重積分 変数変換 (極座標)
1 変数関数の置換積分の公式 (新微分積分 I,p.104)
∫
∫
b
β
f (x) dx =
a
f (φ(t))φ′ (t) dt
(x = φ(t), a = φ(α), b = φ(β)
α
ポイント x = φ(t) → dx = φ′ (t)dt
2 重積分の変数変換 (≒1 変数の置換積分)(p.80)
∫∫
∂(x, y) dudv
f (φ(u, v), ψ(u, v)) ∂(u,
v)
D
∫∫
f (x, y) dxdy =
D
(x = φ(u, v), y = ψ(u, v)))
y
極座標の場合
x = r cos θ, y = r sin θ
∫∫
∑∑
p.60
∑∑
∫∫
O
r
θ
x
y
x
高さ
底面積
f (x, y)
dxdy
f (ξij , ηij )
∆xi ∆yj
f (∗, ∗)
?
f (r cos θ, r sin θ)
?drdθ
極座標の場合の底面積 (分割した Dij の面積)
y
Dij
∆θj
O
ri
ri + ∆ri
∆ri x
∆θj
= 1 (ri + ∆ri )2 ∆θj
2π
2
∆θ
j
小さい扇形の面積 円の面積 × 割合 = πri2 ×
= 1 ri2 ∆θj
2π
2
1
1
1
2
2
Dij の面積 (ri + ∆ri ) ∆θj − ri ∆θj = {(ri + ∆ri )2 − ri2 }∆θj
2
2
2
1
1
= (ri2 + 2ri ∆ri + ∆ri2 − ri2 )∆θj = (2ri ∆ri + ∆ri2 )∆θj
2
2
1
1
= (2ri + ∆ri )∆ri ∆θj = (ri + ∆ri )∆ri ∆θj ≒ ri ∆ri ∆θj
2
2
大きい扇形の面積 円の面積 × 割合 = π(ri + ∆ri )2 ×
∆xi ∆yj = ri ∆ri ∆θj → dxdy = rdrdθ

「新微分積分 I 問題集」正誤表（再版用） ∫ dx x2 − a2 dx = 1 2alog

極座標と直交座標基本

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