Gdi 
 t  t  
 l  



  N    n   dV
e
j 0
i
e
s
e
  G 
    η 
  G 
t  t
oi
t  t
0
t  t
di
(2.74)
(2.75)
i
 t t
n 1
  c    N ie   nse  le dV
t t
Al
Sc t j 0
(2.76)
 t t
L
 R 
t  t
I 0
t
(2.77)
(2.74)式 の 対称 な位 置関 係 にあ る 係数 マト リ クス (2.75)式 と (2.76)式は ，こ の まま で は
等 し く な い の で マ ト リ ク ス の 解 法 に ICCG法 を 用 い る こ と が で き な い 。 そ こ で (2.74)式
の  に 関 する 行 に  tを乗じ る こと で 係数 マト リ クス は 対称 と なり ，マ ト リク ス の解 法 に
ICCG法 が 適 用 可能 となる 。
- 21 -
２．５
節 点力 法に よ るト ル クの 計 算法 (19)
節 点力 法 は， 磁性 体 内の 各 節点 に 働く 力の 和 を求 め るこ と によ り， 磁 性体 全 体に 働
く 力 を計 算 する 方法 で あり ， 電磁 力 [N]は次 式 で表 さ れる 。
F   fi
(2.78)

こ こ で  は力 を求 め たい物 体 の全 領 域， f i は 次式で 示 され る 節点 iに 働く力 を 表す 。
fi   T grad i dV
(2.79)

こ こ で Vは 節 点 iを含 む 要素 の 総 体 積で あ る 。 Tはマ ク ス ウ ェル の 応 力テ ンソ ル で あ り，
次 式 で表 さ れる 。
 Bx2  By2  Bz2
1 
T
2 By Bx
2 
 2 Bz Bx

2 Bx By


2 By Bz 
Bz2  Bx2  By2 
2 Bx Bz
By2  Bz2  Bx2
2 Bz By
(2.80)
ま た ，  i は (2.39)式 で表さ れ る節 点 iに 対応 する体 積 座標 で ある 。
(2.80)式の テ ンソ ルの 1行1列 目 を T xx ，1行2列 目を T xy ，… と すれ ば ，f i の x，y，z成 分 f ix ，
f iy ， f iz は ， 式 (2.78)よ り 次式 と なる 。
 

  
f xi     Txx i  Txy i  Txz i dV 
V
x
y
z  

 

  
f yi     Tyx i  Tyy i  Tyz i dV 
V
x
y
z  


 

 
f zi     Tzx i  Tzy i  Tzz i dV 
V
x
y
z 


(2.81)
(2.81)式に (2.39)式 を代 入す る と，
f xi  
1
6V
f yi  
1
6V
f zi  
1
6V

1

Txx ci  Txy di  Txz ei  

V
6 Vi


1
Tyxci  Tyy di  Tyz ei 
V Tyxci  Tyy di  Tyz ei dV   6 
Vi


1
Tzxci  Tzydi  Tzzei  
V Tzxci  Tzydi  Tzzei dV   6 

Vi
 T
c  Txy di  Txz ei dV  
xx i
(2.82)
た だ し， Vi は節 点 iを含む 要 素に つ いて の総 和 を示 す 。ま た ，B x ，B y ，B z は そ れぞ れ 節
点 iを 含 む要 素 の値 を用い る 。
働 く力 が 回転 力，すなわ ち トル ク であ る場 合 には ，(2.78)式を トル ク の式 に 書き 換 え
た 次 式で 計 算す る。
- 22 -
Tm   f i  λ r 



Rr
λ

Rr

(2.83)
こ こ で ， 図 2.8に 示 す よう に ， T m は 可 動 鉄 心 の 回 転 軸 に 作 用 す る ト ル ク ，r， R，  は 回
転 軸 から 節 点 iに向 かうベ ク トル ，回 転 軸の 方向ベ ク トル お よび 回転 方 向の 単 位ベ ク ト
ル で ある 。ま た ，面 Sはベク ト ル rと Rに よ って 張られ る 面で あ り， は面 Sと直 交 する 。

