Unità 4 - Lattes Editori

1 Il teorema di Pitagora
LA TEORIA
Il teorema di Pitagora riguarda tutti i triangoli rettangoli e afferma che:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei quadrati costruiti sui due cateti:
Q
Q = Q1 + Q2
Q1
Poiché i poligoni equivalenti hanno area uguale,
la relazione precedente diventa:
a
b
c
Area di Q = Area di Q1 + Area di Q2
Q2
Se indichiamo con a, b e c le misure dei lati dei
quadrati possiamo scrivere:
a2 = b2 + c2
dove:a = misura dell’ipotenusa
b = misura di un cateto
c = misura dell’altro cateto
a2 = b2 + c2
______
______
Formule inverse: b = √
a2 – c2   
c=√
a2 – b2  
U
na terna di numeri che soddisfa la relazione del teorema di Pitagora si chiama terna
pitagorica. Per esempio, i numeri 3, 4 e 5 sono una terna pitagorica in quanto:
32 + 42 = 52
Una terna pitagorica è primitiva se i numeri che la costituiscono sono primi fra loro.
GLI ESERCIZI
1 Verifica se le seguenti terne di numeri sono terne pitagoriche e in caso affermativo indica se
sono anche primitive:
5; 12; 13
Primitiva
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.................................................................................................
8; 15; 17
+ 15 = 64 + 225 = 289 = 17 Primitiva
..8
................................................................................................................................................................................
1,6; 3; 3,4
+ 3 = 2,56 + 9 = 11,56 = 3,4 Non è primitiva
..1,6
................................................................................................................................................................................
2
2
2
2
2
2
2
+ 482 = 196 + 2304 = 2500 = 502 Non è primitiva
14; 48; 50 ..14
................................................................................................................................................................................
2 Indica con una crocetta quali delle seguenti terne di numeri, espresse in metri, rappresentano
i lati di un triangolo rettangolo, essendo a l’ipotenusa:
44
a = 13
b = 5
c = 12
✗ a = 39
b = 36
c = 15
a = 40
b = 32
c = 25
a = 31
b = 24
c = 18
✗
Unità
Il
4
teorema di pitagora
e i teoremi di euclide
3 Calcola la misura dell’ipotenusa BC di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 60 cm e 63 cm.
C
AC = 60 cm
A
B
AB = 63________
cm
√
602 + 632  
= 87 cm
BC = ..................................................................................................................
4 In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e il cateto sono lunghi rispettivamente 8,5 cm e 4 cm.
Calcola la lunghezza dell’altro cateto.
C
cm
BC = ..8,5
................................................................................................................
_______
= 7,5 cm
√8,52 – 42  
AC = ..................................................................................................................
A
cm
AB = ..4
................................................................................................................
B
5 Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo che ha i cateti lunghi 30 m e 72 m.
C
30 m
180 m
AC = ...............................................
p = ..................................................
m
1080 m2
AB = ..72
.............................................
A = .................................................
A
B
m
BC = ..78
................................................................................................................
6 Calcola l’area del triangolo rettangolo e la sua ipotenusa, sapendo che la somma dei cateti è 62 cm
7
e che uno di essi è uguale a  ___   dell’altro.
24
AC + AB = 62 cm
C
7
AC = ___
      AB
24
Dalla proporzione AC : AB = 7 : 24, applicando la proprietà del comporre, si ottiene:
A
B
(AC + AB) : AC = (7 + 24) : 7 AC = 14
14 × 48
14 cm
_______
48 cm
e AB = .....................................
. L’area del triangolo è: .....................................
. cm2.
Quindi AC = .....................................
 
   
= 336
2
 
50 cm
Applicando il teorema di Pitagora si calcola la misura dell’ipotenusa: BC = ...........................................
.
45
1 Il teorema di Pitagora
7 I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 48 cm e 36 cm. Calcola la misura dell’altezza
AH relativa all’ipotenusa.
AB = 48 cm
C
H
AC = 36 cm
Con il teorema di Pitagora si calcola la misura dell’ipotenusa:
_______________
A
B
_____
48 2 + ............
36 2 cm  = √ ............
3600|  
BC = √   
............
cm =
60 cm
............
Per calcolare l’altezza AH occorre conoscere l’area del triangolo.
2×A
2 × 864
864 cm2
Area = .......................................
   
