Morse position of knots and
closed incompressible surfaces
小沢 誠 （ 駒澤大学）
2005 年 5 月 9 日
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定義（ Morse 関数）
多様体 M 上の関数 f : M → R の各臨界点が非退化
であり、それらの臨界値が異なるとき、f を Morse
関数という。
R
f
M
h : S 3 → R を S 3 上の標準的な Morse 関数とする。
即ち、
i : S 3 → R4 : 包含写像
p : R4 → R: 射影 (x, y, z, w) → w
とするとき、h = p ◦ i
R
1
h
0
S3
-1
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定義（ Morse position ）
Morse 関数 h : S 3 → R の結び目 K ⊂ S 3 への制限
が Morse 関数であるとき、K は h に関して Morse
position にあるという。
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R
h
K
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a0, . . . , an を K の臨界点で 、対応する臨界値 ti =
h(ai ) が 、各 i に対して ti−1 < ti を満たすものとする。
正則値 si ∈ (ti−1, ti) に対して、Pi = h−1(si ) を ai−1
と ai の間の level sphere という。
ai−1 が 極大点で ai が 極小点であるとき 、Pi を thin
level sphere という。
ai−1 が 極小点で ai が 極大点であるとき 、Pi を thin
level sphere という。
ai
Pi
ai
a i-1
Pi
a i-1
thin level sphere
thick level sphere
各 thick level sphere Pi に対して、thick region を
h−1([ti−1 + , ti − ]) で定める。
全ての thick region の和を Mthick とし 、Mthick の残
りの各成分を thin region と呼び 、和を Mthin で表す。
M thin
K
M thick
M thin
M thick
M thin
F を S 3 内の closed surface で、K と交わらないか、又
は K と横断的に交わるものとする。
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定義（ Morse position ）
F が次を満たすとき、K に関して Morse position
にあるという。
1. F は h に関して Morse position
2. F と K は一般の位置にあり、F ∩ K ⊂ Mthick
3. F の全ての極大点と極小点は Mthin に含まれ、全
ての鞍点は Mthick に含まれる。
M thin
K
F
M thick
M thin
M thick
M thin
M を 3 次元多様体、T を M 内に適切に埋め込まれた 1
次元多様体、F を M 内に適切に埋め込まれた曲面で T
と交わらないか又は T と横断的に F の内部で交わるも
のとする。
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定義（ 圧縮不能）
F が次を満たすとき、(M, T ) 内で圧縮不能という。
1. 【 F = S 2, F ∩ T = ∅ の場合】
∃ B 3 ⊂ M − T , s.t. ∂B 3 = F
2. 【 F = D2, F ∩ T = ∅ の場合】
∀ D2 ⊂ ∂M − ∂T , ∂D2 = ∂F ,
∃ B 3 ⊂ M − T , s.t. ∂B 3 = F ∪ D
3. 【その他の場合】
∀ D2 ⊂ M − T , D2 ∩ F = ∂D2,
∃ D2 ⊂ F − T , s.t. ∂D2 = ∂D
T
M
K ⊂ S 3 を h に関して Morse position にある結び目
とし 、F ⊂ S 3 を K に関して Morse position にある
閉曲面とする。
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定義（ essential Morse position ）
F が次を満たすとき、K に関して essential Morse
position にあるという。
4. F ∩Mthin 及び F ∩Mthick の各成分が、それぞれ
(Mthin, K ∩ Mthin) 及び (Mthick , K ∩ Mthick )
で圧縮不能
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定理
K ⊂ S 3 を h に関して Morse position にある結び
目とし 、F ⊂ S 3 を K と交わらないか 、又は K と横
断的に交わる閉曲面で、(S 3 , K) 内で圧縮不能である
とする。この時、F は次のいずれかのようにイソトー
プできる。
1. F は thin level sphere 、又は
2. F は K に関して essential Morse position
