Lavoro e Energia

Il sistema
cardiocircolatorio
di i
l t i
Quali sono le forze
in gioco?
Lavoro
F
θ
Fcosθ
A
s
L A →B = Fs cos θ = F • s
B
L=0 se θ=90°o s=0
anche se F ≠ 0
Di
Dimensioni
i i [L]
[ ] = [L2] [M] [T-22]
Unità di misura: [SI] jjoule (J) 1 J ≡ 1 N.m
[CGS] erg
1 erg ≡ 1 dina.cm
Fattore di ragguaglio
gg g
1 J= 107 erg
Lavoro definizione generale
(forza variabile e traiettoria non
rettilinea)
LA→ B = ∑ Fi • Δs i = ∑ Fi Δsi cos θi
i
i
∆s1∆s2
A
∆s7 B
F7
F6
F5
F
4
F3
F2
F1
Energia Cinetica
Energia ≡ capacità di produrre lavoro
1
EC ≡ mv 2
2
Energia cinetica ≡ capacità di un corpo, in quanto
d t t di moto,
dotato
t di produrre
d
llavoro.
Dimensioni [EC] = [L2] [M] [T-2]
Unità di misura: [SI] joule (J) 1 J ≡ 1 N.m
[CGS] erg
1 erg ≡ 1 dina.cm
Teorema delle forze vive
F
θ
Fcosθ
s
A
B
L A → B = F • s = Fs cos θ = (F cos θ )s = (ma )s =
= m (as ) =
L A →B
(
)
m 2
1
1
v B − v A2 = mv B2 − mv A2
2
2
2
1
2 1
= mv B − mv A2 = EC B − EC A = Δ EC
2
2
Potenza
Rapidità con cui viene sviluppata una certa quantità di
lavoro.
ΔL
P =
Δt
Di
Dimensioni
i i [P] = [L2] [M] [T-33]
Unità di misura: [SI]
[ ] watt ((W)) 1 W ≡ 1 J/s
[CGS] erg/s
Fattore di ragguaglio
1 W= 107 erg/s
Forze conservative: Energia Potenziale
• Campi di forze ≡ regioni dello spazio in cui sono misurabili
punto p
perr punto delle forz
forze
Es.: campo gravitazionale, campo elettrico, campo magnetico
• Campi conservativi ≡ campi in cui il lavoro non dipende
dal percorso, ma solo dalle posizioni iniziale e finale
Es.: campo
p gravitazionale,
g
campo
p elettrico
A
LAB,1 = LAB,2 = LAB,3
1
2
L su un percorso chiuso =0
3
B
Lavoro della forza gravitazionale
A
L = Fs cos θ = F ⋅ s
L A B = mgl1
m
l1=AB
mg θ
hA
l =AC
l
l2=BC
l1
hB B
l2
C
L ACB = L AC + LCB = mgl cos θ + mgl2 cos 90o = mgl1
l1 = h A − h B
L AB = L ACB = mg (h A − h B ) = EPA − EPB
Energia potenziale gravitazionale del
EPA ≡ mgh
hA
corpo nell punto
t A:
A
Lavoro della forza elettrostatica
Energia Potenziale elettrostatica
Da rA a r1
FE = K
FE
Lr A →r1 = FE
Lr1 →r2
Lr A →r3
Qq
r A2
→ K
r A → r1
(r − rA ) = K
r A →r1 1
Qq
r12
Qq
=K
r A r1
⎛
⎞
Qq
(r1 − rA ) = KQq ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟
rAr1
⎝ r A r1 ⎠
⎛1 1 ⎞
⎛1 1⎞
= KQq
KQ ⎜⎜ − ⎟⎟ ; Lr2 →r3 = KQq
KQ ⎜⎜ − ⎟⎟ K
⎝ r1 r2 ⎠
⎝ r2 r3 ⎠
⎡⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤
⎛1 1⎞
= KQq
Qq ⎢⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟⎥ = KQq
Qq ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ r A r3 ⎠
⎣⎝ rA r1 ⎠ ⎝ r1 r2 ⎠ ⎝ r2 r3 ⎠⎦
L r A →r B
⎛1
1 ⎞
= KQq ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ rA rB ⎠
= EPA − EPB
r
rB
+
q
r2
r1
rA
+
q
+
Q
Variazione dell’Energia Potenziale elettrica
C si possibili
Casi
p ssibili di sp
spostamento
st m t di una q2 in
i p
presenza
s
di q1
⎛1
1 ⎞
Lr A →rB = KQq
Qq ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ rA rB ⎠
q1
q1
q1
q1
+
q2
F
+
L<0
q2
-
+
+
-
q2
+
+
L>0
F
F
L>0
q2
L<0
-
EP cresce
-
EP decresce
+
EP decresce
+
EP cresce
F
Esempio: Supponiamo di avere due cariche, q1=4.10-10 C e
q2=- 6.10-10 C,
C situate inizialmente a distanza r1= 3 cm.
cm
Qual’è la variazione di energia potenziale se la distanza
aumenta fino a 8 cm?.