R
fi
Rotation axis
r
node i
Tm
surface S
Fig. 2.8
Vectors for calculation of torque.
- 23 -
２．５
回 転機 の要 素 分割 修 正法 (20)
回 転機 の 動作 特性 を 解析 す るに は ，回 転角 に 合わ せ て回 転 子を 回転 さ せて 要 素分 割
デ ー タを 作 らな けれ ば なら な い。図 2.9を例 に して，要素 分 割デ ータ を 回転角 に 合わ せ
て 自 動的 に 作成 する 手 法を 以 下に 説 明す る 。ま ず，図 2.9(a)に示 すよ う に，基 本 とな る
要 素 分割 デ ータ を作 成 し， 固 定子 部 分と 回転 子 部分 を 分離 す るた めの 境 界（ 切 断面 ）
を 空 気層 中 に決 定す る。次 に ，図 2.9(b)に 示す よう に ，固 定子 部 分と 回転子 部 分を 分 離
す る 。続い て ，図 2.9(c)に 示 すよ う に ，回 転 角に合 わ せて 回 転子 部分 を 回転 さ せる 。最
後 に ，図 2.9(d)に 示 すよう に ，固定 子 部分 と回 転子 部 分を 結 合さ せる 。この 時 ，その 結
合 は 切断 面 上の 最も 近 い節 点 同士 を 結ぶ こと に よっ て 行う 。こ のよ う にして ，図 2.9(d)
に 示 すよ う な新 しい 要 素分 割 デー タ が自 動的 に 作成 さ れる 。 この 作成 に おい て 注意 す
べ き 点は ， 以下 のよ う なも の があ る 。
(1) 切 断 面は 円 弧状 にと り ，そ の 円周 上 は均 等な 間 隔で 分 割さ れ てい るこ と 。
(2) 四 面 体 要 素 で 分 割 図 を 作 成 す る 際 に は ， 回 転 子 部 分 を 回 転 さ せ て も 固 定 子 部 分 と
結 合 する よ うに ，切 断 面上 の 斜辺 （ 図 2.9(e)参照） の 整合 が とれ てい る こと 。
stator
air gap
air gap
stator
cut surface
(a) settling cut surface
air gap
cut surface
cut surface
(b) disjoining stator and rotor
stator
(c) rotating rotor
hypotenuse
air gap
stator
cut surface
cut surface
(d) connecting stator and rotor
Fig. 2.9
(e) consistency of hypotenuse on cut surface
Mesh modification method in rotation.
- 24 -
２．６
結言
数 値解 析 手法 の一 つ であ る 有限 要 素法 を用 い て， マ クス ウ ェル の電 磁 方程 式 から 得
ら れ る基 礎 方程 式を も とに ， 三次 元 非線 形解 析 を行 う ため の 離散 化・ 定 式化 に つい て
示 し た。 定 式化 には ガ ラー キ ン法 を 用い ，離 散 化の 過 程で ， 空間 的に は 一次 四 面体 辺
要 素 と一 次 三角 柱辺 要 素， 時 間的 に は後 退差 分 近似 法 を用 い た。 また ， 鉄な ど の磁 性
体 の 磁界 に 対す る非 線 形性 を 考慮 す る方 法と し て， ニ ュー ト ン・ ラフ ソ ン法 に よる 非
線 形 解析 手 法を 示し た 。さ ら に， 磁 界の 基礎 方 程式 と 回路 方 程式 とを 連 立さ せ た解 析
手 法 ，回 転 機の 要素 分 割図 作 成法 に つい て示 し た。 以 下に ， 本章 で得 ら れた 知 見を 要
約 す る。
(1) 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aと 電 気 ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル  を 用 い て 電 磁 界 を 表 現 す
る 有 限 要 素 法 に よ る 電 磁 界 解 析 で は ， 隣 接 す る 2つ の 要 素 の 境 界 免 状 で ， Aの 接 線
方 向 成分 が 連続 であ れ ば磁 束 密度 の 法線 方向 成 分が ，さら に  が 連続 であれ ば 電界
の 強 さの 接 戦方 向成 分 が自 動 的に 連 続に なる 。
(2) 一 次 四 面 体 辺 要 素 と 一 次 三 角 柱 辺 要 素 に よ る 磁 界 の 基 礎 方 程 式 の 離 散 化 を 示 し た 。
一次四面体辺要素では，解析積分により係数マトリックス作成時の体積積分がで
き る が， 一 次三 角柱 辺 要素 で は数 値 積分 によ り 体積 積 分を 行 う。
(3) 鉄 な ど の 磁 性 体 の 磁 界 に 対 す る 非 線 形 を 考 慮 し た 電 磁 界 解 析 は ， ニ ュ ー ト ン ・ ラ
フ ソ ン法 を 用い て定 式 化す る こと に より 可能 と なる 。
(4) 基 礎 方 程 式 に 現 れ る 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aの 時 間 微 分 項 を 後 退 差 分 近 似 法
に よ って 定 式化 する こ とに よ り， 渦 電流 を考 慮 した 電 磁界 解 析 が 可能 と なる 。
(5) 電 流 値 を 未 知 数 と し て 扱 い ， 磁 界 の 基 礎 方 程 式 と 電 圧 方 程 式 と を 連 立 す る こ と に
よ り ，電 圧 を入 力源 と する 場 合の 電 磁界 解析 が 可能 と なる 。
(6) 電 磁 力 の 計 算 法 と し て よ く 知 ら れ て い る 節 点 力 法 に よ る ト ル ク の 計 算 方 法 を 示 し
た。
(7) 回 転 機の 動 作特 性解 析 を行 う 際に 必 要と なる ， 要素 分 割修 正 法を 示し た 。
- 25 -
第３章
３．１
一次三角柱辺要素を用いた三次元 電磁界解析への適用例
緒言
有限要素解析の連立一次方程式のループの高速化のために，本章では有限要素の要素形状を
検討する。電気機器の三次元電磁界解析では，要素分割が容易で複雑な三次元形状に柔軟に対
応できる一次四面体辺要素が多く用いられている。一次四面体辺要素を用いた解析では，薄く
扁平な要素がある場合，計算精度が著しく悪化するため，薄膜等の薄い形状の部品をモデル化
する際には厚み方向の長さに合わせてメッシュを非常に細かく分割しなければならず要素数
が膨大になってしまう問題がある。
一方で，一次三角柱辺要素を使えば，厚み方向に薄く扁平な要素でも精度が悪化しないため，
薄い形状の部品がある場合でも少ないメッシュで精度よく高速に計算できると考えられる。ま
た，モータや非接触充電コイルのようにモデル形状が単純で，三次元メッシュを二次元の分割
図から積み上げて作成できる場合に限れば，一次三角柱辺要素でも容易に要素分割ができ，一
次三角柱辺要素に優位性があると考えられる。
本章では，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いて PWM インバータで駆動される埋
込構造磁石回転機（IPM モータ）(21)および非接触充電コイルの電磁界解析を通して，計算精度，
計算速度の観点から一次三角柱辺要素の優位性を明らかにする。
３．２
イ ンバ ータ で 駆動 さ れる 埋 込構 造永 久 磁石 同 期電 動 機の 解析 (22)
３ ． ２． １
コ ギン グ トル ク 解析
ここでは IPM モータのコギングトルク解析における一次三角柱辺要素の有用性を明らかに
する。
図 3.1 に解析対象とする IPM モータを示す。この永久磁石は渦電流損低減のため軸方向に 8
分割されている。そのため，解析領域はモデルの対称性より，周方向に 1/3 とし，軸方向には
分割された永久磁石 1 枚分の 1/2 とした。鉄心の材質は 50H470 である。永久磁石の導電率は
694,444S/m，永久磁石の磁化は 1.083T とした。機械角刻み幅は 2°で解析した。一次三角柱辺
要素と一次四面体辺要素の三次元分割図は，図 3.1(b)に示すように，同じ二次元メッシュから
積み上げて作成した。
図 3.2 に機械角 30°における磁束密度ベクトル分布を示す。磁束密度ベクトル分布は一次三
角柱辺要素と一次四面体辺要素でよく一致している。
図 3.3 にコギングトルク波形を表 3.1 にそのピークピーク値を示す。なお，コギングトルク
の値は，一次三角柱辺要素で解析したピークピーク値で正規化してある。コギングトルク波形
は，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素でよく一致している。
表 3.2 に解析諸元を示す。一次三角柱辺要素は一次四面体辺要素と比べて，要素数は 1/3，
未知数は 1/2，非零要素数は 4/5 になっている。また，一次三角柱辺要素の ICCG の反復回数が
一次四面体辺要素の約 1/3 になっている。これらの理由より，一次三角柱辺要素では一次四面
体辺要素で解析するよりも約 3.5 倍速く計算できた。コギングトルク解析において，一次三角
柱辺要素は，一次四面体辺要素とほぼ同精度で高速に計算できるため有用であることがわか
る。
- 26 -
stator core
coil
y
z
x
permanent
magnet
rotor core
enlarged area
(a) whole view (tetrahedaral elements)
(ii) tetrahedral elements
(i) prismatic elements
(b) enlarged view
Fig. 3.1
y
Analyzed model.
B (T)
x
z
0
(a) prismatic elements
Fig. 3.2
(b) tetrahedral elements
Distribution of flux density vectors.
prismatic elements
tetrahedral elements
0.6
torque (p.u.)
0.4
0.2
0
-0.2 0
10
-0.4
rotation angle (deg.)
-0.6
Fig. 3.3
Cogging torque waveforms.
- 27 -
20
Table 3.1
Peak to peak of cogging torque (p.u.)
Prismatic
Tetrahedral
1.00
1.02
Table 3.2
Discretization data and CPU time.
Element type
Number of elements
Prismatic
Tetrahedral
44,688
134,064
Number of nodes
28,270
Number of Edges
106,741
174,041
Number of unknowns
72,660
139,716
Number of non-zero entries
809,992
1,111,720
Number of time steps
120
Average number of ICCG iterations
12,110
34,071
Average number of nonlinear iterations
11.3
14.8
CPU time/step (s)
172
615
Computer used: Intel Core2 Duo 3.16GHz (64bit) PC
３ ． ２． ２
PWMイン バー タ 駆動 時 の解 析
ここでは，PWM インバータ駆動の IPM モータの電磁界解析における，一次三角柱辺要素の
有用性を明らかにする。
IPM モータの解析モデルおよび三次元分割図は図 3.1 とそれぞれ同じである。表 3.3 に解析
条件を示す。この IPM モータは図 3.4 に示す正弦波または 9 パルスの PWM 電圧で駆動される。
なお，正弦波と 9 パルスの PWM 電圧の実効値は同じである。電気角刻み幅は正弦波電圧駆動
の場合は 3°，PWM 電圧駆動の場合はキャリア高調波の影響を表現するため 0.5°とした。
図 3.5 に正弦波で駆動した場合の永久磁石中の渦電流密度ベクトル分布を示す。分布は要素
形状によらずほぼ一致している。図 3.6 に U 相の電流波形を示す。各電流値は一次三角柱辺要
素で解析した正弦波電圧を入力した場合の電流実効値で正規化してある。図より，正弦波電圧
や PWM 電圧で駆動したいずれも，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素で解析した電流値に
差はほとんどない。PWM 電圧で駆動した場合，キャリア高調波により電流値が歪んでいる。
図 3.7 にトルク波形を示す。なお，各トルクは一次三角柱辺要素で解析した正弦波電圧を入
力した場合の平均トルクで正規化してある。正弦波電圧や PWM 電圧で駆動したいずれも，一
次三角柱辺要素と一次四面体辺要素で解析したトルクに差はほとんどない。PWM 電圧で駆動
した場合のトルクリプルは正弦波電圧で駆動した場合のものよりも大きい。
表 3.4 に IPM モータの諸特性を示す。表より，正弦波電圧や PWM 電圧で駆動したいずれも，
一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素で解析した永久磁石中の渦電流損に差はほとんどない。
また，PWM 電圧駆動時と正弦波電圧駆動時を比較すると，PWM 電圧駆動時の渦電流損が正
弦波電圧駆動時の約 23 倍になっていることがわかる。
表 3.5 に解析諸元を示す。表より，一次三角柱辺要素は，四面体と比べて ICCG の反復回数
が約 1/2，非零要素数は 4/5 と少なくなっているため，約 2 倍速く計算できる。
- 28 -
Table 3.3
Analysis Conditions.
Rotation speed (rpm)
Frequency of the power supply (Hz)
Number of coil turn
Coil resistance (p.u.)
Modulation ratio
935
46.75
7
0.038
0.7
sinusoidal
voltage value (p.u.)
1.0
PWM
0.5
0.0
-0.5
0
90
180
electrical angle (deg.)
270
360
-1.0
Fig. 3.4
Je
(a) prismatic elements
(A/m 2 )
0
y
Waveforms of applied voltage.
z
current (p.u.)
x
(b) tetrahedral elements
Fig. 3.5 Distributions of eddy current density vectors in permanent magnet.
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5 0
-1.0
-1.5
-2.0
Fig. 3.6
element type
prismatic
tetrahedral
prismatic
tetrahedral
60
voltage source
sinusoidal
PWM
120
180
240
electrical angle (deg.)
Current waveforms in phase U.
- 29 -
300
360
element type
prismatic
tetrahedral
prismatic
tetrahedral
1.2
voltage source
sinusoidal
PWM
torque (p.u.)
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.0
～
～
0
15
Fig. 3.7
30
45
electrical angle (°)
60
Torque waveform.
Table 3.4 Characteristics of IPM motor.
Element type
Prismatic
Voltage source
Sinusoidal
PWM
Average torque (p.u.)
1.000
0.971
Torque ripple (p.u.)
0.098
0.329
Effective value of current in phase U
1.000
0.974
(p.u.)
Eddy current loss in permanent magnets
1.000
22.53
(p.u.)
Tetrahedral
Sinusoidal
PWM
0.996
0.966
0.099
0.328
0.995
0.967
1.034
22.89
Table 3.5 Discretization data and CPU time.
Element type
Prismatic
Tetrahedral
Voltage source
Sinusoidal
PWM
Sinusoidal
PWM
Number of elements
44,688
134,064
Number of nodes
28,270
Number of unknowns
75,975
143,031
Number of non-zero entries
956,950
1,272,542
Number of time steps
361
2,160
361
2,160
Average number of
10.7
10.3
13.6
12.4
nonlinear iterations
Average number of ICCG iterations
2,240
2,332
4,188
4,200
CPU time/step (s)
69
69
125
122
Computer used: Intel Core2 Duo 3.16GHz (64bit) PC
- 30 -
３．３
非 接触 充電 コ イル の 解 析 (23)
非接触充電コイルのコアには，小形化の要求から厚み数十m の薄いコアが使われることが
ある。このようなモデルを有限要素法により解析する場合，薄いコアを表現するため非常に扁
平な要素が必要となる。文献(8)では，非常に扁平な要素がある場合，一次四面体辺要素を用い
て解析すると渦電流の計算精度が著しく悪化するが，一次三角柱辺要素を用いれば渦電流を精
度よく計算できることが報告されている。
本節では，はじめに一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いて非接触充電コイルの電磁
界解析を行い，一次四面体辺要素では正しく計算できなかった渦電流の流れが一次三角柱辺要
素を用いれば正しく計算できることを確認する。次に，一次三角柱辺要素を用いて非接触充電
コイルの損失および効率を明らかにする。さらに，渦電流による損失を減少させるべく二次コ
アを分割し，その影響を明らかにする。