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例 1. F は thin level sphere
M thin
K
M thick
F
M thin
M thick
M thin
例 2. F は K に関して essential Morse position
M thin
K
F
M thick
M thin
証明の流れ
Step 1. F ∩ Mthin を圧縮不能デ ィスク又はアニュ
ラスのみにする。
↓
Step 2. |F ∩ Mthin| を最小にした上で、F ∩ Mthick
の臨界点の個数を最小にする。
↓
Step 3. F ∩ Mthick が (Mthick , K ∩ Mthick ) で圧
縮不能を示す。
↓
もし F ∩ Mthick が極大点又は極小点を持たなければ 、
F は essential Morse position である。
（ 結論 2 ）
もし F ∩ Mthick が極大点又は極小点を持つならば 、F
は thin level sphere に イソトピックである。
（ 結論
1）
準備
S : 2-sphere
F ⊂ S × I : surface
p : S × I → S × {0} : projection
h : S × I → I : height function
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定義
S × I のイソトピー φt が 、任意の t ∈ [0, 1] に対して
h ◦ φt = h を満たすとき、horizontal isotopy と
いう。
定義
F が horizontally ∂-parallel in S × I
⇐⇒ ∃ horizontal isotopy φt,
s.t. p ◦ φ1 is a homeomorphism on F
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補題 1
S を球面、X を S 上の点の和、F ⊂ (S × I, X × I)
を圧縮不能曲面とする。もし 、F が horizontally ∂parallel ならば 、F は (S × I, X × I) 内で ∂-parallel
である。
証明
F は horizontally ∂-parallel であるから 、p は F 上
homeomorphism としてよい。
また 、X × I は単調であるから 、p は (X × I) ∩ V
上 homeomorphism としてよい。ここで 、V は F と
p(F ) が bound する 3-manifold である。
このとき、p((X × I) ∩ V ) は disjoint arcs から成る。
仮に、(X × I) ∩ V の arc α で、∂α が F に含まれるも
のがあったとすると、α と F 上の arc が disk を bound
するので、F が圧縮不能であることに反する。
故に、(X × I) ∩ V の任意の arc は F と p(F ) を単調に
繋いでいるので、F は ∂-parallel である。
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補題 2
S を球面、X を S 上の点の和、F ⊂ (S × I, X × I)
を h : S × I → I に関して Morse position にある
圧縮不能曲面とする。F のイソトピーで、F の臨界点
の個数を最小と仮定する。このとき、もし F が極大点
を持つならば 、F は (S × I, X × I) 内で ∂-parallel
である。
証明
a0, . . . , an を F の臨界点で、対応する臨界値 ti = h(ai )
が 、各 i に関して ti−1 < ti を満たすものとする。
am を最も低い F の極大点とする。
もし m = 0 ならば 、F は唯一の極大点 a0 を持つディス
クであり、(S × I, X × I) 内で ∂-parallel である。
以下、m ≥ 1 と仮定する。
Fmax を、am を含む F の極大な ∂-parallel 部分曲面
とする。
am
Fmax
as
F’max
Fmax に関与する次の臨界点 as は、am が最も低い極大
点であるから、鞍点又は極小点である。
鞍点の近傍をバンド B とみなし 、極小点の近傍をディス
ク E とみなす。
Case 1 バンド B は Fmax の外側にあり、Fmax の同じ
境界成分を繋ぐ。
am
Fmax
B
F’max
この場合、更に大きな ∂-parallel 部分曲面ができ、
Fmax の極大性に反する。
Case 2 バンド B は Fmax の外側にあり、 Fmax の境
界成分と他の部分曲面の境界成分を繋ぐ。
am
Fmax
B
F’max
この場合、Fmax から Fmax へのイソトピーにより、
極大点 am と鞍点 as がキャンセルする。これは、F
の臨界点の個数の最小性に矛盾する。
Case 3 バンド B は Fmax の内側にあり、Fmax の同じ
境界成分を繋ぐ。
am
D
Fmax
B
この場合、Fmax ∪ B に対する圧縮ディスク D が存
在する。F は圧縮不能であるから、ディスク D ⊂ F
で ∂D = ∂D を満たすものが存在する。この時、
D から D へのイソトピーにより、鞍点 as が消去さ
れる。