Soluzione:
⎛1 1⎞
− ⎟⎟ =
⎝ r2 r1 ⎠
ΔEP = Kq1q 2 ⎜⎜
(
) (
)
1 ⎞
⎛ 1
= 9 × 10 9 × + 4 × 10 −10 × − 6 × 10 −10 ⎜
−
⎟ = 45 × 10 - 9 J .
⎝ 0.08 0,03 ⎠
Alcune Forze conservative
Forza
Legge
gg
Gravitazionale
FG = mg
elettrica
FE =
elastica
kQq
r2
Fel = −kx
Energia
g potenziale
p
EPG = mgh
EPE =
kQq
r
kx 2
EPel =
2
Teorema delle forze vive
F
θ
Fcosθ
s
A
B
L A → B = F • s = Fs cos θ = (F cos θ )s = (ma )s =
= m (as ) =
L A →B
(
)
m 2
1
1
v B − v A2 = mv B2 − mv A2
2
2
2
1
2 1
= mv B − mv A2 = EC B − EC A = Δ EC
2
2
Lavoro in p
presenza di forze conservative
e non conservative
Teorema delle
T
d ll
forze vive
(
)
Li → f = Lnc
i → f + EPi − EP f = EC f − EC i = ΔEC
Lnc
C + ΔEP
i → f = ΔEC
Lnc
i → f = (EC f + EP f ) − (EC i + EPi )
La variazione dell’energia meccanica di un sistema è
uguale al lavoro delle forze non conservative
Conservazione dell’energia meccanica
Teorema delle forze vive
Li → f = EC f − EC i = ΔEC
Se le forze agenti
g
sono conservative
Li → f = EPi − EP f = − Δ EP
Li → f = EC f − EC i = EPi − EP f
⇒ ΔEC = −ΔEP ⇒ EC i + EPi = EC f + EP f = E M = costante
EM=Energia
g meccanica
Salto con l’asta
energia meccanica
energia
g cinetica
(corsa)
(energia gravitazionale)
((energia
g elastica +gravitazionale)
g
z
)
energia potenziale
p
tempo
Esempio: Una palla viene lanciata verso il basso da
un’altezza
un
altezza h0 =3,0
=3 0 m dal suolo
suolo, con una velocità iniziale
v0 =2m/s. Calcolare l’altezza massima raggiunta dopo il
rimbalzo trascurando ogni
g dispersione
p
di energia
g nell’urto
e trascurando gli attriti con l’aria.
v 2 - v o2 = 2gh 0 ⇒ v 2 = v 0 + 2gh 0 = 4 + 2 x9.8 x3 = 62.8(m s )
2
2
v
0 - v 2 = 2gh ⇒ − v 2 = −2gh ⇒ h =
= 3. 2 m
2g
((leggi
gg della cinematica))
2
Esempio: Una palla viene lanciata verso il basso da un’altezza
h0 =3,0
=3 0 m dal suolo,
suolo con una velocità iniziale v0 =2m/s.
=2m/s
Calcolare l’altezza massima raggiunta dopo il rimbalzo
g dispersione
p
di energia
g nell’urto e
trascurando ogni
trascurando gli attriti con l’aria.
Soluzione. Applicando il principio della conservazione
Soluzione
dell’energia meccanica si ha:
1
mvo2 + mgh0 = mgh
2
v o2
22
h=
+ h0 =
+ 3 = 3,2 m.