３ ． ３． １
一 次三 角 柱辺 要 素と 一 次四 面体 辺 要素 に よる 解 析
本項では，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いて非接触充電コイルの電磁界解析を
行い，一次四面体辺要素では正しく計算できなかった渦電流が一次三角柱辺要素を用いれば正
しく計算できることを確認する。
図3.8に解析モデルを示す。なお，tはコアの厚みである。モデルの対称性より，解析領域は
モデル全体の1/8とした。図3.9に解析に用いた三次元分割図を示す。一次三角柱辺要素と一次
四面体辺要素の三次元分割図は，同じ二次元メッシュから積み上げて作成した。どちらの要素
を用いても，二次コアに非常に扁平な要素ができている。図3.10に本非接触充電コイルの共振
回路を示す。負荷は供給電力に相当する10の負荷抵抗で模擬する。表3.6に解析条件を示す。
図 3.11に 一 次 三 角 柱 辺 要 素 と 一 次 四 面 体 辺 要 素 を 用 い て 計 算 し た 渦 電 流 密 度 ベ ク ト
ル 分 布を 示 す。 二次 コ アに 非 常に 扁 平な 要素 が 含ま れ てい る ため ，一 次 四面 体 辺要 素
を 用 いて 計 算し た渦 電 流密 度 ベク ト ル分 布で は ，渦 電 流が 二 次コ アの 面 を貫 く よう に
流 れ てお り ，渦 電流 の 大き さ だけ で なく 方向 も 正し く 計算 で きて いな い こと が 確認 で
き る 。一 方 ，一 次三 角 柱辺 要 素を 用 いて 計算 す ると ， 二次 コ ア中 をそ の 面に 沿 って 渦
電 流 が 流 れ ， 渦 電 流 が 正 し く 計 算 で き て い る こ と が わ か る 。 図 3.12に 一 次 三 角 柱 辺 要
素 と 一 次 四 面 体 辺 要 素 で 計 算 し た y=0mm断 面 の 空 気 中 の 磁 束 密 度 ベ ク ト ル 分 布 を 示
す 。 これ ら の図 を比 較 する と ，二 次 コア より 上 部の 空 気中 の 磁束 密度 が 大き く 異な っ
て い るこ と がわ かる 。 これ は ，二 次 コア 中の 渦 電流 の 影響 だ と思 われ る 。一 次 四面 体
辺 要 素で は 正し く計 算 でき な かっ た 渦電 流の 流 れが 一 次三 角 柱辺 要素 を 用い れ ば正 し
く 計 算で き るこ とが 確 認で き たた め ，以 降は 一 次三 角 柱辺 要 素を 用い て 検討 す る。 図
3.13に 電 流 波 形 を 示 す 。 一 次 と 二 次 の コ イ ル の 電 流 波 形 の 計 算 値 は ， 実 測 値 と よ く 一
致 し てい る 。
- 31 -
z
y
x
(mm)
secondary core
(amorphous)
9.5
15
22.5
primary core
(ferrite)
15
secondary coil
primary coil
2.5
2
18
(a)
whole view
secondary coil
z
4.2
secondary core (thickness 18  m)
y
x
primary coil
primary core (thickness 100  m)
(b) side view
Fig. 3.8 Separate-type transformer (1/8 region).
(mm)
z
y
x
enlarged area
primary core secondary core
secondary coil
secondary core
secondary
coil
primary coil
(i) whole view
(ii) enlarged view
(a) prismatic edge elements
enlarged area
(i) whole view
(ii) enlarged view
(b) tetrahedral edge elements
Fig. 3.9 3-D finite element meshes
- 32 -
Fig. 3.10
Table 3.6
Primary core
(ferrite)
Resonant circuit.
Analysis condition.
Relative magnetic
permeability
Relative magnetic
permeability
Conductivity (S/m)
Voltage (Vrms)
Frequency (kHz)
Number of turns (turns)
Number of turns (turns)
Secondary core
(amorphous)
Primary coil
Secondary coil
load
10 
0.039  F
primary coil
0.147  F
0.8 
secondary coil
0.33 
2,200
15,000
833,000
5.28
120
24
20
secondary core
7
2
1.2×10 (A/m )
0
primary coil
primary core
secondary coil
(a) prismatic edge elements
z
y
x
(b) tetrahedral edge elements (vector size is 1/2 of Fig. 3.11 (a) )
Fig. 3.11
Distributions of eddy current density vectors.
- 33 -
secondary core
secondary coil
0.03 (T)
0
primary core
primary coil
(a) prismatic edge elements
z
y
x
(b) tetrahedral edge elements
Distributions of flux density vectors in air (x-z section).
Fig. 3.12
measured
calculated by prismatic edge elements
current (A)
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5 0
-1.0
90
180
270
360
electrical angle (deg.)
-1.5
(a) primary coil
measured
calculated by prismatic edge elements
current (A)
1.0
0.5
0.0
-0.5
0
90
180
270
360
electrical angle (deg.)
-1.0
(b) secondary coil
Fig. 3.13 Current waveforms.
Table 3.7
Input (W)
Output (W)
Eddy current loss, copper loss, and efficiency.
Eddy current loss
Electrical loss (W)
Copper loss
Efficiency (%)
- 34 -
Secondary core
Primary coil
Secondary coil
3.658
3.041
0.107
0.241
0.268
83.12
３ ． ３． ２
二 次コ ア の分 割 が二 次 コア 中の 渦 電流 損 に及 ぼ す影 響
本 項 では ， 二次 コア 中 の渦 電 流損 を 減少 させ る べく 二 次コ ア を分 割し ， その 影 響を
明 ら かに す る。
図 3.14に 二 次 コ ア の 分 割 を 示 す 。 第 3.3.1項 の 解 析 モ デ ル を 基 本 モ デ ル （ 図 3.14(i)）
と し ， 二 次 コ ア を 上 下 に 分 割 し た も の （ 図 3.14(ii)） を 2分 割 モ デ ル ， さ ら に 左 右 に も
分 割 した も の（図 3.14(iii)）を 4分 割モ デ ル，さ らに 斜 めに も 分割 した も の（ 図 3.14(iv)）
を 8分 割 モ デ ル と す る 。 な お ， 二 次 コ ア の 分 割 は 絶 縁 面 の 電 気 ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル 
の 境 界条 件 を自 然境 界 とす る こと で 考慮 した 。その 他 の解 析 条件 は第 3.3.1項 と 同じ で
ある。
図 3.15に 二 次 コ ア の 渦 電 流 密 度 ベ ク ト ル 分 布 と 渦 電 流 損 分 布 を 示 す 。 二 次 コ ア の 分
割 に よっ て 二次 コア 中 の渦 電 流の 分 布が 変わ り ，分 割 数が 多 くな るほ ど 渦電 流 損が 減
少 し てい る 。ま た ，渦 電流 損 は基 本 モデ ルで は 二次 コ アの 側 面付 近に ，2分 割 ，4分 割 ，
8分 割 モデ ルで は 二次 コア の 側面 付 近と 絶縁 面 付近 に 渦電 流 損が 集中 し てい る 。
primary core
primary coil
secondary core
(i) no-division model
(ii) 2-division model
(iii) 4-division model
(a) core division patterns
(iv) 8-division model
y
z
x
primary core
insulation surface
secondary core
primary coil
(i) no-division model
Fig. 3.14
(iv) 8-division model
(ii) 2-division model
(iii) 4-division model
(b) analyzed model
Separate-type transformer with divided secondary core.
- 35 -
4.0×10 6 (A/m 2 )
primary coil
primary core secondary core
1.0×10 7 (W/m 3 )
0
0
analyzed region
(i) no-division model
(i) no -division model
(ii) 2-division model
(ii) 2 -division model
y
z
x
(iii) 4-division model
(iii) 4 -division model
(iv) 8-division model
(iv) 8 -division model
(a) eddy current density vectors
(b) eddy current loss
Fig. 3.15 Distributions of eddy current density vectors and eddy current loss.
- 36 -
図 3.16に 損 失 を ， 表 3.8に そ の 値 を 示 す 。 二 次 コ ア の 渦 電 流 損 は ， 二 次 コ ア を 2分 割
す る こと で 基本 モデ ル の 43%に 減 少 し ，二 次コ アを 4分 割す るこ と で基 本モ デ ルの 34%
に 減 少し ，8分 割す る こと で 基本 モ デル の 22%に 減 少 して い る。また ，二次 コ アの 分 割
は 一 次銅 損 ，二 次銅 損 にほ と んど 影 響し ない こ とが わ かる 。
表 3.9に効 率 を示 す。なお ，効率 の計 算 に用 いる入 力 は一 次 銅損 ，二 次銅損 ，渦電 流
損 ， 出力 の 和と して 求 め， 出 力は 負 荷抵 抗に 流 れる 電 流か ら 求め た。 基 本モ デ ルで は
効 率 が 83.12%で あっ た のが ，二 次コ アを 2分割 する こ とで 効 率が 84.68%に ，4分 割す る
こ と で効 率 が 84.98%に ，8分 割 する こと で 85.22%に 向 上す る こと がわ か った 。
表 3.10に解 析諸 元 を示 す。
0.7
eddy current loss (secondary core)
copper loss (secondary coil)
copper loss (primary coil)
0.6
loss (W)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
no-division
1
model
Fig. 3.16
2-division
2
model
4-division
8-division
3
4
model
model
Eddy current loss and copper loss.
Table 3.8 Eddy current loss and copper
Number ofcore divisions
No-division
Eddy current loss (W)
Secondary core
0.107
Primary coil
0.242
Copper loss (W)
Secondary coil
0.269
Total electrical loss (W)
0.618
Table 3.9
Number of core divisions
Input power (W)
Output power (W)
Efficiency (%)
Efficiency.
No-division
3.658
3.041
83.12
loss.
2
0.047
0.234
0.268
0.549
2
3.586
3.037
84.68
4
0.034
0.236
0.271
0.542
4
3.611
3.068
84.98
8
0.024
0.237
0.272
0.532
8
3.605
3.072
85.22
Table 3.10 Discretization data and CPU time.
Number of core divisions
No-division
2
4
8
Number of elements
623,247
1,246,494
623,247
Number of nodes
324,408
639,492
324,408
Number of Edges
1,275,626
2,532,799
1,275,626
Average number of ICCG iterations
455
675
554
628
Number of time steps
900
CPU time (hours)
21.5
66.1
24.3
27.9
Computer used: Intel Corei7 (3.4GHz) PC
- 37 -
３．４
結言
本 章で は，一 次三 角柱辺 要 素と 一 次四 面体 辺 要素 を 用い て PWMイ ンバー タ で駆 動 さ
れ る IPMモ ー タ お よ び 非 接 触 充 電 コ イ ル の 電 磁 界 解 析 を 通 し て ， 計 算 精 度 ， 計 算 速 度
の 観 点か ら 一次 三角 柱 辺要 素 の有 用 性を 明ら か にし た 。 以 下 ，本 章で 得 られ た 成果 を
要 約 する 。
(1) IPMモ ータ の コギ ング トル ク 解析 時 では ，一次 三角 柱 辺要 素 は，一 次四 面体 辺 要素
と 比 べ ， 非 零 要 素 数 が 約 4/5， ICCGの 反 復 回 数 が 約 1/3に な っ た た め ， 一 次 三 角 柱
辺 要 素で は 一次 四面 体 辺要 素 とほ ぼ 同精 度で 約 3.5倍 速 く計 算で き た。
(2) IPMモ ー タ の PWM電 圧 駆 動 時 で は ， 一 次 三 角 柱 辺 要 素 は ， 一 次 四 面 体 辺 要 素 と 比
べ ， 非 零 要 素 数 が 約 4/5， ICCGの 反 復 回 数 が 約 1/2な っ た た め ， 一 次 三 角 柱 辺 要 素
で は 一次 四 面体 辺要 素 とほ ぼ 同精 度 で 約 2倍速 く計 算 でき た 。
(3) 非 接 触 充 電 コ イ ル の 解 析 で は ， 部 品 に 薄 い 薄 膜 を 含 む た め ， 一 次 四 面 体 辺 要 素 で
は扁平な要素ができ渦電流が正しく計算できなかったが一次三角柱辺要素を用い
れば正しく計算できることが確認できた。また，一次三角柱辺要素を用いて解析
したコイルの電流値が，実測値とほぼ一致し，精度よく計算できていることが定
量 的 に明 ら かに でき た 。
(4) 非 接 触 順 電 コ イ ル の コ ア 分 割 す る 場 合 ， コ ア を 8分 割 し た 場 合 が 最 も 効 率 が よ く ，
効 率 は基 本 モデ ルと 比 べ 2.1%上 昇 す るこ とが わ かっ た 。
- 38 -
第４章
簡 易 TP-EEC法を 用い た 三次 元 電磁 界 解析 の過 渡 収束 改 善手 法
４．１
緒言
渦 電 流や 電 圧源 を考 慮 した 電 気機 器 のス テッ プ バイ ス テッ プ 法に よる 定 常解 析 は，
時 間 微分 項 を含 むた め ，ス テ ップ 計 算に おい て 数値 解 析的 な 過渡 現象 が 現れ る 。そ の
た め ，定 常 解を 求め る ため に 数周 期 分の 計算 を 必要 と し， 計 算時 間が 膨 大に な るこ と
が 多 い。この 問 題に 対する 有 効な 手 法の 1つと して ，磁界 の半 周 期性（ 一周 期 の半 分 で
符 号 が反 転 する ）を 利用し て 数値 解 析的 な過 渡 を取 り 除く 簡 易 TP-EEC法 が 提 案さ れ て
い る 。簡 易TP-EEC法 は 静 止 器な ど の機 械的 な 動作 が ない モ デル に対 し て適 用 され ，そ
の 有 用性 が 示さ れて き た。
回 転 機で は，回 転子 側の磁 界 の周 期 性が 固定 子 側と 異 なる た め，簡易 TP-EEC法 を そ
の ま ま回 転 機解 析に 適 用す る こと は 難し い。 そ こで ， 本研 究 では ，回 転 機解 析 のた め
の 簡 易TP-EEC法 の 適 用法 を 提案 す る。
ま た ，産 業応 用 の分 野 では ，交流 分に 直 流分 が 重畳 し てい る 磁界 を用 い た電 気 機器
も あ る。これ ら に対 し て，磁 界の 半周 期 性を 利 用し た 従来 の 簡易 TP-EEC法 は その ま ま
で は 適用 で きな い 。そ こで ，本 研究 では 簡 易 TP-EEC法 を 拡 張 し ，直 流分 を含 む 電磁 界
の 定 常解 析 の過 渡を 抑 える こ との で きる 簡易 TP-EEC-DC法 を 提 案 する 。
４．２
TP-EEC法 (6)
後 退 差 分 近 似 に よ っ て 離 散 化 さ れ た 時 間 ス テ ッ プ iに お け る A  法 の 電 磁 界 の 基 礎
方 程 式を 未 知数 x i を用 いて
S i xi  C
( xi  xi 1 )
 Fi
t
(4.1)
と す る。 こ こで ， 
 i
 L
Si  
O

