Esercizio 1: Un blocco di massa m A=0.5 kg poggia su un piano scabro inclinato di un angolo θ=30o . (a) Determinare il valore del coefficiente di attrito statico μ s che permette al corpo di rimanere in equilibrio. (b) Supponendo ora d'imprimere al blocco una velocita' v=1 m/ s , parallela al piano e diretta verso il basso, calcolare la velocita' del blocco dopo aver percorso un tratto lungo l =2 m , Si assuma che il coefficiente di attrito dinamico μ d sia uguale al valore di μ s precedentemente trovato. Soluzione (a) Il blocco appoggiato sul piano rimane in equilibrio se la risultante delle forze e' nulla: ⃗ =0 F⃗g + ⃗ f s+ N Proiettando l' equazione sull' asse x e y si ottiene asse x: asse y: −μ s N +Mg sin θ=0 . N −Mg cos θ=0 da cui si ricava: N =Mg cosθ μ s=Mg sin θ/ N =sin θ/cos θ=1/ √ 3=0.6 (b) Dal teorema lavoro-energia cinetica si ottiene 1 1 Δ K = M v 2f − M vi2 =L g +L att 2 2 .=Mg l sin θ−μ d Mg l cos θ .=Mgl (sin θ−μ d cos θ) 2 √3 .=0.5 kg ×9.8 m/ s ×2 m (0.5−0.6× )=−0.19 J 2 L' energia cinetica finale, dopo il tratto l vale quindi 1 1 M v2f =Δ K + M vi2=−0.2 J +0.5×0.5 Kg×(1m/ s)2 =0.05 J . 2 2 La velocita' alla fine del tratto l e' pari a v f = √ 0.05×2 / M =0.48 m/ s∼0.5 m/ s Esercizio 2: Una zattera di legno di densita' ρl uguale a meta' di quella dell' acqua ρa , dimensioni 0.5 m x 0.8 m e spessore h=0.1 m , si trova in acqua. Si calcoli: a) Lo spessore h imm della zattera che risulta immerso all'equilibrio b) la massa m s e il volume V s di sabbia con densita' ρs =1.5 ρa che puo' essere caricata sulla zattera in modo che all'equilibrio lo spessore immerso sia pari a h imm =0.09 m Soluzione: (a) All' equilibrio si avra' ρl V g=ρa V imm g e quindi ρl ( A h) g =ρa ( Ah imm) g da cui dove h = 0.1 m e A=(0.5×0.8)=0.4 m 2 himm =(ρL /ρa ) h=h /2=0.05 m. (b) Nel caso in cui la zattera venga caricata con la sabbia siano ms rispettivamente la massa e il volume della sabbia, Pertanto e Vs ρ L ( Ah ) g +ms g =ρa ( A h imm) g dove himm 0.09 m , ρa =10 3 kg /m3 , ρL =0.5⋅10 3 Kg /m3 . ms =16 kg Si ricava quindi e poiche' 3 ρs =1.5⋅10 kg /m 3 si ottiene 3 V s =0.0107 m . Esercizio 3 Una lamina piana infinita e' carica uniformemente con densita' di carica −9 2 σ =+10 C /m . La lamina e' posta nell'origine degli assi cartesiani (x,y), perpendicolarmente all' asse x. Nel punto A di coordinate (2d,0) con d = 1m e'posta una carica Q=+10−9 C . Si calcoli a) Modulo, direzione e verso del campo elettrico totale nel punto B = (d,0) ; b) Il lavoro compiuto dalla forza elettrica dovuta alla lamina, dalla forza elettrica dovuta alla carica Q e dalla forza elettrica totale per portare una carica di prova q0=+10−12 C dal punto B al punto C = (d,d); [ Ricordiamo che ϵ 0=8.85⋅10−12 C 2 / N m2 , k =8.99⋅109 N m2 /C 2 ] Soluzione: a) Il campo creato dalla lamina nel punto (d,0), E⃗L e' perpendicolare alla lamina con verso uscente dalla lamina e vale E⃗L =σ/ 2 ϵ0 ̂i . Il campo elettrostatico creato dalla carica Q nel punto B=(d,0), E⃗Q e' diretto lungo la congiungente Q e il punto B verso uscente da Q e ha modulo ∣E⃗Q∣=k Q /d 2 . Pertanto E⃗Q =k Q / d 2 ̂i . Il campo elettrostatico totale nel punto B=(d,0) e' la somma vettoriale di E⃗L e E⃗Q . Sostituendo si ottiene E⃗L =56.5( N /C ) ̂i , E⃗Q =−9( N /C ) ̂i . Il campo totale E⃗tot=47.5( N /C) ̂i . b) Il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica creata dalla lamina e' nullo in quanto la forza e lo spostamento sono perpendicolari. Il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica dovuto alla carica Q si calcola come LQ =U ( B)−U (C )=k Q q0 / d −k Q q0 /(d √ 2) . Sostituendo i valori numerici si trova LQ =2.6⋅10−12 J . Ovviamente il lavoro totale coincide con LQ Esercizio 4 Il circuito elettrico mostrato in figura si compone delle resistenze R1=4 k Ω e R2=12 k Ω dei condensatori C1=0.2 mF e C2=0.8 mF e di un generatore di tensione E0=120V . Inizialmente il generatore e' connesso al circuito e questo raggiunge lo stato stazionario in cui i due condensatori sono carichi. In questa condizione calcolare: a) la potenza totale dissipata per effetto Joule nel circuito; b) la differenza di potenziale ai capi del condensatore C2. Ad un certo istante si esclude il generatore di tensione e si chiude il circuito su un tratto di conduttore di resistenza trascurabile: c) Calcolare il tempo necessario affinche' la tensione ai capi della resistenza R1 si riduca a meta' del valore iniziale; d) Calcolare l' energia complessiva dissipata durante la scarica. Soluzione In condizione stazionarie non passa corrente nel ramo dei condensatori e la potenza dissipata per effetto Joule nel circuito e' 2 E0 P= E 0 I = =0.9 W . R 1+R 2 La differenza di potenziale ai capi del ramo che comprende i due condensatori e' : V =E 0 R2 . La differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore e' ricavabile R 1+R 2 tenendo conto della composizione in serie di due condensatori . Indicando con V1 la tensione ai capi di C1 si ha V 1=V C2 C2 R2 = E =72V . C 1+C 2 C 1+C 2 R1+R 2 0 Per il modulo della carica Q presente sui condensatori si ha: Q=Q1=Q2 Q=C 1 V 1 C C R2 Q 2= 1 2 E =14.4 m C C 1+C 2 R1+R 2 0 Quando i due deviatori sono posti ad escludere il generatore, il circuito evolve come un circuito RC con condensatore inizialmente carico. La resistenza del circuito e' la resistenza equivalente al parallelo tra R1 e R2 e la capacita' equivalente alla serie tra i due condensatori. Il tempo necessario affinche' la tensione dimezzi e' dato da: t=τ ln (2)=0.69 τ C C R 2 R1 τ=RC = 1 2 E C 1+C 2 R1 +R 2 0 t=0.33 s L' energia complessiva dissipata nel circuito durante la scarica corrisponde alla energia immagazzinata inizialmente nei due condensatori ( ) 2 R2 1 1 C1 C2 P d = C (V 2 )= E 20=0.648 W . 2 2 C 1+C 2 R 1+ R2
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