kinematic bending of fixed-head piles in non

UN METODO SEMPLIFICATO PER L’ANALISI NON LINEARE DEL
COMPORTAMENTO DI PLATEE SU PALI
Raffaele Di Laora, Luca de Sanctis
Università di Napoli Parthenope
[email protected], [email protected]
Ylenia Mascarucci, Alessandro Mandolini
Seconda Università di Napoli
[email protected], [email protected]
Sommario
Nella presente nota viene illustrato un metodo di analisi semplificato dell’interazione piastra-pali-terreno in
presenza di carichi verticali. Il metodo tiene conto del comportamento non lineare del contatto piastra-terreno e
del gruppo di pali; non consente di prevedere la ripartizione del carico fra i pali, fornendo invece come risultato
le curve carico-cedimento della piastra su pali e le due aliquote di carico trasmesse dalla platea al contatto fra
questa e il terreno e dal gruppo di pali. Il metodo è stato validato mediante soluzioni di riferimento pubblicate in
letteratura.
1. Introduzione
Il criterio di progetto convenzionale delle fondazioni su pali, largamente diffuso e prescritto dalla
maggioranza delle normative vigenti nei vari Paesi, consiste nell’affidare i carichi verticali statici
integralmente ai pali, ignorando il contributo della struttura di collegamento fra i pali, e imponendo un
adeguato coefficiente di sicurezza nei confronti della rottura dei pali stessi per carico limite. A causa di
queste assunzioni, certamente cautelative, i cedimenti delle fondazioni su pali sono molto, e spesso
inutilmente, ridotti. Nell’ultimo ventennio hanno ricevuto attenzione metodi di progetto innovativi, nei
quali si tiene conto del contributo della piastra (Mandolini et al., 2005).
In effetti, se il carico limite della piastra senza pali è insufficiente, l’aggiunta di pali alla fondazione diretta
serve essenzialmente a conferire alla fondazione un adeguato coefficiente di sicurezza. Se la capacità della
piastra senza pali è sufficiente, l’aggiunta dei pali può servire a ridurre i cedimenti della fondazione diretta
fino a valori compatibili con la statica e la funzionalità della struttura in elevazione. In ambedue i casi è
possibile conseguire soluzioni di progetto molto più soddisfacenti portando in conto il contributo della
piastra. In talune circostanze la prestazione di una fondazione su pali progettata in modo convenzionale
può risultare addirittura peggiore, in termini di cedimenti differenziali, di quella che discende da soluzioni
di progetto innovative e meno dispendiose (de Sanctis et al., 2002).
La metodologia più diffusa per l'analisi di una fondazione mista platea su pali è quella dei coefficienti
di interazione, che esprimono l'influenza di un intero palo sul cedimento di altri pali o di punti alla
superficie del terreno (Poulos 1968, Caputo e Viggiani, 1984).
L'onere computazionale si riduce notevolmente se si trascura il contatto fra struttura di collegamento
dei pali e terreno (e cioè si modella la fondazione come un free standing pile group), e si assume la
struttura stessa infinitamente rigida o infinitamente flessibile. Queste semplificazioni sono quasi
sempre ammissibili nel calcolo dei cedimenti, purché si tratti di una palificata progettata con
l’approccio convenzionale (Mandolini et al., 1997, Viggiani 1998). In tutti gli altri casi è necessario
tenere conto del contatto platea-terreno (Russo e Viggiani 1997). Nei casi in cui siano previsti studi
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parametrici per studiare la sensibilità della soluzione del problema dell’interazione ad alcuni fattori,
quali ad esempio la disposizione in pianta dei pali, o più in generale, studi di ottimizzazione può essere
conveniente adottare un modello dell’interazione piastra-pali-terreno ulteriormente semplificato. La
presente nota è appunto dedicata alla messa a punto di un modello di analisi dell’interazione per
fondazioni miste platee su pali molto semplificato, in cui tuttavia sono esplicitamente modellate le più
importanti peculiarità di comportamento delle fondazioni miste, quali ad esempio la non linearità di
comportamento dei pali e del contatto platea-terreno. Il metodo qui proposto è nei fatti una modifica
del metodo di analisi semplificato inizialmente proposto da Poulos (2000) e noto in letteratura come
PDR (Poulos-Davis-Randolph method). L’intenzione della nota è dunque quella di presentare una
formulazione semplificata che si presta molto bene ad analisi speditive delle fondazioni miste platee su
pali e all’individuazione della possibile soluzione di progetto.
2. Metodo PDR
Nella Figura 1 è rappresentata la distinzione fra platea, gruppo di pali e fondazione mista platea su pali; il
parametro rappresentativo dell’interazione fra le due componenti è l’aliquota del carico trasmesso dalla
platea ai pali:
βP 
QP
Q
(1)
dove QP è il carico trasmesso ai pali e Q è il carico totale. Il caso P = 0 equivale alla fondazione diretta,
mentre il caso P = 1 al gruppo di pali; nella fondazione mista il coefficiente P è minore dell’unità.
Figura 1. Platea, gruppo di pali e fondazione mista.
La previsione del comportamento carico cedimento di una piastra su pali può essere condotta in via
approssimata con il metodo PDR proposto da Poulos (2000) e basato su una combinazione dei metodi
semplificati suggeriti da Poulos e Davis (1980) e Randolph (1994).
Nella Figura 2 è illustrata in via qualitativa una tipica curva carico cedimento prevista con il metodo
PDR, nell’ipotesi in cui le rigidezze della sola platea e del solo gruppo di pali siano costanti fino a
rottura. In corrispondenza del punto A la capacità portante del gruppo di pali è completamente
mobilitata, dunque un carico Q < QA si ripartisce fra le due componenti e il cedimento w può essere
espresso come:
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w
Q
K pr
(2)
dove Kpr è rigidezza della piastra su pali sotto carichi verticali.
Figura 2. Curva carico cedimento della piastra su pali con il metodo PDR.
A partire dal punto A gli incrementi di carico vengono trasferiti integralmente alla piastra e il
cedimento risulta:
w
QA Q - QA

