TENDE DA SOLE

Esercizio 1: Un blocco di massa m A=0.5 kg poggia su un piano scabro
inclinato di un angolo θ=30o .
(a) Determinare il valore del coefficiente di attrito statico μ s che permette al
corpo di rimanere in equilibrio.
(b) Supponendo ora d'imprimere al blocco una velocita' v=1 m/ s , parallela al
piano e diretta verso il basso, calcolare la velocita' del blocco dopo aver
percorso un tratto lungo l =2 m , Si assuma che il coefficiente di attrito
dinamico μ d sia uguale al valore di μ s precedentemente trovato.
Soluzione
(a) Il blocco appoggiato sul piano rimane in equilibrio se la risultante delle forze e'
nulla:
⃗ =0
F⃗g + ⃗
f s+ N
Proiettando l' equazione sull' asse x e y si ottiene
asse x:
asse y:
−μ s N +Mg sin θ=0 .
N −Mg cos θ=0
da cui si ricava:
N =Mg cosθ
μ s=Mg sin θ/ N =sin θ/cos θ=1/ √ 3=0.6
(b) Dal teorema lavoro-energia cinetica si ottiene
1
1
Δ K = M v 2f − M vi2 =L g +L att
2
2
.=Mg l sin θ−μ d Mg l cos θ
.=Mgl (sin θ−μ d cos θ)
2
√3
.=0.5 kg ×9.8 m/ s ×2 m (0.5−0.6× )=−0.19 J
2
L' energia cinetica finale, dopo il tratto l vale quindi
1
1
M v2f =Δ K + M vi2=−0.2 J +0.5×0.5 Kg×(1m/ s)2 =0.05 J .
2
2
La velocita' alla fine del tratto l e' pari a
v f = √ 0.05×2 / M =0.48 m/ s∼0.5 m/ s
Esercizio 2: Una zattera di legno di densita' ρl uguale a meta' di quella
dell' acqua ρa , dimensioni 0.5 m x 0.8 m e spessore h=0.1 m , si trova in
acqua. Si calcoli:
a) Lo spessore h imm della zattera che risulta immerso all'equilibrio
b) la massa m s e il volume V s di sabbia con densita' ρs =1.5 ρa che puo'
essere caricata sulla zattera in modo che all'equilibrio lo spessore immerso sia
pari a h imm =0.09 m
Soluzione:
(a) All' equilibrio si avra'
ρl V g=ρa V imm g
e quindi
ρl ( A h) g =ρa ( Ah imm) g
da cui
dove h = 0.1 m e
A=(0.5×0.8)=0.4 m
2
himm =(ρL /ρa ) h=h /2=0.05 m.
(b) Nel caso in cui la zattera venga caricata con la sabbia siano ms
rispettivamente la massa e il volume della sabbia, Pertanto
e Vs
ρ L ( Ah ) g +ms g =ρa ( A h imm) g
dove himm 0.09 m , ρa =10 3 kg /m3 , ρL =0.5⋅10 3 Kg /m3 .
ms =16 kg
Si ricava quindi
e poiche'
3
ρs =1.5⋅10 kg /m
3
si ottiene
3
V s =0.0107 m .
Esercizio 3
Una lamina piana infinita e' carica uniformemente con densita' di carica
−9
2
σ =+10 C /m . La lamina e' posta nell'origine degli assi cartesiani (x,y),
perpendicolarmente all' asse x. Nel punto A di coordinate (2d,0) con d = 1m
e'posta una carica Q=+10−9 C . Si calcoli
a) Modulo, direzione e verso del campo elettrico totale nel punto B = (d,0) ;
b) Il lavoro compiuto dalla forza elettrica dovuta alla lamina, dalla forza
elettrica dovuta alla carica Q e dalla forza elettrica totale per portare una carica
di prova q0=+10−12 C dal punto B al punto C = (d,d);
[ Ricordiamo che ϵ 0=8.85⋅10−12 C 2 / N m2 , k =8.99⋅109 N m2 /C 2 ]
Soluzione:
a) Il campo creato dalla lamina nel punto (d,0), E⃗L e' perpendicolare alla lamina con
verso uscente dalla lamina e vale E⃗L =σ/ 2 ϵ0 ̂i . Il campo elettrostatico creato dalla carica
Q nel punto B=(d,0), E⃗Q e' diretto lungo la congiungente Q e il punto B verso uscente da
Q e ha modulo ∣E⃗Q∣=k Q /d 2 .
Pertanto E⃗Q =k Q / d 2 ̂i . Il campo elettrostatico totale nel punto B=(d,0) e' la somma
vettoriale di E⃗L e E⃗Q . Sostituendo si ottiene E⃗L =56.5( N /C ) ̂i ,
E⃗Q =−9( N /C ) ̂i . Il campo totale E⃗tot=47.5( N /C) ̂i .
b) Il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica creata dalla lamina e' nullo in quanto la forza
e lo spostamento sono perpendicolari. Il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica dovuto
alla carica Q si calcola come LQ =U ( B)−U (C )=k Q q0 / d −k Q q0 /(d √ 2) . Sostituendo i
valori numerici si trova LQ =2.6⋅10−12 J . Ovviamente il lavoro totale coincide con LQ
Esercizio 4 Il circuito elettrico mostrato in figura si compone delle resistenze
R1=4 k Ω e R2=12 k Ω dei condensatori C1=0.2 mF e C2=0.8 mF e di un
generatore di tensione E0=120V . Inizialmente il generatore e' connesso al
circuito e questo raggiunge lo stato stazionario in cui i due condensatori sono
carichi. In questa condizione calcolare:
a) la potenza totale dissipata per effetto Joule nel circuito;
b) la differenza di potenziale ai capi del condensatore C2.
Ad un certo istante si esclude il generatore di tensione e si chiude il circuito su
un tratto di conduttore di resistenza trascurabile:
c) Calcolare il tempo necessario affinche' la tensione ai capi della resistenza R1
si riduca a meta' del valore iniziale;
d) Calcolare l' energia complessiva dissipata durante la scarica.
Soluzione
In condizione stazionarie non passa corrente nel ramo dei condensatori e la potenza
dissipata per effetto Joule nel circuito e'
2
E0
P= E 0 I =
=0.9 W .
R 1+R 2
La differenza di potenziale ai capi del ramo che comprende i due condensatori e' :
V =E 0
R2
. La differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore e' ricavabile
R 1+R 2
tenendo conto della composizione in serie di due condensatori . Indicando con V1 la
tensione ai capi di C1 si ha
V 1=V
C2
C2
R2
=
E =72V .
C 1+C 2 C 1+C 2 R1+R 2 0
Per il modulo della carica Q presente sui condensatori si ha:
Q=Q1=Q2
Q=C 1 V 1
C C
R2
Q 2= 1 2
E =14.4 m C
C 1+C 2 R1+R 2 0
Quando i due deviatori sono posti ad escludere il generatore, il circuito evolve come un
circuito RC con condensatore inizialmente carico. La resistenza del circuito e' la resistenza
equivalente al parallelo tra R1 e R2 e la capacita' equivalente alla serie tra i due
condensatori. Il tempo necessario affinche' la tensione dimezzi e' dato da:
t=τ ln (2)=0.69 τ
C C
R 2 R1
τ=RC = 1 2
E
C 1+C 2 R1 +R 2 0
t=0.33 s
L' energia complessiva dissipata nel circuito durante la scarica corrisponde alla energia
immagazzinata inizialmente nei due condensatori
(
)
2
R2
1
1 C1 C2
P d = C (V 2 )=
E 20=0.648 W .
2
2 C 1+C 2 R 1+ R2

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