= .......................................
AH = h =  _____
 
   
= 28,8 cm
  _______
b
60  
dove A è l’area, h è l’altezza e b, in questo caso, coincide con BC (ipotenusa).
5
     dell’al8 Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che i cateti sono uno ___
12
tro e che la loro somma è 68 cm.
C
AB + AC = 68 cm
5
AC = ___
      AB
12
A
B
Si imposta la proporzione e si applica la proprietà del comporre: AC = 20 cm AB = 48 cm
52 cm
BC = ...................................................................................................................................................................................................
480 cm2
Area = ...............................................................................................................................................................................................
120 cm
Perimetro = ....................................................................................................................................................................................
Giochiamo insieme
Aiutandoti con le tavole numeriche risolvi il cruciverba numerico.
1
Orizzontali
____
3- 252. 6- 182. 8- 2 × 5. 9- 2242 − 82.
1- √144 . 
12- 23 × 181. 13- 262 − 42. 15- 3492.
2
6
7
9
11
Verticali
1- 32 + 22. 2- 152. 4- 462. 5- 7092 − 300.
7- 2012. 10- 1072 − 802 − 712 + 3.
11- 312. 14- 82 − 21.
3
13
4
5
8
10
12
14
15
soluzioni a pag. 138
46
di Pitagora
2 Ile iteorema
problemi di geometria
GLI ESERCIZI
1 In un triangolo isoscele la base misura 28 cm e l’altezza CH misura 48 cm. Calcola il perimetro
del triangolo.
C
AB = 28 cm
CH = 48 cm
1
cm
..........................................
AH =  __   AB = 14
2
50 cm
Applicando il teorema di Pitagora si trova: AC = .....................
A
H
cm
quindi il perimetro è: 128
................................................................................
B
2 Calcola la misura della diagonale del quadrato sapendo che il perimetro è 64 cm.
D
C
p = 64 cm
cm
AD = ..16
................................................................................................................
A
_
B
AC = ..................................................................................................................
16 √2  cm = 22,6 cm
3 Calcola la misura della diagonale e l’area del rettangolo che ha il perimetro di 68 cm e un lato
di 24 cm.
D
C
p = 68 cm
AB = 24 cm
cm
BC = 10
..................................................................................................................
A
B
26 cm
240 cm2
AC = .................................................
; Area = ................................................
4 Calcola il perimetro di un rombo che ha l’area di 2520 cm2 e una diagonale lunga 90 cm.
D
A
C
A = 2520 cm2
BD = 90 cm
AC
= 56 cm DC = 53 cm
...............................................................................................................................
B
48
p = 212 cm
...............................................................................................................................
Unità
Il
4
teorema di pitagora
e i teoremi di euclide
5 Calcola l’area di un trapezio rettangolo, sapendo che le due basi sono lunghe rispettivamente
32 cm e 43 cm e che la diagonale minore misura 68 cm.
D
AB = 43 cm
C
DC = 32 cm
AC = 68 cm
AD = 60 cm
...............................................................................................................................
A
B
A = 2250 cm
...............................................................................................................................
2
6 Calcola l’area di un trapezio isoscele che ha le basi lunghe rispettivamente 16 cm e 30 cm e
ognuno dei lati obliqui lungo 25 cm.
AB = 30 cm
D
C
DC = 16 cm
AD = BC = 25 cm
AK = BH = 7 cm
...............................................................................................................................
A
K
H
B
CH = DK = 24 cm A = 552 cm
...............................................................................................................................
2
7 Un parallelogramma ABCD ha l’area di 420 cm2 e l’altezza DH misura 15 cm. Sapendo che
l’angolo Â = 45°, calcola il perimetro del parallelogramma.
D
C
D
DH = 15 cm

A = 45°
45°
A
area = 420 cm2
H
B
AB = 28 cm AD = 21,2 cm
...............................................................................................................................
p = 98,4 cm
...............................................................................................................................
Giochiamo insieme
Aiutandoti con le tavole numeriche risolvi il cruciverba numerico.
Orizzontali
_______
122 + 92 . 
1- 42. 3- 92 + 122. 5- √
____
576 . 
6- 72. 7- 6552 − 1302 + 312. 10- √
________
____
412 − 402  × 10. 13- √ 100 . 
14- (392 − 26).
11- √
  
Verticali
1- 57 × 2. 2- (252 + 13 × 2) × 10 + 2.
3- Area del triangolo di base 20 cm e di altezza 24 cm.
________
  
302 + 162 .
4- (532 + 132 + 11) × 10. 8- √
_________
_____
7,52 − 4,52  × 10. 12- √
5041 . 
13- 3 × 5.
9- √
  
1
2
3
5
6
7
8
9
10
12
4
11
13
14
soluzioni a pag. 138
49
3 I teoremi di Euclide
LA TEORIA
1° teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione
del cateto stesso sull’ipotenusa.
C
AB : AC = AC : AH
AB : BC = BC : BH
A
B
H
proiezione
di CA
proiezione
di BC
2° teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
C
altezza relativa
all'ipotenusa
AH : CH = CH : HB
A
B
H
proiezione
di CA
proiezione
di BC
GLI ESERCIZI
1 In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 25 dm e la proiezione del cateto minore misura 9
dm. Calcola il perimetro del triangolo.
Calcola la misura di AC applicando il 1° teorema di Euclide:
= 15 dm
...........................
AB : AC = AC : AH → AC
C
Calcola la misura di BC con il teorema di
Pitagora:
AB = 25 dm
AH = 9 dm
_________
2
dm
AC2 dm = 20
  