K pr
Kr
(3)
dove QA è il valore del carico applicato in corrispondenza del quale la capacità del gruppo è stata
mobilitata e Kr = rigidezza assiale della sola piastra.
La rigidezza Kpr è data dall’espressione (Clancy e Randolph, 1993):
Kr
Kp
K pr 
K
K p
1  0.64 r
Kp
1  0.6
(4)
3. Metodo proposto
Il metodo proposto nel presente lavoro richiede come la valutazione preliminare delle curve caricocedimento delle due componenti gruppo di pali e fondazione diretta, e assume che ogni incremento di
carico sulla piastra su pali venga ripartito tra gruppo e platea in funzione della rigidezze correnti dei
sistemi pali-terreno e piastra-terreno. I termini di interazione, invece, sono legati alla sola componente
iniziale della rigidezza del gruppo. Tale assunzione trova giustificazione nel fatto che le
plasticizzazioni relative al sistema pali-terreno si concentrano in una zona di limitata estensione, in
prossimità della superficie laterale dei pali, e pertanto il cedimento che il gruppo di pali induce sulla
platea è essenzialmente proporzionale al carico sui pali stessi.
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In termini matriciali, il metodo può essere formalizzato come:
 1

dw p   K p


dwr   rp
 K p 0
rp 

K p 0  dQp 


1  dQr 

K r 
(5)
in cui i termini lungo la diagonale principale, che rappresentano le cedevolezze del sistema paliterreno e del sistema platea-terreno considerati come sistemi isolati, sono funzione del carico su di essi
agenti quando appartenenti al sistema misto, ovvero:
K p  K p  Qp 
(6)
K r  K r  Qr 
Di contro, i termini sulla diagonale secondaria sono costanti col carico stesso. Imponendo le equazioni
di equilibrio e di congruenza in termini incrementali:

dQpr  dQp  dQr


dw pr  dw p  dwr
(7)
si ottengono il valore della rigidezza Kpr della fondazione mista platea su pali
K pr 


K p 0  K p  K p   2  rp  K r     K p 0  K r 
2
K p20  rp
  K p  K r  
(8)
e del rapporto tra incremento di carico trasmesso al contatto platea-terreno e incremento trasmesso ai
pali:

dQr K r  K p 0    pr  K p  

dQr K p  K p 0    pr  K r  


(9)
Nel caso del progetto convenzionale, in cui i pali sono diffusi in modo uniforme al di sotto della
platea, il valore di αRP può essere posto pari a 0.8, come suggerito da Clancy e Randolph (1993).
Il presente metodo può essere implementato in forma autonoma in modo piuttosto agile, e possiede il
vantaggio di richiedere come curve carico-cedimento della platea e del gruppo di pali, considerati
come sistemi isolati, una qualsiasi funzione lineare a tratti.
4. Validazione del metodo
Al fine di validare il metodo proposto, viene riportato di seguito un confronto con dati derivanti da
Raffaele Di Laora, Luca de Sanctis, Ylenia Mascarucci, Alessandro Mandolini
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analisi FEM riportate da de Sanctis e Mandolini (2006), rimandando a tale lavoro per eventuali
approfondimenti.
Le curve carico-cedimento del gruppo e della piastra sono state stimate tramite interpolazione
iperbolica dei dati FEM (Fig. 3). Inoltre, al fine di tenere conto della riduzione di capacità portante
della platea per il cosiddetto effetto scudo dovuto ai pali (de Sanctis e Mandolini, 2006), per il sistema
platea-terreno è stata considerata una curva iperbolica “scalata” rispetto alla curva che si otterrebbe
tramite interpolazione dei dati di partenza. In particolare, la curva di calcolo presenta la stessa
rigidezza iniziale dell’iperbole interpolante, mentre il carico limite viene ridotto, moltiplicandolo per
un coefficiente UR = 1 – 3 FF, con FF filling factor (si veda nuovamente de Sanctis e Mandolini,
2006).
Come si può osservare in Fig. 4, il metodo coglie in maniera soddisfacente la curva carico-cedimento
della piastra su pali, mentre il metodo PDR lineare, considerando le rigidezze iniziali, fornisce una
previsione meno accurata. Simili considerazioni possono essere espresse per la ripartizione di carico
tra piastra e pali, riportata in Fig. 5 in funzione del cedimento.
Figura 3. Curve carico-cedimento di piastra e gruppo assunte (i dati FEM si riferiscono al caso n = 9, s/d = 8,
L/d = 20, B/d = 20).
Figura 4. Confronto tra metodo proposto e analisi numeriche in termini di curve carico-cedimento di platea su
pali e di piastra e pali, considerati appartenenti al sistema misto.
Raffaele Di Laora, Luca de Sanctis, Ylenia Mascarucci, Alessandro Mandolini
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Figura 5. Confronto tra metodo proposto e analisi numeriche in termini di ripartizione di carico tra platea e
pali.
Bibliografia
Caputo, V., Viggiani, C. (1984). “Pile foundation analysis: a simple approach to non linearity effects”. Rivista
Italiana di Geotecnica, vol. 18, n. 1, 32-51.
Clancy, P., Randolph, M.F. (1993). “An approximate analysis procedure of piled raft foundations”. International
Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol. 17, 849-869.
de Sanctis, L., Mandolini, A. (2006). ''Bearing capacity of piled rafts on soft clay soils”, Journal of Geotechnical
and Geoenvironmental Engineering, vol. 132 (12), 1600-1610.
de Sanctis, L., Mandolini, A., Russo, G., and Viggiani, C. (2002). “Some remarks on the optimum design of
piled rafts.” Proc., ASCE Deep Foundations 2002: An International Perspective on Theory, Design,
Construction, and Performance, Reston, Va., 405–425.
Mandolini, A., Russo, G. and Viggiani, C. (1997). “Pali per la riduzione dei cedimenti”. Atti delle Conferenze di
Geotecnica di Torino, XVI Ciclo, Torino.
Mandolini, A., Russo, G., Viggiani, C. (2005). “Piled foundations: Experimental investigations, analysis and
design.” State-of-the-Art Rep. Proc., 16th ICSMGE, Osaka, Japan, Vol. 1, 177–213.
Poulos H.G. (1968). “Analysis of the settlement of pile groups”. Geotechnique, vol. 18, 449-471.
Poulos, H.G. (2000). “Practical design procedures for piled raft foundations.”. Design applications of raft
foundations, J. A. Hemsley, ed., Thomas Telford, London, 425–467.
Poulos, H.G., Davis, E.H. (1980). “Pile Foundation Analysis and Design”. Wiley, New York.
Randolph, M. F. (1994). “Design methods for pile groups and piled rafts.”. State of the Art Rep., Proc., 13th
ICSMFE, Vol. 5, 61–82.
Russo, G., Viggiani, C. (1997). “Some aspects of numerical analysis of piled rafts”. Proc. XIV Int. Conf. Soil
Mech. Found. Eng., Hamburg, vol. 2, 1125-1128.
Viggiani, C. (1998). “Pile groups and piled rafts behavior”. Proc. 3rd Int. Geot. Seminar on Deep Foundations on
Bored and Auger Piles, Ghent, 77-94.
Raffaele Di Laora, Luca de Sanctis, Ylenia Mascarucci, Alessandro Mandolini

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