2g
2 × 9,82
(Teorema delle forze vive)
Esempio: Un carrello di massa M = 5 kg viene
trascianto lungo
g un piano
p
orizzontale da una
forza F = 30 N che forma un angolo di 30°
con la direzione orizzonatale. Se il carrello
si muove con velocità costante, v = 3 m/s
m/s, si
determini: (a) la forza di attrito a cui è
soggetto il carrello, (b) la potenza dissipata
per attrito durante il moto
moto, (c) la forza di
contatto tra carrello e piano. (v. Es. 3-8)
Soluzione:
R
θ
M
Mg
F cosθ s − Fa s = 0
LF+LFa
F +LG+LR=0
(a)
Fcosθ − Fa = 0 ⇒ Fa = Fcosθ = 30 × cos30° = 26 N
(b)
Fa s
P=
= Fav = 26 × 3 = 78 watt
Δt
(c)
R = Mg - F sen θ = 5 × 9,8 - 30 ×
1
= 34 N
2
F
Esempio: La massa m=2 kg di un pendolo
viene lasciata andare dalla p
posizione A,
quando il filo è tenuto in posizione
orizzontale.
Se il filo ha lunghezza L
L=50
50 cm, qual
qual’è
è la
velocità della massa e quale la tensione
del filo quando la massa raggiunge il
punto più basso B? (Si consideri il filo
inestensibile e di massa trascurabile)
m
A
mg
T
B
mg
Soluzione
Le forze in gioco sono la forza di gravità e la forza di tensione del
filo:
LG + LT = ΔEC
mg (h A − h B ) =
1
mv B2
2
LT = 0
v B = 2g (h A − h B ) = 2gL = 2 × 9,8 × 0,5 = 3,13m/s
v B2
T − mg = mac ⇒ T = mg + m
= mg + 2mg
2
= 3mg = 58,8N
L
Esempio: Un blocco di peso P = 200 N è
per 2 m lungo
g un piano
p
inclinato di
trascinato p
30° rispetto all’orizzontale da una forza
costante F = 150 N diretta orizzontalmente.
Calcolare: (a) il lavoro LF fatto dalla forza F,
F
(b) il lavoro LP fatto dalla forza peso, (c) il
lavoro La compiuto dalla forza di attrito e
ll’intensità
intensità di tale forza,
forza supponendo che il
blocco si muova con velocità costante.
R
Fa
F
30°
30
Soluzione:
o
(a) L F = F × s × cos 30 = 150 × 2 × 0,87 = 260 J .
(b)
L P = P × s × cos 120° = −P × s × sen 30 o =
= −200 × 2 × 0,5 = −200 J .
(c)
Ltot = La + L P + L F = ΔEC = 0
La = −(L P + L F ) = −60 J.
P
Esempio: Un blocco di peso P = 200 N è
trascinato per 2 m lungo un piano inclinato di
p
all’orizzontale da una forza
30° rispetto
costante F = 150 N diretta parallelamente al
piano inclinato, Calcolare: (a) il lavoro LF
fatto dalla forza F,
F (b) il lavoro LP fatto dalla
forza peso, (c) il lavoro La compiuto dalla
forza di attrito, supponendo che il blocco si
muova con velocità costante,
costante d) la forza di
contatto tra blocco e piano.
Soluzione:
(a)
(b)
F
Fa
30°
30
P
L F = F × s = 150 × 2 = 300 J .
L P = P × s × cos 120° = −P × s × sen 30 o =
= −200 × 2 × 0,5 = −200 J .
(c)
R
Ltot = La + L P + L F = ΔEC = 0
La = −(L P + L F ) = 200 − 300 = −100 J.
R = Pcosθ =
= 200 × 0,87 =
= 174N
Esempio: La massa di un bambino più quella della sua slitta è M = 20 kg.
Calcolare il lavoro Lm necessario per portare bambino e slitta per un
tratto lungo
l
s =100
100 m llungo un pendio
d che
h f
forma un angolo
l d
di 30°
0°
rispetto all’orizzontale se la neve esercita una forza di attrito Fa = 50 N.
Una volta raggiunta
gg
la cima del pendio,
p
R
Fm
il bambino torna indietro scivolando sulla
slitta. Quali sono la sua velocità e la sua
energia cinetica quando arriva alla fine
Fa
della discesa?
Soluzione: Ltot = La + LG + Lm + L R = ΔEC = 0
(
)
s
Lm = −La − LG = Fa s + Mg h f − h i = Fa s + Mg
2
= 20 × 9,8 × 50 + 50 × 100 = 14800 J .
Ltot
t t = La + LG = ΔEC =
⇒
Mg
salita
1
mv 2f − 0
2
1
mv 2f = −50 × 100 + 20 × 9,8 × 50 = 4800 J .
2
v f = 21,9 m s.
discesa

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