− ........... 
....................................
BC = √AB
AB + BC + AC = 60 dm
p = ................................................................................
50
A
H
B
Unità
Il
4
teorema di pitagora
e i teoremi di euclide
2 In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 180 cm e un cateto 60 cm. Determina la misura
della proiezione di quel cateto sull’ipotenusa e il perimetro del triangolo.
C
AB = 180 cm
A
B
H
AC = 60 cm
Calcola la misura di AH applicando il 1° teorema di Euclide:
→ AB : AC = AC : AH AH = 20 cm BC = 169,7 cm
................................................................................................................................................................................................................
AB + BC + CA = 409,7 cm
p = ......................................................................................................................................................................................................
3 In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa misura 24 cm e la proiezione di un
cateto sull’ipotenusa misura 18 cm. Calcola la misura della proiezione dell’altro cateto.
C
CH = 24 cm
A
B
H
AH = 18 cm
Calcola la misura di HB applicando il 2° teorema di Euclide:
→ HB = 32 cm
AH : CH = CH : HB ................................................................................................................................................................................................................
4 In un triangolo rettangolo la proiezione di un cateto sull’ipotenusa e l’altezza relativa all’ipotenusa misurano rispettivamente 19,8 cm e 26,4 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
C
HB = 19,8 cm
A
B
H
CH = 26,4 cm
Calcola la misura di AH applicando il 2° teorema di Euclide:
→ AH : CH = CH : HB AH = 35,2 cm AB = AH + HB = 55 cm
................................................................................................................................................................................................................
Calcola la misura dei cateti applicando il teorema di Pitagora:
AC = 44 cm BC = 33 cm
................................................................................................................................................................................................................
132 cm =
...............................................................................................
726 cm2
p = ...............................................................................................
A
51
3 I teoremi di Euclide
5 Considera il triangolo rettangolo in figura e completa la tabella applicando il 2° teorema di Euclide.
C
A
B
H
AH (cm)
HB (cm)
CH (cm)
36
25
30
25
9
15
35,2
19,8
26,4
16
25
20
6 Considera il triangolo in figura e completa applicando il 1° teorema di Euclide.
C
A
B
H
AH = 20 cm
AB = 180 cm
60 cm
CA = ............
CA = 18 cm
AH = 10,8 cm
30 cm
AB = ............
AH = 18 cm
AB = 50 cm
30 cm
CA = ............
7 In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente
18 cm e 32 cm. Calcola l’area del triangolo.
C
AH = 18 cm
A
B
H
HB = 32 cm
Calcola la misura dell’altezza CH applicando il 2° teorema di Euclide.
18
32 : CH = CH : ............
_________
_____
18 cm = √ ............
576 |  
CH = √  
32 × ............ 
cm = 24 cm
AH + ............
HB cm = ............
50 cm
AB = ............
50
24  
600 cm2
A = _________
  
  ............ ×
 
cm2 = ............
2
52
Unità
4
L'angolo
del problema
1 Le dimensioni di un rettangolo ABCD misurano rispettivamente 6,5 cm e 15,6 cm. Condotta dal vertice C la perpendicolare CE alla diagonale BD, calcola la lunghezza dei due
segmenti BE ed ED.
Ti do una mano...
D
C
Calcoliamo la misura di BD con il teorema di Pitagora:
________
2
16,9 cm
BD = √AB
  
+ BC2  = ......................................
BD coincide con l’ipotenusa del triangolo BCD.
E
A
B
Per calcolare BE si applica il 1° teorema di Euclide:
BD : BC = BC : BE → BE = 2,5 cm
.......................................................................................
BE = ............
14,4 cm
ED = BD − ............
AB = 15,6 cm
BC = 6,5 cm
[2,5 cm; 14,4 cm]
2 In un triangolo rettangolo ABC il segmento
DE è parallelo al cateto AC che misura 4,2
cm. La lunghezza del segmento BD misura
4 cm e quella del segmento DH misura
1,44 cm. Calcola il perimetro e l’area del
triangolo ABC.
C
E
A
K
DH
B
Prova da solo!

Essendo DE // AC i due triangoli DBE e ABC sono simili perché hanno l’angolo B in comuBD = 4 cm DH = 1,44 cm → HB = BD − DH = 2,56 cm
ne e ............................................................................................................................................................................................
DH : EH = EH : HB → EH = 1,92 cm
.......................................................................................................................................................................................................
________
________
= 2,4 cm BE = √
EH 2 + HB 2  
= 3,2 cm
ED = √EH 2 + DH 2  
.......................................................................................................................................................................................................
Tramite proporzioni si possono calcolare i lati del triangolo ABC simile al triangolo DBE:
AC : ED = BC : BE → BC = 5,6 cm
.......................................................................................................................................................................................................
AC : ED = AB : BD → AB = 7 cm
AC : ED = CK : EH → CK = 3,36 cm
.......................................................................................................................................................................................................
Perimetro di ABC: 16,8 cm Area di ABC: 11,76 cm2
[16,8 cm; 11,76 cm2]
.......................................................................................................................................................................................................
53

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