ベクトルの内積で分配則が成り立つことの証明 1. 図形を利用しての証明 右図のように角度 α, β, θ を定義すると、内積の定義より a+ 𝐚 ∙ 𝐜 + 𝐛 ∙ 𝐜 = a 𝐜 cos 𝛼 + 𝐛 |𝐜| cos 𝛽 β α |a| cosα |a+b| cosθ 一方、図より a cos 𝛼 + 𝐛 cos 𝛽 = |𝐚 + 𝐛| cos 𝜃 b a θ 𝐚 + 𝐛 ∙ 𝐜 = a+b |𝐜| cos 𝜃 b b |b| cosβ θ |a| cosα |a+b| cosθ 2. 余弦定理と成分表示を利用した証明 = 𝐚 ! + 𝐛 ! − 2 𝐚 𝐛 cos 𝜃 θ b ! b a 一般に２つのベクトル a, b があり、その間の角をθとすると 余弦定理より 𝐚 − 𝐛 a 従って a ⋅ b = | a || b | cos θ 1 2 a x + bx2 − (a x − bx ) 2 + < y成分 > + < z成分 > 2 (内積の成分表示 ) = a x bx + a y b y + a z bz = [ c a b β c α 𝐚∙𝐜+𝐛∙𝐜= 𝐚+𝐛 ∙𝐜 従って a+ ] 以下、𝐚 ∙ 𝐜 + 𝐛 ∙ 𝐜 と 𝐚 + 𝐛 ∙ 𝐜 を成分表示で計算すると、等式が導ける。 |b| cosβ
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