L 
i
v j ,k
M
t , C    L
t
N
 M

t 
   i rot N j･rot N k dv,
V
M  j ,k  V
e
 N j･grad N k dv,
O

O 
L  j ,k  V  N j･ N k dv
e
N  j ,k  V
e
J 
A 
xi   i , Fi   i 
 i 
O 
J i| j  Vc N j･ J 0i dv
 grad N j･grad N k dv
(4.2)
で あ り，A i は 磁 気 ベク トル ポ テン シ ャル ， i は 電気 ス カラ ポ テン シャ ル，F i は ソ ー ス 項 ，
J i は強 制電 流 項 ，tは 時 間 刻 み 幅 ， N j は 辺 要 素 補 間関 数 ， N j は節 点 要 素 補完 関 数，  i は
i
磁 気 抵 抗 率 ，  は 導 電 率 ， J 0 は強 制 電 流 密 度 ，Vは 全 領 域 ， V c は 巻 線 領 域 ， V e は 渦 電 流
が 流 れる 導 体の 領域 で ある。
- 39 -
交 流 定 常 磁 界 を 解 く 場 合 に は ， 定 常 解 に お け る Ai ， Fi に 以 下 に 示 す 半 周 期 性 が 成 り
立つ。
Ai   Ain , Fi  Fin
(at steady state)
(4.3)
た だし ， nは 半 周期 の時 間 ステ ッ プ数 であ る 。
( steady-state)
時 間 ス テ ッ プ iに お け る 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の 過 渡 解 A i と 定 常 解 Ai
の
誤 差 ベク ト ル e i は次 式で表 さ れる 。
ei  Ai(steady-state)  Ai
(4.4)
TP-EEC法 で は ， 誤差ベ ク トル e i を 近 似す る補正 ベ クト ル pを 次 式か ら求 め る。
n
( S j  2
j 1
C
C
) p   ( Ai  Ain )
t
t
(4.5)
(4.5)式 の pを ICCG法 な ど の 行 列 解 法 に よ り 求 め ， 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル の 過 渡
~
解 A i に pを 加 える こ とで， 定 常解 に 近い 磁気 ベ クト ル ポテ ン シャ ル Ai が 得 られ る 。
~
Ai  Ai  p
(4.6)
~
(4.6)式 で 得 た Ai を 次 の ス テ ッ プ （ i+1ス テ ッ プ 目 ） の 解 析 で ， iス テ ッ プ 目 の 磁 気 ベ
ク ト ルポ テ ンシ ャル と して 用 いる こ とで ，過 渡 への 収 束が 改 善さ れる 。
こ の 補正 は 半周 期毎 に 行え ば よい 。 また ，十 分 過渡 が 取り 除 かれ るま で 半周 期 毎に
補 正 を複 数 回行 うこ と で， さ らに 過 渡へ の収 束 が加 速 する こ とが でき る 。
４．３
簡 易TP-EEC法 (6)
４ ． ３． １
簡 易 TP-EEC法 の 概要
簡 易TP-EEC法 で は (4.5)式 の 補正 ベ クト ル pを 次式 で 近似 す る。
p   ( Ai  Ain )
(4.7)
こ のと き ， (4.5)式の 二次 形 式を 最 小化 する よ うな  は 以 下 の 式 で 求め られ る 。 
n

1
,
2
t ( Ai  Ai n )T ( Si )( Ai  Ai n )
i 1
( Ai  Ai n )T C ( Ai  Ai n )
(4.8)
特 に ， 微 分 項 の 係 数 で あ る Cが 支 配 的 な 場 合 は を 無 視 す る こ と が で き ， pは 次 式 で
計 算 でき る 。
1
p   ( Ai  Ai n )
2
(4.9)
(4.9)式に より 求 めた pを 用 いて (4.6)式 に よっ て補 正 を行 う こと で ，定 常解 に 近い 磁 気
ベクトルポテンシャル
~
Ai が 得 ら れ る 。 こ の 補 正 も ， TP-EEC法 同 様 ， 半 周 期 後 に 再 度
補 正 を行 う こと がで き る。
簡 易 TP-EEC法 で は ， 補 正 ベ ク ト ル を (4.9)式 で 計 算 で き る た め ， TP-EEC法 に 比 べ 補
正 ベ クト ル の計 算コ ス トが 少 ない と いう 利点 が ある 。
- 40 -
４ ． ３． ２
簡 易 TP-EEC法 の 補正 効 果 (24)
本 節で は，簡 易 TP-EEC法 の 補 正 効果 を 理論 的に 検 証す る ため ，一 次 元微 分 方程 式 に
お い て簡 易 TP-EEC法 を適 用 し， そ の補 正効 果 を明 ら かに す る。
(4.1)式に 対応 す る半 周期 性 を満 た した 一次 元 の微 分 方程 式 は一 次元 の 未知 数 x(t)，ソ
ー ス 項 F(t)と時 間 tを用 いて 次 式で 表 され る。
Sx(t )  C
x(t )
 F (t )
t
(4.10)
こ こ で， Sは静 磁 界の 係数 ， Cは 時 間微 分 項の 係数 で ある 。
半 周期 性 をも つ F(t)は周 期 Tを 用 いて 次式 で 表せ る 。

F (t )   an sin(
n 1
2
(2n  1)t   n )
T
(4.11)
こ こ で ， a n は F(t)に 含 まれ る n次 高 調 波 の大 き さ， φ n は F(t)に 含 ま れ る n次高 調 波 の 位 相
差 で ある 。
(4.10)式 を 解く と， x(t)は 次 式で 表 され る。
x(t )  a0 e
S
 t
C

  an* sin(
n 1
2
(2n  1)t   n* )
T
(4.12)
こ こ で， an は x(t)に 含 まれる n次 高調 波の 大 きさ， n は x(t)に 含 まれ る n次 高調波 の 位 相
差 で ある 。
*
*
x(t)の 過 渡解 と定 常 解と の 誤差  (t)は時 定 数  を 用 い て次 式 で表 され る 。
 (t )  a0 e
1
 t

, 
C
S
(4.13)
(4.13)式 か ら 時定 数  が 大 き い ほ ど ， 定 常解 に 至る ま で に 多 く の 時間 を 要す る こ と が
わ か る。 
式 の 誤差 を補 正す る 簡易 TP-EEC法 の 補正 ベ クト ル は次 式で 表 され る 。
1
x(t )  x(t  T / 2)
2
1
1   t  *
2
  a0 e   an sin( (2n  1)t  n* )
2 
T
n 1
p (t )  
 a0 e
1
 ( t T / 2 )


  an* sin(
n 1
1
(4.14)

2
(2n  1)t  n*  (2n  1) )
T

1
 t
 ( t T / 2 )
1
  a0 (e   e 
)
2
簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 後の 誤 差 ˆ(t ) は 次式 で 表さ れ る。
- 41 -
ˆ (t )  a0 e
1
 t

 p(t )
1
(4.15)
1
 t
 ( t T / 2 )
1
 a0 ( e   e 
)
2
(4.15)式 か ら 時 定 数  が 周 期 Tに 対 し て 長 い と 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正 に よ っ て 誤 差
が 減 少す る こと がわ か る。一 方 ，時 定数  が 周 期 Tに 対 して 短 いと きに 簡 易 TP-EEC法 に
よ る 補正 を 行う と， 誤 差が 増 えて し まう こと が わか る 。
４．４
回 転機 解析 の ため の 簡易 TP-EEC法の 拡 張 (24)
簡 易 TP-EEC法 で は 半 周 期 前 の ス テ ッ プ の 磁 気 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 用 い る た め ，
簡 易 TP-EEC法 を 回 転 機 解 析 に 適 用 す る た め に は 固 定 子 鉄 心 や コ イ ル と 回 転 子 鉄 心 や
磁 石 など ， 空気 領域 を 除く ， メッ シ ュが 各ス テ ップ で 同じ で ある 必要 が ある 。 その た
め ， 固定 子 側と 回転 子 側の メ ッシ ュ が変 わら ず に回 転 子を 回 転さ せる こ とが で きる 第
2.5節 で述 べ た方 法を 用い る こと で ，回 転機 解 析に 簡 易 TP-EEC法 が 適 用で き る。
さ らに ， 回転 機の 種 類に よ り， 固 定子 側と 回 転子 側 の磁 気 ベク トル ポ テン シ ャル の
周 期 性が 異 なる ため ，ここ で は，同期 電 動機 お よび 誘 導電 動 機へ の簡 易 TP-EEC法 の 適
用 法 をそ れ ぞれ 述べ る 。
４ ． ４． １
同 期電 動 機の 場 合
同 期電 動 機の 固定 子 側の 磁 気ベ ク トル ポテ ン シャ ル は電 源 周波 数と と もに 周 期的 に
変 化 して い るた め，電源に 半 周期 性 のあ る電 圧 を印 加 して い る場 合は 簡 易TP-EEC法 に
よ る 補正 が 適用 でき る 。し か し， 回 転子 側で は 永久 磁 石に よ って 磁気 ベ クト ル ポテ ン
シャルに直流分が含まれるため，磁気ベクトルポテンシャルに半周期性がなく簡易
TP-EEC法 に よ る補 正を適 用 する こ とは でき な い。
ゆ えに ， 同期 電動 機 では ， 固定 子 側の みに 電 源周 波 数の 半 周期 毎に 補 正を 行 うが ，
回 転 子側 に は簡 易 TP-EEC法 に よ る 補正 を 行わ ない こ とと す る。
４ ． ４． ２
誘 導電 動 機 の 場 合
誘 導電 動 機の 固定 子 側の 磁 気ベ ク トル ポテ ン シャ ル は， 同 期回 転機 と 同様 に 電源 周
波 数 とと も に周 期的 に 変化 し てい る 。ま た， 誘 導電 動 機は 同 期速 度よ り 遅れ て 回転 す
る た め ，回 転 子側 の磁 気ベ ク トル ポ テン シャ ル はす べ り周 波 数 （電 源周 波数 ×す べ り）
と と もに 周 期的 に変 化 する 。
ゆ えに ，誘 導 電動 機では 固 定子 側 には 電源 周 波数 の 半周 期 毎に 簡易 TP-EEC法 に よ る
補 正 を行 い，回 転子 側には す べり 周 波数 の半 周 期毎 に 簡易 TP-EEC法 に よる 補 正を 行 う
こ と とす る 。
- 42 -
４．５
簡 易TP-EEC-DC法 (10)
４ ． ５． １
半 周期 性 の簡 易 TP-EEC-DC法
永 久磁 石 およ び渦 電 流を 考 慮し た 電磁 界解 析 のた め の A法 の基 礎 方程 式は ，(2.13)式
の 電 気 ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル  を 0と し ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Aを 用 い て 次 式 で 表 さ れ
る。
rot( rot A)  J 0  J e  0 rot M
J e  
(4.16)
A
t
(4.17)
こ こ で ，  は 磁 気 抵 抗 率 ， J0は 強 制 電 流 密 度 ， Jeは 渦 電 流 密 度 ， 0 は 真 空 の 磁 気 抵
抗 率 ， Mは永 久磁 石 の磁化 ，  は 導電 率 であ る。
半 周 期 性 を も つ Aに 強 制 電 流 や 永 久 磁 石 の 磁 化 な ど に よ っ て 直 流 分 が 重 畳 さ れ て い
て も ， (4.17)式 に 示 す よ う に Aの 時 間 微 分 で 表 さ れ る J e は 直 流 分 が 除 去 さ れ ， J e に は 次
式 に 示す 半 周期 性が 成 り立 つ こと に なる 。
J e (t )   J e (t  T/ 2)
(at steady state)
(4.18)
こ こ で， tは 時 間， Tは J e の 周 期で あ る。
そ こで ，J e に 対 して 簡易 TP-EEC法 を 適 用 するこ と がで き ると 考え ら れる 。この とき ，
~
定 常 解に 近 い渦 電流 密 度 J e は 次 式で 計 算さ れる 。
J (t )  J e (t  T/ 2)
~
Je  e
2
(4.19)
~
J e ，J 0 ，Mに よ って 生 成さ れ る磁 界 の基 礎方 程 式を 解 くこ と で ，定 常解 に近 い 磁気
~
ベ ク トル ポ テン シャ ル A が 得 ら れる 。
~
~
(4.20)
rot( rot A)  J 0  J e  0 rot M
以 降， 本 手法 を半 周 期性 の 簡易 TP-EEC-DC法 と 呼 ぶ 。
４ ． ５． ２
一 周 期性 の 簡易 TP-EEC-DC法
上 述し た 半周 期性 の 簡易 TP-EEC-DC法 は ，時 間周 期 的な 交 流磁 界に 直 流分 が 重畳 し
た 線 形磁 界 解析 に適 用 でき る 。
非 線 形 性 磁 界 解 析 で は ， Jeが 歪 み ， Jeに 奇 数 次 数 成 分 だ け で な く ， 偶 数 次 数 成 分 が
現 れ る 。J e に 奇数 次 数成分 だ けが 含 まれ る場 合 は図 4.1(a)に示 すよ う に J e の 半 周期 性 が
満 た され る が ，J e に 偶数次 数 成分 が 含ま れる と 図 4.1(b)に示 す よう に J e の半 周 期性 が 満
た さ れ ず ， 上 述 し た 渦 電 流 の 半 周 期 性 を 利 用 し た 簡 易 TP-EEC-DC法 は 適 用 で き な い 。
偶 数 次 数 成 分 の 磁 界 を 含 ん だ 電 磁 界 解 析 に 適 用 す る た め に ， 次 式 に 示 す Aの 一 周 期
性 を 利用 し た簡 易 TP-EEC法 も 提 案 され て いる (25) 。
- 43 -
m1
A
i j
0
 