Case 4 バンド B は Fmax の内側にあり、Fmax の異な
る境界成分を繋ぐ。
am
Fmax
D
B
この場合、Fmax ∪ B に対する圧縮ディスク D が存
在する。∂D は F 内本質的であるから、D は F の圧
縮ディスクであり、F が圧縮不能という仮定に矛盾
する。
Case 5 ディスク E は Fmax の境界成分に沿って Fmax
に蓋をする。
am
Fmax
E
Fmax がディスクでない場合、Fmax∪E から Fmax∪
E へのイソトピーにより、Fmax の鞍点と極小点 as
がキャンセルする。
Fmax がディスクの場合は、F は level sphere にイ
ソトピックとなる。
定理の証明
Step 1. F ∩ Mthin を圧縮不能デ ィスク又はアニュ
ラスのみにする。
Mthin の各成分を thin level sphere Pi で二つに分割
する。
分割された成分と K との交わりは単調なアークか、唯
一の極大点又は極小点を持つアークのみとなる。
Pi
M thin
F が圧縮不能であるから、F ∩ Pi の各成分は Pi − K 内
で本質的なループのみとしてよい。
Pi から K の極大点（ 又は極小点）に単調なアーク Ti を
繋ぎ 、F ∩ Ti を一般の位置にする。
この時、N (Pi ∪ Ti) と F との交わりは、圧縮不能なディ
スク又はアニュラスのみとなる。
Pi
Ti
N (Pi ∪ Ti) の残りの部分は、( 球面, 点 ) の組の直積で
あるから、F のイソトピーにより、F との交わりも直積
であるとしてよい。
Step 2. |F ∩ Mthin| を最小にした上で、F ∩ Mthick
の臨界点の個数を最小にしておく。
Step 3. F ∩ Mthick が (Mthick , K ∩ Mthick ) で圧
縮不能を示す。
仮に F ∩ Mthick が (Mthick , K ∩ Mthick ) で圧縮可能で
あったとすると、圧縮ディスク D ⊂ Mthick が存在する。
しかし 、F は (S 3, K) 内で圧縮不能であるから、ディス
ク D ⊂ F − K で 、∂D = ∂D を満たすものが存在
する。
D ∩ Mthin = ∅ であるから、D から D へのイソトピー
により、|F ∩ Mthin| が減る。
これは、|F ∩ Mthin| の最小性に矛盾する。
もし F ∩ Mthick が極大点又は極小点を持たなければ 、
essential Morse position の条件 1∼4 が満たされ 、
定理の結論 2 を得る。
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essential Morse position の条件
F は h に関して Morse position
F と K は一般の位置にあり、F ∩ K ⊂ Mthick
F の全ての極大点と極小点は Mthin に含まれ、全
ての鞍点は Mthick に含まれる。
F ∩Mthin 及び F ∩Mthick の各成分が、それぞれ
(Mthin, K ∩ Mthin) 及び (Mthick , K ∩ Mthick )
で圧縮不能
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もし F ∩ Mthick が極大点又は極小点を持つならば 、F
は thin level sphere にイソトピックであり、定理の
結論 1 を得る。
一般性を失わず、F ∩ Mthick が極大点を持つと仮定す
る。
am を最も低い F ∩ Mthick の極大点とすると、補題 1 に
より、am を含む F ∩ Mthick の成分 Fmax は、Mthin へ
∂-parallel である。
Fmax
am
M thick
M thin
Case 1. Fmax が F ∩ Mthin のアニュラスと繋がらな
い。
この場合、F は planar surface Fmax と disks
F ∩ Mthin の和となるから、F は Mthin に完全に含
まれる球面である。補題 1 により、F は thin level
sphere Pi に parallel であるので、定理の結論 1 を
得る。
am
Fmax
planar
surface
M thick
disks
M thin
M thick
F
M thin
thin level sphere
Case 2. Fmax が F ∩ Mthin のアニュラスと繋がる。
この場合、Fmax は thin level sphere Pi の部分曲
面 Fmax へとイソトピックである。
am
Fmax
planar
surface
M thick
vertical
annulus
M thin
Pi
M thick
Pi
F’max
M thin
従って、必要ならば ∂-compression を行うことに
より、Fmax は唯一の極大点を持つディスクである
と仮定してよい。
M thick
planar
surface
Pi
F’max
M thin
vertical
annulus
-compression
M thick
Pi
F’max
M thin
以上の操作において、|F ∩ Mthin| は増えず、少な
くとも一つの極大点 as が消去される。
これは 、F ∩ Mthick の臨界点の個数の最小性に矛
盾する。
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