Nambu-Goldstone Fermion in Quark-Gluon
Plasma and Bose-Fermi Cold Atom System
佐藤大輔 (理研/BNL !
ECT* ")
共同研究者: Jean-Paul Blaizot (Saclay CEA #)
日高義将 (理研)
超対称性(SUSY)
ボソンとフェルミオンの入れ替えに対する対称性
=
b
f
b
f
2
超対称性(SUSY)
Q: supercharge
b
b
f
f
SUSY: [Q, H]=0
Supercharge演算子: フェルミオンを一個消し
てボソンを一個作る（およびその逆過程）
3
SUSYの破れ
(媒質効果)
SUSY
SUSYの破れ
nf
nb
≠
E
E
南部-Goldstone (NG) モード?
4
V. V. Lebedev and A. V. Smilga, Nucl. Phys. B 318, 669 (1989)
SUSYの破れに対応したNG “フェルミオン”
南部-Goldstoneの定理:
I.
(fermion ver.)
−ikµ
4
d xe
ik·(x−y)
µ
破れた対称性
⟨T J (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O(y)}⟩,Jµ: supercurrent
Q=J0: supercharge
−ikµ
4
d xe
ik·(x−y)
µ
⟨T J (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O}⟩
NGモード
オーダーパラメータ
「オーダーパラメータが有限の時、左辺の伝播関数に
はk→0に極がある」
5
By making useV. of
the Ward-Takahashi identity (3.39), we
V. Lebedev and A. V. Smilga, Nucl. Phys. B 318, 669 (1989)
SUSYの破れに対応したNG
4
ik·(x−y)
µ
µν
ν
−ik
Γ
(k)
=
−im⟨A⟩
Γ
µ JJ
ΨJ (k).
“フェルミオン”
−ikµ
d xe
⟨T
J
(x)O(y)⟩
=
⟨{Q,
O(y)}⟩,
This can now be calculated by using our earlier results for
−ikµ
First, in the limit of high temperature, we make use of (
hand side of=the
Ward-Takahashi
identity as
d4 xeik·(x−y)the
⟨Tleft
J µ (x)O(y)⟩
⟨{Q,
O}⟩
破れた対称性
0
2
2
γ
π
π
オーダーパラメータ
µν
4
=
T
−ikµ ΓJJ (k) = m2 ⟨A⟩2 2
(µ=0)
g
4
− 13 γ i
NGモード
−
O=Q†とすると、NG modeは<QQ†>に出現.
For the right hand side, we must evaluate the thermal e
0νγ ).
今の場合オーダーパラメータはエネルギー・運動量テンソル(T
ν
of the energy-momentum tensor. In a thermal
equilibrium
Wess-Zumino模型
µν
⟩ = diag(ρ,
⟨T
ε, p, p, p),
媒質があればSUSYは常に破れている.
SUSYはフェルミオン的な対称性なので、
where in the high-temperature limit the pressure is given
the energy density can be calculated as
出現するのはNG “フェルミオン”(Goldstino)
ρ=
数少ないフェルミオン的ゼロモード
d 3q
π2
2nF (Eq ) + 2nB (Eq ) Eq = T
3
(2π)
8
6
V. V. Lebedev and A. V. Smilga, Annals Phys. 202, 229 (1990)
高温QED/QCDにおける擬goldstino
高温ではクォークとグルーオンはほぼゼロ質量
相互作用を無視すればSUSYあり.
=
q
g
7
g
δm
2
(/
p
−
Σ(p))
=0
Z=
C
+
8
=
O(g
)
f
2
2T 2
16π
g
V. V. Lebedev and A. V. Smilga, Annals Phys. 202, 229 (1990)
2
高温QED/QCDにおける擬goldstino
=
⎧ 2
g
2
2 2⎨
2
g
8δm
2
2
2 2
実際、弱結合ではQED/QCDでクォークの擬ゼロモードが存在.
g
Z = g 2 δm
1 + 8δm
=
O(g
)
144π
2
2
1 + g T == O(g ) 2
Zf=16π
Z=
C
+
8
4Nf
16π 2 2g T
g
2
13N
1
Y. Hidaka,
D.
S.,
and
T.
Kunihiro,
Nucl.
Phys.
A
876,
93
(2012)
⎩
16π
g
T
16π 2
3 + 6 + 2N
D. S., PRD 87, 096011 (2013).
=
2
2
2
2
2
2
2
J. P. Blaizot and D. S., Phys.
Rev.
g22 D 89, 096001 (2014).
