Lezione_11 - Dipartimento di Fisica

Corso di Fisica Generale I
–
Laurea Triennale in Ing. Gestionale
–
A.A. 2014/2015
Conservazione dell’energia meccanica: applicazione
Una ragazza di massa m = 61 kg pratica il bungee jumping e
si trova su un ponte di altezza H = 45 m sul livello del fiume
sottostante. Sapendo che la ragazza usa una corda elastica di
lunghezza (a riposo) L = 25 m e costante elastica k = 160 N/m,
determinare la distanza dall’acqua, h, a cui si arrestano i suoi
piedi.
Durante il salto si conserva l’energia meccanica e quindi
∆Ug + ∆Ue + ∆K = 0
Ma quando la ragazza raggiunge il punto più basso è ferma e
quindi rispetto al punto di lancio la sua variazione di energia
cinetica è nulla. Perciò dovrà essere
1
∆Ug + ∆Ue = 0
⇒
mgh − mg(L + d + h) + kd2 = 0,
2
dove abbiamo indicato con d l’allungamento della corda. Quindi ricaviamo
s
!
p
mg
kL
mg + m2 g 2 + 2mgkL
=
1+ 1+2
= 17.9 m,
kd2 −2mgd−2mgL = 0 ⇒ d =
k
k
mg
e infine
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h = H − L − d = 2.1 m.
Energia, lavoro e conservazione dell’energia
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Oscillatore armonico: bilancio energetico
Per un oscillatore armonico (ed esempio, una massa collegata ad una molla), nel caso in cui la
massa m sia lasciata andare da ferma a partire da una posizione iniziale xi (x = 0 posizione
di riposo), posizione e velocità istantanea seguono le relazioni
x(t) = x0 cos(ωt)
e
v(t) = −ωx0 sin(ωt)
con
ω=
r
k
m
Da queste possiamo ricavare le espressioni seguenti dei valori istantanei delle energie potenziale e cinetica
Ue (x) =
1 2
1
kx = kx20 cos2 (ωt)
2
2
e
K(x) =
1
1
1
mv2 = mω 2 x20 sin2 (ωt) = kx20 sin2 (ωt)
2
2
2
dove si è utilizzato il fatto che mω 2 = k.
Quindi, per l’energia meccanica abbiamo
Emecc = Ue (x) + K(x) =
1 2
1
1
kx0 cos2 (ωt) + kx20 sin2 (ωt) = kx20
2
2
2
che ovviamente (essendo la forza elastica conservativa) è costante.
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Energia, lavoro e conservazione dell’energia
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Forze non conservative: dissipazione dell’energia
Supponiamo ora che sulla nostra particella, oltre a forze conservative, agiscano anche forze
non conservative. Ad esempio, le forze resistenti associate all’attrito o alla resistenza di un
mezzo, sono forze non conservative. In tal caso non possiamo fare appello alla conservazione
dell’energia meccanica, e quindi dobbiamo fare uso del teorema dell’energia cinetica e cioè
∆K = L = Lc. + Ln.c.
In tale espressione abbiamo scisso il lavoro delle forze conservative presenti, Lc. , da quello
delle forze non conservative, Ln.c. .
Quindi, ricordando che per le forze conservative esiste un’energia potenziale U (che potrebbe
essere anche la somma di più energie potenziali), possiamo scrivere
Lc. = −∆U
⇒
∆K = −∆U + Ln.c.
⇒
∆K + ∆U = ∆Emecc = Lnc
Quest’ultima ci permette di affermare: in presenza di forze non conservative la variazione dell’energia meccanica uguaglia il lavoro delle sole forze non conservative.
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Applicazione
Un corpo di massa m = 2 kg scivola lungo un piano inclinato di un’angolo θ = 30◦ rispetto
all’orizzontale. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è µk = 0.3 e il corpo parte da
fermo, determinare la velocità raggiunta dal corpo dopo aver scivolato lungo il piano inclinato
per una distanza l = 2.5 m.
Durante il moto il corpo scende di una quota h = l sin θ = l/2. Corrispondentemente la
variazione di energia meccanica tra le posizioni finale e iniziale è
∆Emecc = ∆K + ∆U =
1
1
mvf2 − mgh = mv2 − mgl sin θ
2
2
D’altra parte, il lavoro delle forze non conservative è pari a
Ln.c. = −fk l = −µk N l = −µk mgl cos θ
Perciò, ricaviamo
∆Emecc = Ln.c.
⇒
⇒
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1
mv2 − mgl sin θ = −µk mgl cos θ
2
q
p
√
v = 2gl(sin θ − µk cos θ) = gl(1 − 3µk ) = 3.43 m/s.