t T
t
j 0

A( )d  0 (at steady state)
(4.21)
た だ し， mは 一 周期 の時間 ス テッ プ 数， tは 時間， Tは 周 期 であ る。
直 流 磁界 が 含ま れる 場 合で は，(4.21)式 が成 り立た ず，Aの 一 周期 性 を利用 し た従 来
の 簡 易TP-EEC法 は 適 用で き ない 。
そ こ で，一周 期 性を 利用し た 簡易TP-EEC法 を 直流 磁 界が 含 まれ る場 合 でも 適 用で き
る よ うに ， 渦電 流の 一 周期 性 を利 用 した 簡易TP-EEC-DC法 を 提 案 する 。
定 常 状態 に おい て J e は 次式 に 示す よ うに 一周 期 性が 満 たさ れ る。
m1
J
i j
e
0
 
t T
t
j 0
J e ( )d  0

(at steady state)
(4.22)
J e の 一 周 期 性 を 利 用 す る こ と で 従 来 の Aの 一 周 期 性 を 利 用 し た 簡 易 TP-EEC法 の よ う
に J e を 次式 で 補正 する こと が でき る 。
~
i
J e  J e  p,
p
1 m1 i  j .................
Je
m j 0
(4.23)
~
J e を (4.20)式 の 磁 界 の 基礎 方 程式 を 磁 気 抵 抗 率  の非 線形 性 を 考
~
慮 し て解 く こと で，非線形 解 析に お いて も，定常解 に 近い ベ クト ルポ テ ンシ ャ ル A が
(4.23)式 で 計 算し た
得 ら れる 。
以 降 ，本 手 法を 一周 期 性の 簡 易 TP-EEC-DC法 と 呼 ぶ 。
J e (A/m 2 )
0
90
180
270
2
1
0
-1 0
-2
360
90
180
270
e l e c t r i c a l
electrical angle (deg.)
(i) fundamental and third(ii) synthesized waveform
order component
(a) waveform with half cycle periodicity of J e
fundamental
component
1
second-order
component
0
0
90
180
270
-1
360
2
1
0
-1 0
-2
J e (A/m 2 )
J e (A/m 2 )
0
-1
J e (A/m 2 )
third-order
component
fundamental
component
1
90
180
270
electrical angle (deg.)
e l e c t r i c a l
(i) fundamental and second(ii) synthesized waveform
order component
(b) waveform without half cycle periodicity of J e
Fig. 4.1
Several-order waveforms.
- 44 -
360
a n g l e
( d e g . )
360
a n g l e
( d e g . )
４．６
結言
本 章で は ，時 間ス テ ップ の ルー プ の高 速化 の ため に ，回 転 機や 直流 分 が含 ん だ電 磁
界 解 析に も 適用 出来 る 過渡 収 束改 善 法を 提案 し ，そ の 手法 に つい て述 べ た。 以 下， 本
章 で 得ら れ た成 果を 要 約す る 。
(4) 簡 易TP-EEC法 で は ， 解析 対 象 の時 定 数  が 電 源周 期 Tに 対 して 長 いと 補正 に よ って
誤 差 が 減少 す る。 一方 ，時 定 数  が 周 期 Tに 対 し て短 い と きに 簡 易 TP-EEC法 に よ る
補 正 を行 う と， 誤差 が 増え て しま う 。
(5) 同 期 電 動機 では ， 固定 子側 の み に電 源周 波 数の 半周 期 毎 に簡 易 TP-EEC法 に よ る補
正 を 行う が ，回 転子 側 には 簡 易 TP-EEC法 に よ る補 正 を行 わ ない 。
(6) 誘 導 電 動機 では 固 定子 側に は 電 源周 波数 の 半周 期毎 に 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正を
行 い ，回 転 子側 には す べり 周 波数 の 半周 期毎 に 簡易 TP-EEC法 に よ る 補正を 行 う。
(7) 磁 界 に 直 流 分 を 含 む 電 気 機 器 の 解 析 に は ， 簡 易 TP-EEC-DC法 を 用 い る こ と で ， 過
渡の収束性改善できる。磁界に奇数次数成分のみが含まれる線形磁界解析の場合
は 半 周 期 性 の 簡 易 TP-EEC-DC法 を ， 磁 界 に 偶 数 次 数 成 分 が 含 ま れ る 場 合 や 非 線 形
磁 界 解 析 の 場 合 に は 一 周 期 性 の 簡 易 TP-EEC-DC法 を 用 い る こ と で ， 過 渡 の 収 束 性
を 改 善で き る。
- 45 -
第５章
簡 易TP-EEC法 を用 い た三 次 元 電 磁界 解 析 へ の 適用 例
５．１
緒言
本 章 で は ， 第 4.4節 で 提 案 し た 回 転 機 解 析 の た め の 簡 易 TP-EEC法 の 適 用 法 を 埋 込 磁
石 構 造形 同 期電 動機 と 誘導 電 動機 に 適用 し， 提 案手 法 の有 用 性を 明ら か にす る 。さ ら
に ，第 4.5節 で提 案し た 簡易 TP-EEC-DC法 を 渦 電 流場 数 値計 算 技術 調査 専 門委 員 会で 提
案 さ れて い る三 次元 渦 電流 解 析検 証 用標 準ベ ン チマ ー クモ デ ルの 線形 磁 界解 析 およ び
シ ー ル ド 板 付 き C形 コ ア の 非 線 形 磁 界 解 析 に 適 用 し ， 簡 易 TP-EEC-DC法 の 有 用 性 を 明
ら か にす る 。
５．２
回 転機 への 簡 易 TP-EEC法 の 適用 (24)
５ ． ２． １
埋 込構 造 永久 磁 石同 期 電動 機へ の 適用
図 5.1に 埋 込磁 石形 同期 電 動機 の 解析 モデ ル を示 す 。永久 磁石 中 の渦 電流 損 低減 の た
め ，永 久 磁石 が軸 方 向に 8分 割 され てい る。永久磁 石 の導 電 率は 694,444S/mと す る 。解
析 領 域は モ デル の周 期 性な ら びに 対 称性 によ り ，周 方 向に 1/3領 域，軸方向 に 1/16（永
久 磁 石 1枚 の 1/2領 域 に 相 当 ） 領 域 の 全 領 域 の 1/48領 域 と す る 。 図 5.2に 三次 元 分 割 図 を
示 す。回 転子 鉄心 と 固定子 鉄 心に は 図 5.3に示 す B-H曲 線（ 50H470）を用 いて 非 線形 性
を 考 慮 す る 。 コ イ ル の 結 線 方 法 は Y結 線 で あ り ， コ イ ル に は 三 相 正 弦 波 電 圧 を 印 加 し
て い る。 表 5.1に 解析 条件 を 示す 。
簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 は，固 定子 側 のみ に電 源 周波 数 の半 周期 で ある 電 気角 180°
ご と に行 う 。
coil
z
y
stator core
x
permanent magnet
rotor core
図 4.1
Fig. 5.1
解 析 モデ ル
IPM motor.
- 46 -
z
y
x
Fig. 5.2
3-D finite element mesh.
2.0
B (T)
1.5
50H470
1.0
0.5
0.0
0
5,000
10,000
Fig. 5.3
Table 5.1
15,000 20,000
H (A/m)
25,000
B-H curve.
Analysis conditions.
Rotation speed (rpm)
Frequency of power supply (Hz)
Frequency of coil current (Hz)
Number of coil turn
Time interval of electrical angle (deg.)
- 47 -
935
46.75
35
7
3
30,000
図 5.4に 電 流波 形を 示す 。ただ し，値は 定常 状態 の 電流 実 効値 で正 規 化し て ある 。簡
易 TP-EEC法 に よ る 補正を 行 うと ，１回 目の 補 正（ 電 気角 183°）を行 った直 後 に誤 差 が
取 り 除か れ ，電 流値 が 定常 解 に近 づ いて いる 。
図 5.5に ト ル ク 波 形 を 示 す 。 た だ し ， 値 は 定 常 状 態 の 平 均 ト ル ク で 正 規 化 し て あ る 。
簡 易TP-EEC法 に よ る補正 を 行 う と ，１ 回目 の 補正（ 電気 角 183°）を 行った 直 後に 誤 差
が 取 り除 か れ ，トル クも定 常 解に 近 づい てい る。さ ら に，２回 目 の補 正（電 気 角 363°）
で 残 った 誤 差が 取り 除 かれ ， トル ク はほ ぼ定 常 解に 達 して い る 。
図 5.6に ト ル ク 波 形 に お け る そ の 瞬 時 値 と 定 常 解 と の 誤 差 を 示 す 。 簡 易 TP-EEC法 に
よ る 補正 を 行う たび に 誤差 が 減少 し てい るこ と がわ か る。
表 5.2に 解 析諸 元を 示す 。表 中 の定 常解 に 達する ま でに 必 要な ステ ッ プ数 は，ト ルク
波 形 に お け る 瞬 時 値 と 定 常 解 と の 誤 差 が 1%未 満 と な る ま で に 要 し た ス テ ッ プ 数 と し
た 。簡易TP-EEC法 に よる 補 正を 行 うこ とで ，定常 解 に達 す るま でに 必 要な ス テッ プ 数
が ， 補 正 を 行 っ て い な い 場 合 の 約 1/11に 減 少 し ， 計 算 時 間 が 短 縮 で き る 。 ま た ， 簡 易
TP-EEC法 を 用 い た場 合の 必 要 メモ リ は簡 易 TP-EEC用 い な い 場 合 の約 117%と な っ て い
る。
current value (p.u.)
4.0
without simplified TP-EEC method
simplified TP-EEC method
3.0
2.0
1.0
0.0
-1.0
0
360
720 1,080 1,440 1,800 2,160 2,520 2,880
-2.0
electrical angle (deg.)
Fig. 5.4
Current waveform.
3.0
without simplified TP-EEC method
simplified TP-EEC method
torque (p.u.)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
360
720
1,080 1,440 1,800 2,160
electrical angle (deg.)
Fig. 5.5
Torque waveforms.
- 48 -
2,520
2,880
without simplified TP-EEC method
simplified TP-EEC method
1.E+01
10
error of torque (p.u.)
1
1.E+00
-1
10
1.E-01
0
360
720
1,080
1,440
-2
10
1.E-02
-3
10
1.E-03
-4
10
1.E-04
-5
10
1.E-05
-6
10
1.E-06
electrical angle (deg.)
Fig. 5.6
Table 5.2
Errors of torque.
Discretization data and CPU time.
Without simplified TP-EEC method
With simplified TP-EEC method
Number of elemets
134,064
Number of nodes
28,270
Number of edges
174,041
Number of unkowns
143,035
Memory (MB)
144
168
Required time steps
for steady states
1397
124
2903.4
259.1
CPU time (min.)
Computer used: Intel Core2 Duo (3.16GHz) PC
- 49 -
５ ． ２． ２
誘 導電 動 機へ の 適用
図 5.7に 誘 導 電 動 機 の 解 析 モ デ ル を 示 す 。 軸 方 向 に 1層 積 み 上 げ た 簡 易 モ デ ル で 提 案
手 法 の有 用 性を 検証 す る。 渦 電流 は 二次 導体 中 のみ に 流れ る もの とし た 。一 次 コイ ル
は 独 立し た 三相 回路 で 表現 さ れて お り，正 弦 波電圧 が 印加 さ れて いる 。図5.8に 三次 元
分 割 図を 示 す。表 5.3に解析 条 件を 示 す。誘 導 電動機 で はす べ りが 異な る と回 転 子側 の
磁 界 の周 期 が変 わり ，簡易 TP-EEC法 の 補 正 の効果 が 異な る と考 えら れ るた め ，す べり
1.0と 0.1の ２ 通り で解 析を 行 う。
簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 は ，固定 子側 に は電源 周 波数 の 半周 期（ 電気角 180°）毎 に，
回 転 子側 に はす べり 周 波数 の 半周 期（す べ り 1.0では 電 気角 180°，すべ り 0.1で は 電気 角
1800°） 毎に そ れぞ れ 簡易 TP-EEC法 に よ る 補正を 行 う 。
stator core
secondary conductor
shaft
y
x
z
primary coil
rotor core
Fig. 5.7
Analysis model.
y
z
x
Fig. 5.8
Table 5.3
3-D finite element mesh.
Analysis condition.
Frequency of coil current (Hz)
Conductivity of secondary conductor (S/m)
Slip
- 50 -
35
31,388,000
1.0, 0.1
図 5.9に 一 次電 流波 形を 示 す。ただ し，値は 定常 状 態の 一 次電 流の 実 効値 で それ ぞ れ
正 規 化し て ある 。固 定 子側 の みに 簡 易 TP-EEC法 に よ る補 正 を行 うと ，どの す べり に お
い て も定 常 解へ の収 束 が早 く なる 。ま た ，回 転子側 に も簡 易 TP-EEC法 によ る 補正 を 行