⎨⎧
g 2
⎨144π
2
Z Z== 144π
22
2 2
4N
g
f
13N
1
4N
f + 13N
1
⎩⎩ g 22
+
+
+
16π
3
6
16π
3
6
2N2N
分散関係
崩壊率
⎧
Reω＝p/3
=O(g )g 2
2
δm
Cf + 8 2 2
g T
=O(g22 )
2
2
= O(g )
Z = Im 2
16π
⎧ 2gg2
QED
144π 2
⎨ g144π
144π 2
2
=
2
f
13N
1
⎩ g g(4 +2 N 4N
)
+
QCD +
16π
3
6
2N
2
2
2
2
強度
2
g
Z=
16π 2
f
48π 2
2
4Nf
13N
1
+
+
3
6
2N
分散関係は線形
NG
mode).
2
22(Type-I
=O(g
)
4N
13N
1
g
Z=
f
16π 2
+2
3
8(δm
+
2
2
6
2N
)
g
8
実験場としての冷却原子系
•格子構造（光学格子）→ ハバード模型
•相互作用の強さを調整できる(レーザー強度、
磁場：フェッシュバッハ共鳴)
冷却原子系は、実験が難しい多体系の実験場と
して使える
Wess-Zumino model: Y. Yu, and K. Yang, PRL 105, 150605 (2010)
Dense QCD: K. Maeda, G. Baym and T. Hatsuda, PRL 103, 085301 (2009)
相対論的QED: Kapit and Mueller, PRA 83, 033625 (2011)
9
本研究のMotivation
もし冷却原子系を使ってSUSYを
持つ系をsimulateできれば、
goldstinoを実験的に観測できる!!
10
T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)
冷却原子系における超対称性
光学格子上に2種類のフェルミオン（f, F）
とその束縛状態のボソン（b）を載せる
b
f
F
11
h our theory is
by a Hamiltonian H = H0 + Hex , where H0 = Hbf + HF
citations due to
with Hbf = Hb + Hf + V . By means of the Feshbach resT. Shi,between
Y. Yu, and C.FP. Sun,
011604(R) (2010)
al. This may be
onance [9], the scattering lengths
andPRA
the81,b-f
istic theory.
mixture can be adjusted to negligibly small. In the tight冷却原子系における超対称性
and Fermi atoms
binding approximation, one has
l optical lattice
α†
α†
interactions and
tα ai ajα − µα
ai aiα ,
Hα = −
ome SUSY [3].
⟨ij ⟩
i
(1)
b, a bound state
Ubb
f
binding energy
V =
nbi nbi − 1 + Ubf
nbi ni ,
2 i
phase of the b-f
i
f
011604-1
b
©2010 The American Physical Society
=
(tf =tb)
(µf =µb)
tの調整法: M. Snoek, S. Vandoren, and H. T. C. Stoof, PRA 74, 033607 (2006)
12
ry.
mixture can be adjusted to negligibly small. In the tightatoms
binding approximation, one has
T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)
lattice
α† α
α† α
ns and
=
−
t
a
a
−
µ
a
H
α
α i
α
冷却原子系における超対称性
j
i ai ,
Y [3].
⟨ij ⟩
i
(1)
d state
Ubb
b b
b f
nergy
V =
ni ni − 1 + Ubf
ni ni ,
2 i
e b-f
i
011604-1
=
©2010 The American Physical Society
(Ubb =Ubf)
tf =tb, Ubb =Ubf, µf =µbの場合、Q =bf †はハミルトニアンと可換.
Fはdecouple.
13
SUSYの破れに関連したNG “フェルミオン”
4
ik·(x−y)
µ
−ikµ
d xe
−ikµ
d4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O}⟩
Q =bf †
Q† =b†f
⟨T J (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O(y)}⟩,
NGモード
破れた対称性
オーダーパラメータ
O=Q†とすると、NG modeは<QQ†>に出現.
オーダーパラメータは今回考える系の場合、密度(ρ).
SUSYはρが有限だと常に破れている.
14
セットアップ
d=2
BECなし.
連続極限を考える：a << (kf)-1, (T)-1
(以後a=1の単位で解析.)
Δµ=µf -µb ≠0
ExplicitなSUSY breaking
15
T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)
resummed perturbationによる計算
Goldstinoの伝播関数、スペクトルを計算
(<Q†(x)Q(0)>)
b
Q =bf †より、
I.
1ループの伝播関数は
<Q†(x)Q(0)>=
f
ハミルトニアンレベルではSUSYがあるので、フェルミオンとボソ
−ikµ d4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O(y)}⟩,
ンの分散関係が同じになり、ω-Δµ, p→0で積分が発散
−ikµ
d4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O}⟩
（ピンチ特異性）
(Δµ=µf -µb)
f
(フェルミオン項)=
Π0 (ω, p) ≃
b
Π (ω, p) ≃
nF (ϵfk )
d2 k
, →∞
2
2
(2π) ω − ∆µ − t(2k · p + p )
d2 k
nB (ϵbk )
16
.