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Energia potenziale: calcolo della forza
Immaginiamo che un corpo si muova lungo una retta (asse x) e che in ogni punto ad esso
competa un’energia potenziale U (x). Prima di tutto si può osservare che
Z xf
Z xf
Z xf
~ · d~
~ · ˆi dx = −
~
∆U = −L = −
s=−
F
F
Fx dx
o
dU = −dL = −Fx dx
xi
xi
xi
e che quindi la componente della forza lungo l’asse x è pari a
dU (x)
.
dx
Generalizziamo l’idea: se siamo in una regione dove esiste una forza conservativa con energia
~
potenziale U = U (x, y, z) e consideriamo uno spostamento infinitesimo d~
s in una direzione
qualsiasi, potremo sempre scrivere
dU
~ · d~
~
s = −F cos φ ds = −Fs ds
⇒
Fs = −
dU = −F
ds
~
~
~
~
s.
s e Fs è la componente di F lungo lo spostamento d~
dove φ è l’angolo tra F e d~
~
Considerando quindi dei d~
s elementari lungo i tre assi coordinati, avremo
∂U
∂U
∂U
; Fy = −
; Fz = −
;
Fx = −
∂x
∂y
∂z
∂U ∂U ∂U
∂U ˆ
~ = − ∂U ˆi − ∂U ˆ
~
F
∇U
o
j−
k =−
,
,
≡ −grad U ≡ −∇
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z
Fx = −
~ (nabla) indicano l’operatore differenziale associato
I simboli equivalenti grad (gradiente) e ∇
alle operazioni di derivazione considerate.
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Analisi delle curve dell’energia potenziale
Un corpo di massa m si muove lungo l’asse x soggetto ad una forza (netta) conservativa
diretta lungo lo stesso asse. Al corpo compete un’energia potenziale U = U (x).
Dal grafico della curva y = U (x) (grafico in rosso),
ricordando che
dU = −dL = −F (x)dx
⇒
F (x) = −
dU (x)
dx
è facile capire che la forza avrà l’andamento riportato in
basso dalla curva in blu. Si noti che nei punti dove la curva
di U ha un massimo o un minimo, F è nulla. Tali punti sono
detti punti di equilibrio. A seconda che il punto sia per U
di minimo o massimo il punto sarà di equilibrio stabile o
instabile, rispettivamente. I punti dove U è costante sono
invece detti punti di equilibrio indifferente.
Inoltre dato che durante il moto si deve conservare l’energia meccanica, cioè
Emecc = U (x) + K(x) = cost.
per un dato valore di Emecc , le intersezioni della retta con la curva di U corrispondono a
punti dove la velocità della particella è nulla. Questi sono detti punti di inversione.
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Conservazione dell’energia
L’osservazione sperimentale mostra che ogni qualvolta durante lo spostamento di una particella delle forze non conservative compiono lavoro, il movimento del corpo è accompagnato
da altri fenomeni fisici quali, ad esempio, produzione di calore, onde sonore, separazioni di
carica elettrica, reazioni chimiche, etc. . .
Questi fenomeni possono essere messi in relazione con la variazione di altre forme di energia
ad essi associate (energie termica, vibrazionale, elettrica, chimica, etc.) e si può vedere che,
entro l’accuratezza sperimentale, la somma di tutti questi contributi corrisponde al lavoro
compiuto dalle forze non conservative
δEterm + δEvibr + δEelettr + δEchim + . . . = Ln.c. .
(si sono utilizzati i δ per rimarcare la non–conservatività delle forze in questione).
Introducendo queste altre forme di energia, possiamo definire l’energia totale del sistema Etot
che corrisponde alla somma di Emecc e di tutte le altre energie associate alle particelle che
compongono il corpo e/o alle interazioni tra esse e l’ambiente. Le variazioni di tali quantità
sono sempre associate a scambi energetici (che in genere coinvolgono forze non conservative)
con l’ambiente circostante. Nel momento in cui si considera un sistema isolato e cioè un
sistema che non scambia energia con l’ambiente, tale quantità si conserva:
Etot = Emecc + Eterm + Evibr + Eelettr + Echim. + . . . = cost.
L’insieme di queste considerazioni costituisce il cosiddetto principio di conservazione
dell’energia. Esso è risultato sempre valido! Se talvolta nel passato in qualche caso è stato
messo in discussione, un’analisi più approfondita dei fenomeni e/o l’introduzione di modelli
e teorie più appropriate ne ha sempre confermato la validità.
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