う と ， す べ り 1.0で は 定 常 解 へ の 収 束 が さ ら に 早 く な る こ と が わ か る 。 す べ り 0.1で は
図 5.9(b)に 示 すよ うに ，回 転 子側 に 補正 を行 っ た電 気 角 1,800°で 誤差 が増え て いる 。こ
れ は ，誘導 電動 機 の二 次電 流 の時 定 数が すべ り 0.1の 場 合の 回転 子 側の 磁界 の 周期 に 対
し て 小さ い から だと 考 えら れ る。
without simplified TP-EEC method
simplified TP-EEC method in stator
simplified TP-EEC method in rotor and stator
2
current (p.u.)
1
0
0
360
720
1,080
1,440
1,800
2,160
-1
electrical angle (deg.)
-2
(a) slip 1.0
8
without simplified TP-EEC method
simplified TP-EEC method in stator
simplified TP-EEC method in rotor and stator
current (p.u.)
6
4
2
0
-2
0
360
720
1,080
1,440
electrical angle (deg.)
-4
-6
(b) slip 0.1
Fig. 5.9
Primary current waveform.
- 51 -
1,800
2,160
図 5.10に ト ル ク 波 形 を 示 す 。 た だ し ， 値 は 定 常 状 態 の 平 均 ト ル ク の 値 で 正 規 化 し て
あ る。ト ルク 波形 を みても 一 次電 流 波形 と同 様 に，すべ り 1.0で は固 定 子側と 回 転子 側
に 簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 を行 う と最 も定 常 解へ の 収束 が 早く なる 。また ，す べり 0.1
で は 固 定 子 側 の み に 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正 を 行 う と 最 も 定 常 解 へ の 収 束 が 早 く な
る。
without simplified TP-EEC method
simplified TP-EEC method in stator
simplified TP-EEC method in rotor and stator
3.0
torque (p.u)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
360
720
1,080
1,440
electrical angle (deg.)
1,800
2,160
(a) slip 1.0
without simplified TP-EEC method
simplified TP-EEC method in stator
simplified TP-EEC method in rotor and stator
3
torque (p.u.)
2
1
0
-1 0
360
720
1,080
1,440
-2
-3
-4
-5
electrical angle (deg.)
(b) slip 0.1
Fig. 5.10
Torque waveform.
- 52 -
1,800
2,160
表 5.4に 定 常解 に達 する ま でに 必 要な ステ ッ プ数 を 示す 。定常 解 に達 する ま でに 必 要
な ス テッ プ 数は ，トル ク波 形 にお け る瞬 時値 と その 定 常解 と の誤 差が 1%未 満 とな る ま
で に 要 し た ス テ ッ プ 数 と し た 。 す べ り 1.0で は ， 固 定 子 側 と 回 転 子 側 に 簡 易 TP-EEC法
に よ る補 正 を行 うと 最 も早 く 定常 解 に到 達し ， その 定 常解 に 達す るま で に必 要 なス テ
ッ プ 数は 補 正を 行っ て いな い もの の 約 1/12に 減少す る こと が わか る。また，す べり 0.1
で は ， 固 定 子 側 の み に 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正 を 行 う と 最 も 早 く 定 常 解 に 到 達 し た 。
定 常 解に 達 する まで に 必要 な ステ ッ プ数 は，補正を 行 って い ない 場合 の 約 1/2に 減 少す
る こ とが わ かる 。
表 5.5に 解 析 諸 元 を 示 す 。 簡 易 TP-EEC法 に よ り 補 正 を 行 う こ と で ， 定 常 解 に 達 す る
ま で に必 要 なス テッ プ 数が 減 少し ， 計算 時間 が 短縮 で きる 。
Table 5.4
Slip
1.0
0.1
Without simplified
TP-EEC method
1721
373
Required time steps for steady state.
With simplified TP-EEC method
in stator
169
208
Table 5.5
Number of elements
Memory (MB)
CPU time (min.)
With simplified TP-EEC
method in rotor and stator
140
no convergence
Discretization data and CPU time (slip 1).
With simplified
With simplified
Without simplified
TP-EEC method
TP-EEC method
TP-EEC method
in stator
in rotor and stator
62,100
72
80
80
246.1
23.8
20.0
computer used: Intel Core2 Duo (3.16GHz) PC
- 53 -
５．３
IEEJベ ンチ マ ーク モ デル へ の簡 易 TP-EEC-DC法 の適 用 (10)
線 形 磁 界 解 析 に お け る 半周 期 性 の 簡 易 TP-EEC-DC法 の 有 用 性 を 明 ら か に する た め に ，
三 次 元 渦 電流 解 析 検証 用 IEEJ標 準 ベ ンベ ン チ マーク モ デ ル の 線 形 磁 界解 析に 提 案 手 法
を 適 用す る 。
図 5.11に IEEJ標準 ベン チマ ー クモ デ ルを 示す ， アル ミ 板の 導 電率 は 31,250,000 S/m，
フ ェ ラ イ ト コ ア の 比 透 磁 率 は 3,000と し た 。 モ デ ル の 対 称 性 か ら 解 析 領 域 は 全 体 の 1/8
と し た。
線 形 磁界 解 析に おけ る 半周 期 性の 簡 易TP-EEC-DC法 の 明ら か にす るた め ，コ イ ルに
は ， 図 5.12に示 す よう な直 流 分が 重 畳し た交 流 電流 を 流し た 。
こ こ では ， 半周 期性 の 簡易 TP-EEC-DC法 に よ る 補正 は 表 5.6に 示す 電気 角で 3回 行う 。
図 5.13に定 常状 態 にお ける 要 素 A（ 図 5.11(c)参 照）中 の 渦電 流密 度 波形 の y軸 方 向成
分 を 示す 。 図よ り， 渦 電流 密 度は 半 周期 性が 満 たさ れ てい る こと がわ か る。
25
25
core
120
aluminum plate
100
x
ferrite core
x
30 15
60
150
ferrite
z
15 30
coil
25
aluminum plate
y
300
(a) plane view
coil
(b) front view
aluminum plate
coil
element A
z
y
ferrite core
x
(c) mesh for the analysis (1/8 of whole model )
Fig. 5.11
IEEJ standard benchmark model of three -dimensional eddy-current analysis.
- 54 -
1,200
current (AT)
1,100
DC component
:
1,000 AT
AC component
: 200 AT, 50 Hz
～
1,000
DC component of current
900
800
700
0
～
～
0
90
Fig.5.12
Table 5.6
180
270
electrical angle (deg.)
360
Input current waveform.
Electrical angles when simplified TP -EEC-DC method is used.
Method
simplified TP-EEC-DC method
with half cycle periodicity of J e
TP-EEC method
with ordinary cycle periodicity
Electrical angle (deg.)
189
369
549
369
729
1,089
eddy current density
(A/m 2 )
2×10 5
2.00E+05
1×10 5
1.00E+05
0
0.00E+00
-1×10 5
-1.00E+05
0
90
180
270
360
electrical angle (deg.)
5
-2.00E+05
-2×10
Fig. 5.13
Eddy current density waveform in element A at steady state (y -axis component).
- 55 -
図 5.14に ア ル ミ 板 中 の 瞬 時 渦 電 流 損 の 定 常 解 と の 誤 差 を 示 す 。 誤 差 は 渦 電 流 損 の 定
常 状 態に お ける 値と そ の瞬 時 値の 差 を意 味し て いる 。比較 のた め TP-EEC法 を 用 いた 結
果 も 同図 に 示す。半 周期性 の 簡易TP-EEC-DC法 を 用 い ると ，補 正後 に 一時的 に 誤差 が
増 え るが ，そ の 後，定常解 へ の 収 束 が大 幅に 改 善さ れ る 。半 周期 性の 簡 易TP-EEC-DC
法 と TP-EEC法 を 比 較 す る と ，補 正の 間 隔が 短 い半 周 期性 の 簡易 TP-EEC-DC法 を 用 い
る 方 が定 常 解に 早く 到 達す る 。
表 5.7に解 析 諸元 を示 す 。表 に 示す 定 常解 に達 す るま で の時 間 ステ ップ 数 と計 算 時間
は 瞬 時 渦 電 流 損 の 定 常 解 と の 誤 差 が 1%未 満 に な る ま で 時 間 ス テ ッ プ 計 算 を 繰 り 返 し
た と きの 値 であ る。半 周期 性 の 簡 易TP-EEC-DC法 を 使 った 場 合の 計算 時 間が 最 も短 く ，
そ の 計算 時 間は 簡易TP-EEC法 を 使 わ ない 場 合の約 1/3に なっ て いる 。
TP-EEC method
with ordinary cycle periodicity
without simplified TP-EEC method
eddy current loss (p.u.)
error of instantaneous
1
0
360
720
0.1
10
-1
1,080
1,440
electrical angle (deg.)
0.01
10 -2
0.001
10 -3
0.0001
10 -4
simplified TP-EEC-DC method with half cycle periodicity of J e
Fig. 5.14
Errors of instantaneous eddy current loss.
Table 5.7
Discretization data and CPU time.
Simplified TP-EEC-DC
method with half cycle
periodicity of Je
33,600
TP-EEC method
with ordinary cycle
periodicity
214
73
105
193
71
115
Without simplified
TP-EEC method
Number of elements
Time steps required
for steady states
CPU time (s)
Computer used: Intel Core2 Duo (2.66GHz) PC
- 56 -
５．４
シールド板付きC形コアへの簡易TP-EEC-DC法の適用(10)
図 5.15に示 すア ル ミ板 付き C形 コ ア の非 線 形磁 界解 析 では ，コ アの 磁気 的非 線 形性 に
よ り アル ミ 板中 の J e に 偶数 次 数成 分 が現 れる 。
こ こ で は ， C形 コ ア の 非 線 形 磁 界 解 析 を 通 し て ， 第 4.3.2項 で 述 べ た 一 周 期 性 の 簡 易
TP-EEC-DC法 の 非 線 形 磁界 解 析に 対 する 有用 性 を明 ら かに す る 。
図 5.16にコ アの BHカ ーブを 示 す 。ア ルミ 板 中の 導電 率 は 31,250,000 S/mで あ る 。モデ
ル の 対称 性 から 解析 領 域は 全 体の 1/4と した 。本 モデ ル はコ ア 間の ギャ ッ プが 非 常に 小
さ い た め ， コ ア の 磁 気 的 非 線 形 性 が 渦 電 流 に 大 き く 影 響 を 及 ぼ す 。 コ イ ル に は 図 5.17
に 示 す直 流 分が 重畳 し た交 流 電流 を 流し た。ここで は，半 周期 性の 簡 易 TP-EEC-DC法
に よ る補 正 は表 5.8に 示す 電 気角 で 5回 行 う。
図 5.18に 定 常 状 態 に お け る 要 素 A（ 図 5.15(b)参 照 ） 中 の 磁 束 密 度 波 形 の z軸 方 向 成 分
を 示 す。 図 から ，コ ア の磁 気 的非 線 形性 によ り 磁束 密 度波 形 が歪 んで い るこ と がわ か
る 。図 5.19に 定 常状 態にお け る要 素 B（ 図5.15 (b)参 照）中 の渦 電 流密 度 波形 の y軸 方 向
成 分 を示 す 。コ アの 磁 気的 非 線形 性 によ り渦 電 流密 度 波形 が 歪み ，渦 電 流密 度 波形 は
半 周 期性 を 満た して い ない 。
240
core
coil
element A
380
0
10
2
element B
aluminum plate
40
z
aluminum plate
x
(a) plane view
Fig. 5.15
(b) mesh for the analysis (1/4 of whole model)
C-shaped core with aluminum plate.