T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)
resummed perturbationによる計算
I.
(1) 分散関係の密度補正をresum
−ikµ
d4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O(y)}⟩,
−ikµ
d4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O}⟩
フェルミオン:
unit,
Uρb
Uρf
ボソン:
Π0f (ω, p) ≃
2Uρb
+
nF (ϵfk )
d2 k
,
2
2
(2π) ω − ∆µ − t(2k · p + p )
ピンチ特異性は正則化
Π0b (ω, p) ≃
d2 k
nB (ϵbk )
.
2
2
(2π) ω − ∆µ − t(2k · p − p )
(フェルミオン項)=
Π0f (ω, p) ≃
Π0b (ω, p)
≃
nF (ϵfk )
d2 k
-1
→U
,
(2π)2 ω − (∆µ + t(2k · p + p2 ) + U ρ)
d2 k
nB (ϵbk )
.
17
T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)
resummed perturbationによる計算
全てのringダイアグラムが同じオーダーの寄与
U-1
U-1 ×U ×U-1=U-1
無限個のringダイアグラムの足し合わせが必要
18
T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)
resummed perturbationによる計算
(2) Random Phase Approximation
self-consistentな式でなくexplicitに書ける.
19
エネルギー・運動量で展開
(1), (2)を使ってGoldstinoの伝播関数を計算.
運動量が小さい場合に興味がある.
→エネルギー・運動量で展開
p <<kf, Uρ/(kf t)
20
Π0b (ω, p) ≃
goldstinoのスペクトル
f
Π0 (ω, p)
分散関係
留数
ω
1
k
(2π)2 ω − ∆µ − t(2k · p − p2 )
f
nF (ϵk )
2
≃
Π0b (ω, p) ≃
d k
(2π)2 ω − (∆µ + t(2k · p + p2 ) +
nB (ϵbk )
d2 k
(2π)2 ω − (∆µ + t(2k · p − p2 ) +
(sum ruleから許され
る最大値)
Type-II NG mode
(相対論的な系ではType-I).
t2 4πρ2f
t(ρf − ρb )
−
α≡
2
Uρ
ρ
(T=0の場合)
1
α≡
ρ
4πt2 ρ2f
Uρ
− t(ρf − ρb )
崩壊幅は、NG定理よりp=0で0と期待される.
（p:有限の時の崩壊幅の大きさは、衝突効果を入れてないため
確認できていない）
21
T≠0での結果
U/t=0.1,
f=0.5, b=1.0
0.3
0.5
T/t
17
/t
16
15
14
0
0.1
0.2
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
係数αはTが大きくなると増える.
22
強磁性体中のスピン波とのアナロジー
強磁性体中のスピン波
Goldstino
保存量: Q, Q†, ρ
保存量: m+, m-, mz
破れているオーダーパラメータ
破れているオーダーパラメータ
Q†
m+
Q
m-
f
b
Q2=Q†2=0
up
down
m+2=m-2=0
m± =mx ± imy
23
強磁性体中のスピン波とのアナロジー
スピン波
外部磁場 h
スピン波の分散関係:
! = h + ↵p2
Type-II
24
強磁性体中のスピン波とのアナロジー
一般に、NG modeがtype-IかIIは保存量間
の交換関係の期待値によって決まる.
NII=rank<[Qa, Qb]>/2
NI=NBS -2NII
(
<[m±, mz]>=0
<[m+,
m-]>=2m
0
)
H. Watanabe and H. Murayama, PRL 108, 251602 (2012)
Y. Hidaka, PRL 110, 091601 (2013)
NII =1
NI =0
rank<[Qa, Qb]>/2=1
NBS =2
25
強磁性体中のスピン波とのアナロジー
Goldstino
保存量の間の(反)交換関係は
スピン波の時と同じ構造.
Q, Q†⇄m+, m-
<[Q, ρ]>=0
<{Q, Q†}>=ρ
(
<[m±, mz]>=0
<[m+, m-]>=2m0
)
ρ⇄mz
したがって、両者のスペクトルが同じ形をし
ている事が自然に理解できる.
26
強磁性体中のスピン波とのアナロジー
!=
µ
↵p
2
Δµ⇄h
T. Hayata, Y. Hidaka (2014)
スピン波と同様、p:有限の時の崩壊幅はDp4の形.
（Dは久保公式使うと計算可能）
この分散関係および崩壊率の運動量依存性
はモデルによらない！
27
まとめ
• QGPおよび冷却原子系におけるgoldstinoの分
散関係および強度の表式を得た (弱結合、連続
極限で).
• goldstinoと強磁性体中のスピン波の分散関係の
類似性を、保存量間の(反)交換関係が同じ構造
を持っている事から理解した.
28

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