1.5
B (T)
y
(mm)
coil
0.010
1.0
0.005
0.5
magnetic permeability
0.0
0.000
0
100
200
Fig. 5.16
300
400
H (A/m)
500
B-H curve of core.
- 57 -
600
(H/m)
3
core
current (AT)
2,000
DC component
:
1,000 AT
AC component
:
1,000 AT, 1kHz
DC component of current
1,500
1,000
500
0
0
90
Fig. 5.17
Table 5.8
180
270
electrical angle (deg.)
360
Input current waveform.
Electrical angles when simplified TP-EEC-DC method is used.
Method
Simplified TP-EEC-DC method
with ordinary cycle periodicity of J e
Simplified TP-EEC-DC method
with half cycle periodicity of J e
Electrical angle (deg.)
369
729
1,089
189
369
549
1,449
1,809
729
909
Flux density (T)
flux density (T)
0.78
0.76
0.74
0.72
0.70
0.68
0.0
～
～
0 0
eddy current density (A/m 2 )
Fig. 5.18
Fig. 5.19
90
180
270
electrical angle (deg.)
360
Flux density waveform in element A at steady state (z-axis component).
4.E+07
4×10 7
2.E+07
2×10 7
0
0.E+00
0
-2.E+07
-2×10 7
90
180
270
360
electrical angle (deg.)
-4×10 7
-4.E+07
Eddy current density waveform in element B at steady state (y-axis component).
- 58 -
図 5.20に ア ル ミ 板 中 の 瞬 時 渦 電 流 損 の 定 常 解 と の 誤 差 を 示 す 。 誤 差 は 渦 電 流 損 の 定
常 状 態に お ける 値と そ の瞬 時 値の 差 を意 味し て いる 。 また ， 比較 のた め に半 周 期性 の
簡 易TP-EEC-DC法 に よ り 半 周 期ご と に解 を補 正 した 結 果も 同 図に 示す 。一周 期 性の 簡
易 TP-EEC-DC法 を 使 う と，補 正 後に 一 時的 に誤 差が 増 える が ，その 後 ，定常 解 への 収
束 が 大幅 に 改善 され る 。一 方 で ，半 周 期の 簡易 TP-EEC-DC法 を 使 っ た場 合は ，渦 電流
の 半 周期 性 が満 たさ れ てい な いた め 補正 後に 誤 差が 増 加し ， 定常 解へ の 収束 も 改善 さ
れ な い。
表 5.9に解 析 諸元 を示 す 。一 周 期性 の 簡易 TP-EEC-DC法 を 使 用 し た場 合の計 算 時間 は ，
簡 易TP-EEC法 を 使 わない 場 合の 約 1/17に な った。
1.E+01
10
without simplified TP-EEC method
eddy current loss (p.u.)
error of instantaneous
1.E+001
0
10 -1
1.E-01
360
720
1,080
1.E-02
10 -2
1,440
1,800
electrical angle (deg.)
1.E-03 -3
10
1.E-04
10 -4
1.E-05
10 -5
simplified TP-EEC-DC method
with half cycle periodicity of J e
simplified TP-EEC-DC method with ordinary cycle periodicity of J e
Fig. 5.20
Errors of instantaneous eddy current loss.
Table 5.9
Number of elements
Time steps required
for steady states
CPU time (min.)
Discretization data and CPU time.
Without simplified
TP-EEC method
Simplified TP-EEC-DC method
with ordinary cycle periodicity of Je
50,310
1,749
95
393
23
Computer used: Intel Core i7 (3.4GHz) PC
- 59 -
５．５
結言
本 章で は ，回転 機解 析の た めの 簡 易 TP-EEC法 の 適 用法 を 埋込 磁石 構 造形 同 期電 動
機 と 誘導 電 動機 に適 用 し，提 案手 法の 有 用性 を明ら か にし た。さ らに ，簡易 TP-EEC-DC
法 を 渦電 流 場数 値計 算 技術 調 査専 門 委員 会で 提 案さ れ てい る 三次 元渦 電 流解 析 検証 用
標 準 ベ ン チ マ ー ク モ デ ル の 線 形 磁 界 解 析 お よ び シ ー ル ド 版 付 き C形 コ ア の 非 線 形 磁 界
解 析 に適 用 し ，簡 易 TP-EEC-DC法 の 有 用 性を 明 らか に した 。 以 下 ，本 章で得 ら れた 成
果 を 要約 す る。
(8) 埋 込 磁 石構 造形 同 期電 動機 の 解 析で は， 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正を 行うこ と で，
定 常 解に 達 する まで に 必要 な ステ ッ プ数 が ，補 正を 行 って い ない 場合 の 約 1/11に 減
少 し ，計 算 時間 が短 縮 でき た 。
(9) 誘 導 電 動機 の解 析 では ，す べ り によ って 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正の 有無を 変 える
必 要 が有 る こと がわ か った 。すべ り 1.0で は，固 定子 側 と回 転 子側 に簡 易 TP-EEC法
による補正を行うと最も早く定常解に到達し，その定常解に達するまでに必要な
ス テ ップ 数 は補 正を 行 って い ない も のの 約 1/12に減 少 ，計算 時間 が 短縮 でき た 。ま
た ，すべ り 0.1で は，固 定子 側 のみ に 簡易 TP-EEC法 に よる 補 正を 行う と 最も 早 く定
常解に到達した。定常解に達するまでに必要なステップ数は，補正を行っていな
い 場 合の 約 1/2に減 少し， 計 算時 間 が短 縮で き た。
(10)
三 次 元 渦 電 流 解 析 検 証 用 IEEJ標 準 ベ ン ベ ン チ マ ー ク モ デ ル の 線 形 磁 界 解 析 で
は ，半周 期 性の 簡易 TP-EEC-DC法 を 使 う こと で，計 算 時間 が 簡易TP-EEC法 を 使わ
な い 場合 の 約 1/3に なった 。
(11)
ア ル ミ 板 付 き C形 コ ア の 非 線 形 磁 界 解 析 で は ， 一 周 期 性 の 簡 易 TP-EEC-DC法
を 使 用し た 場合 の計 算 時間 は ，簡 易 TP-EEC法 を使 わ ない 場 合の 約 1/17にな っ た。
- 60 -
第６章
結論
本 論文 で は， 電気 機 器の 電 磁界 解 析 を 高速 化 する た めに ， 一次 三角 柱 辺要 素 によ る
電 磁 界解 析 を用 い， 実 用的 な モー タ や非 接触 充 電コ イ ルの 解 析に 対す る 優位 性 を検 討
し た 。ま た ，回 転機 や 直流 分 が含 ん だ電 磁界 解 析に も 適用 出 来る 過渡 収 束改 善 法を 提
案 し ，実 用 的な 解析 対 称に 対 する 手 法の 有用 性 を検 討 した 。 本研 究で 得 られ た 成果 を
要 約 する と 以下 のよ う にな る 。
ま ず，第 2章 では ，数 値解 析 手法 の 一つ であ る 有限 要 素法 を 用い て，マクス ウ ェル の
電磁方程式から得られる基礎方程式をもとに，三次元非線形解析を行うための離散
化 ・ 定式 化 につ いて 示 した 。 定式 化 には ガラ ー キン 法 を用 い ，離 散化 の 過程 で ，空 間
的 に は一 次 四面 体辺 要 素ま た は一 次 三角 柱辺 要 素， 時 間的 に は後 退差 分 近似 法 を用 い
た 。 また ， 鉄な どの 磁 性体 の 磁界 に 対す る非 線 形性 を 考慮 す る方 法と し て， ニ ュー ト
ン ・ ラフ ソ ン法 によ る 非線 形 解析 手 法を 示し た 。さ ら に， 磁 界の 基礎 方 程式 と 回路 方
程 式 とを 連 立さ せた 解 析手 法 ，回 転 機の 要素 分 割図 作 成法 に つい て示 し た。
次 に ， 第 3章 で は ， 本 章で は ， 一 次 三 角 柱 辺 要 素と 一 次 四 面 体 辺 要 素 を 用い て PWM
イ ン バ ー タ で 駆 動 さ れ る IPMモ ー タ お よ び 非 接 触 充 電 コ イ ル の 電 磁 界 解 析 を 通 し て ，
精 度 ，速 度 の観 点か ら 一次 三 角柱 辺 要素 の優 位 性を 明 らか に した 。PWMイン バ ータ で
駆 動 さ れ る IPMモ ー タ の 解 析 で は ， 一 次 三 角 柱 辺 要 素 を 用 い た 解 析 結 果 は 一 次 四 面 体
辺 要 素の 解 析結 果と ほ ぼ同 精 度で 約 2倍 速 く計 算で き た 。ま た ，非 接触 充電 コ イル の 解
析 で は， 部 品に 薄い 薄 膜を 含 むた め ， 一 次四 面 体辺 要 素で は 扁 平 な要 素 がで き 渦電 流
が 正 しく 計 算で きな か った が 一次 三 角柱 辺要 素 を用 い れば 正 しく 計算 で き， 一 次三 角
柱 辺 要素 を 用い て解 析 した コ イル の 電流 値は 実 測値 と ほぼ 一 致し た。
次 に ， 第 4章 で は ， 同 期 電 動 機 と 誘 導 電 動 機 へ の 簡 易 TP-EEC法 の 適 用 法 を 述 べ ， 固
定 子 と 回 転 子 で 異 な る 周 期 で 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正 を 行 う こ と で 定 常 解 へ の 収 束
性 改 善で き るこ とが わ かっ た 。さら に ，簡易 TP-EEC-DC法 に つ い て述 べ た。本 手 法は
渦 電 流の 周 期性 を利 用 する こ とで ， 直流 磁界 を 含む 電 磁界 解 析 で も定 常 解へ の 収束 を
改 善 でき る 。
次 に ， 第 5章 で は ， 回 転 機 解 析 の た め の 簡 易 TP-EEC法 の 適 用 法 を 埋 込 磁 石 構 造 形 同
期電動機と誘導電動機に適用し，提案手法の有用性を明らかにした。さらに，簡易
TP-EEC-DC法 を 渦 電 流 場 数 値 計 算 技 術 調 査 専 門 委 員 会 で 提 案 さ れ て い る 三 次 元 渦 電
流 解 析 検 証 用 標 準 ベ ン チ マ ー ク モ デ ル の 線 形 磁 界 解 析 お よ び シ ー ル ド 版 付 き C形 コ ア
の 非 線形 磁 界解 析に 適 用し ，簡 易 TP-EEC-DC法 の 有 用 性を 明 らか にし た。埋 込 磁石 構
造 形 同 期 電 動 機 の 解 析 で は ， 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正 を 行 う こ と で ， 計 算 時 間 が 約
1/11に 短縮 で きた 。誘 導電 動 機の 解 析で は，すべり に よっ て 簡易 TP-EEC法 に よる 補 正
の 有 無を 変 える 必要 が 有る こ とが わ かっ た。すべり 1.0では ，固 定子 側 と回転 子 側に 簡
易 TP-EEC法 に よ る 補正を 行 うと 最 も早 く定 常 解に 到 達し ，計算 時 間が 約 1/12に 短 縮で
- 61 -
き た 。 ま た ， す べ り 0.1で は ， 固 定 子 側 の み に 簡 易 TP-EEC法 に よ る 補 正 を 行 う と 最 も
早 く 定 常 解 に 到 達 し ， 計 算 時 間 が 約 1/2に 短 縮 で き た 。 三 次 元 渦 電 流 解 析 検 証 用 IEEJ
標 準 ベン ベ ンチ マー ク モデ ル の 線 形 磁界 解析 で は，半 周期 性 の 簡 易TP-EEC-DC法 を 使
う こ とで ， 計算 時間 が 約1/3に 短 縮で き た 。 アルミ 板 付き C形 コ アの 非線形 磁 界解 析 で
は ， 一周 期 性の 簡易 TP-EEC-DC法 を 使 う こ とで， 計 算時 間 が， 約 1/17に な っ た。
- 62 -
謝辞
本研究は，岐阜大学工学部 河瀬順洋教授，山口忠准教授のご指導のもとに遂行さ
れ た もの で あり ，終 始 多大 な るご 指 導と ご鞭 撻 を賜 り まし た 。こ こに 深 甚な る 感謝 の
意 を 表し ま す。
第 3.3節で 記 述し た研 究成 果 は，大阪 大学 並 びにパ ナ ソニ ッ ク株 式会 社 との 共 同研 究
で 得 られ た もの であ り ，大 阪 大学 大 学院 工学 研 究科 平 田勝 弘教 授 ，パ ナソ ニ ック 株 式
会 社 解析 セン タ ー 太 田智 浩 様， パ ナソ ニッ ク 株式 会 社 エ コソ リ ュー ショ ン ズ 社 鈴
木 智 士様 に は， 同研 究 の全 般 に渡 っ てご 指導 し てい た だき ま した 。こ こ に， 心 より 感
謝 の 意を 表 しま す。
第 5.2.1項 で 用 い た 埋 込 構 造 同 期 回 転 機 は 東 洋 電 機 製 造 株 式 会 社 で 開 発 さ れ た も の
で あ り， 本 研究 を進 め るに あ たり ， デー タの 御 提供 な らび に ，有 益な ご 助言 を 頂い た
同 社 の岸 田 和也 様， 森 永圭 一 様に ， 心よ り感 謝 の意 を 表し ま す。
岐阜大学工学部 河瀬・山口研究室の学生諸君には，計算環境の構築，解析の実行
お よ びデ ー タ整 理等 に ご協 力 いた だ きま した 。特に 第 5.2節 に おけ る解 析結 果 につ い て
は ，辻 赳氏（ 現 アイ シン・エ ィ・ダブ リ ュ 株 式会社 ），柴 山義 康氏（ 現 川崎 重 工業 株 式
会 社 ）と の 共同 研究 に よっ て 得ら れ た成 果で す 。こ こ に深 く 感謝 致し ま す。
- 63 -
参 考 文献
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河 瀬 , 伊 藤 , 「 最 新 三 次元 有 限 要 素 法 に よ る 電 気・ 電 子 機 器 の 実 用 解 析 」 , 森 北
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- 65 -
研 究 業績 一 覧
学 術 研究 論 文
1. 3-D Finate Element Method with Prismatic Elements for Analysis of IPM Motor
Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics, IOS Press, vol. 34, pp.177 -182
(2010)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi )
2. Improvement of Convergence Characteristics for Steady State Analysis of Motors
with Simplified Singularity Decomposition -Explicit Error Correction Method *
IEEE Transactions on Magnetics, vol. 47, No. 6, pp. 1786-1789 (2011)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi, Takeshi Tsuji, Yoshiyasu
Shibayama)
3. 3-D Finite Element Analysis of Eddy Current Loss in Motor Case
日 本 AEM学 会 誌 , Vol. 19, pp.113-118
(Masashi Sawada, Yuji Shindo, Tomoaki Tamiya, Yoshihiro Kawase, Tadashi
Yamaguchi, Hirokatsu Katagiri, and Yuki Ono)
4. Characteristics Analysis of IPM Motor Applied by Voltage Source Using 3-D Finite
Element Method with Prismatic Elements
COMPEL, vol. 31, No.5 pp. 1379-1385 (2012)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi, Kazuya Kishida and
Keiichi Morinaga)
5. Loss Estimation of a Reactor With Multi Conductor Coils by 3-D Finite Element
Analysis
Electrical Review, vol. 2012, No.07b, pp.110-112 (2012)
(Masashi Sawada, Yuji Shindo, Tomoaki Tamiya, Yoshihiro Kawase, Tadashi
Yamaguchi, Hirokatsu Katagiri, and Hiroki Ishigure)
6. Novel Simplified Time Periodic-Explicit Error Correction Method for Steady State
Analysis of AC Magnetic Field Including DC Component
電 気 学会 論 文誌 B, vol. 133, No.3, pp.271-276 (2013)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase and Tadashi Yamaguchi)
- 66 -
7. Electromagnetic
Field
Analysis
of
Separate -type
Transformer
Connected
to
Non-Contact Battery Charger Using 3-D Finite Element Method with Prismatic Edge
Elements
AEM学 会 誌 , vol. 21, No.3, pp.340-345 (2013)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi, Katsuhiro Hirata,
Tomohiro Ota and Satoshi Suzuki)
- 67 -
国 際 会議 発 表
1. 3-D Finate Element Method with Prismatic Elements for Analysis of IPM Motor
14th Conference on the International Symposium on Electromagnetic Fields , pp.89-90,
Arras, France (September 2009)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase and Tadashi Yamaguchi)
2. Characteristics Analysis of an IPM Motor Driven by Voltage Source Using 3 -D Finite
Element Method with Prismatic Elements
14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic F ield Computation, 20P1, Chicago,
USA (May 2010)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi , Kazuya Kishida and
Keiichi Morinaga)
3. Improvement of Convergence Characteristics for Steady State Analysis of Motors with
Simplified Singularity Decomposition-Explicit Error Correction Method
14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation, 7P8, Chicago,
USA (May 2010)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi , Yoshiyasu Shibayama,
Kazuya Kishida and Keiichi Morinaga)
4. Novel Simplified Time Periodic-Explicit Error Correction Method for Steady-State
Analysis of Magnetic Field Including Direct Current Component
COMPUMAG 2011, PA6.8, Madeira island, Portugal (July 2011)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase and Tadashi Yamaguchi)
5. Characteristics Analysis of IPM Motor Applied By Voltage Source Using 3 -D Finite
Element Method with Prismatic Elements
15th Conference on the International Symposium on Electromagnetic Fields , PS.1.12,
Madeira island, Portugal (September 2011)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi , Kazuya Kishida and
Keiichi Morinaga)
- 68 -
6. Electromagnetic
Field
Analysis
of
Separate -Type
Transformer
Connected
to
Non-Contact Battery Charger Using 3-D Finite Element Method with Prismatic Edge
Elements
Asia Pacific Symposium of Applied Electromagnetics and Mechanics , Ho Chi Minh
(July 2012)
(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi , Katsuhiro Hirata,
Tomohiro Ota, and Satoshi Suzuki)
- 69 -
研 究 会資 料
1. 簡 易 形 SD-EEC法 を 用 い た 回 転機 の 定常 解析 の 収束 性 改善
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠， 辻 赳 ， 柴山 義 康 )
平 成 21年 電気 学 会静 止器 ･回 転機 合同 研 究会 資料 ， SA-09-73/RM-09-79
北 海 道（ 2009年 9月）
2. 三 角 柱辺 要 素有 限要 素 法に よ る IPMモ ータ の磁 界解 析
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠 )
平 成 21年 電気 学 会静 止器 ･回 転機 合同 研 究会 資料 ， SA-09-80/RM-09-80
北 海 道（ 2009年 9月）
3. 三 角 柱辺 要 素有 限要 素 法に よ るイ ン バー タ駆 動 時の IPMモー タ の特 性解 析
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠， 柴 山義 康， 岸 田和 也 ，森 永 圭一 )
平 成 22年 電気 学 会マ グネ テ ィク ス ･静 止 器･回 転機 合 同研 究 会資 料，
MAG-10-040/SA-10-040/RM-10-040（ 2010年 3月）
4. 三 角 柱辺 要 素有 限要 素 法に よ る非 接 触充 電コ イ ルの 電 磁界 解 析
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠， 平 田勝 弘 ， 太 田智 浩 ，鈴 木 智士 )
平 成 23年 電気 学 会静 止器 ･回 転機 合同 研 究会 資料 ， SA-11-017/RM-11-017
京 都 （ 2011年1月 ）
5. 並 列 計算 を 用い たイ ン バー タ 駆動 時 の IPMモー タの 鉄 損に 関 する 検討
(河 瀬 順洋 ， 山口 忠， 片桐 弘 雄 ， 田 中憲 )
電 気 学会 静 止器 ・回 転 機合 同 研究 会 資料 ， SA-11-074/RM-11-087
新 潟 （ 2011年8月 ）
6. 直 流 分が 重 畳し た交 流 磁界 の ため の 簡易 TP-EEC法
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠 )
平 成 24年 電気 学 会静 止器 ･回 転機 合同 研 究会 資料 ， SA-12-08/RM-12-08
大 阪 （ 2012年1月 ）
- 70 -
学 会 講演 発 表
1. 電 圧 源を 考 慮し た三 角 柱辺 要 素有 限 要素 法に よ る IPMモ ータ の 磁界 解析
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠， 柴 山義 康， 岸 田和 也 ，森 永 圭一 )
平 成 22年 電気 学 会全 国大 会 ， 5-006，東 京（ 2010年 3月）
2. 三 角 柱 辺 要 素 有 限 要 素 法 に よ る マ ル チ レ ベ ル イ ン バ ー タ 駆 動 IPMモ ー タ の 特 性
解析
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠， 柴 山義 康， 岸 田和 也 ，森 永 圭一 )
平 成 22年 電磁 力 関連 のダ イ ナミ ク ス シ ンポ ジウ ム ，21A3-4，長 崎（ 2010年 5月）
3. 直 流 成分 を 含ん だ磁 界 への 簡 易 TP-EEC法 の 適 用
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠 )
第 19回 MAGDAコ ン フ ァ レ ン ス， PS4-TB2， 札幌 （ 2010年 11月）
4. 直 流 成分 を 含む 磁界 の 定常 解 析の た めの 簡易 TP-EEC法
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠 )
平 成 23年 電気 学 会全 国大 会 ， 5-191，大 阪（ 2011年 3月）
5. 直 流 磁界 を 含む 非線 形 磁界 解 析の た めの 簡易 TP-EEC法
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠 )
平 成 24年 電気 学 会全 国大 会 ， 5-147，広 島（ 2012年 3月）
6. IPMモ ータ の 定常 解析 の過 渡 収束 の 改善
(片 桐 弘雄 ， 河瀬 順洋 ，山 口 忠 )
平 成 25年 電気 学 会全 国大 会 ，名 古 屋（ 2013年 3月 ）
7. 非接 触給 電コイルの三次 元渦 電流 損 失解 析
(河 瀬 順 洋 ， 山 口忠 ， 中野 智 仁 ， 片 桐 弘雄 ， 太 田信 治 ， 小 林 駿 ，平 田 勝 弘， 太 田
智 浩 ，鈴 木 智士 )
平 成 25年 電気 学 会全 国大 会 ，名 古 屋（ 2013年 3月 ）
- 71 -

誘導法による薄膜超電導体の Jc 測定及び スケーリング則に基づく n 値

ｽﾗｲﾄﾞ ﾀｲﾄﾙなし

Navigationサブシステム仕様

後藤哲久教授、AOAC INTERNATIONALの - 農学部 - 信州大学

軌道放射光粉末回折による結晶粒径 および選択配向，相組成分析の

音波を利用した地中探査

車載用カメラの性能統一表記とその評価法(PDF：282kB) - デンソー

ロボットアームの制御

動揺ベースマニピュレータのグローバル座標における運動制御 東京海洋

Q9-8.移転価格関連の具体的計算について教えてください。 移転価格