Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali Anno Accademico 2013-2014 Terzo Appello 16/7/2014 Tempo a disposizione 1h:45min 1. Si considerino due sistemi lineari in cascata. Se essi sono tempo-varianti, la risposta all’impulso globale cambia cambiandone l’ordine? Nel caso entrambi i sistemi siano tempo-invarianti, se la risposta all’impulso globale `e causale saranno casuali anche le risposte all’impulso dei singoli sistemi? Per entrambi i quesiti mostrare come si `e giunti alla risposta data. 2. Calcolare l’antitrasformata z della seguente espressione X(z) = 1 + 2z −2 1 + z −2 Disegnare la posizione di poli e zeri nel piano z 3. Determinare la convoluzione della seguente coppia di segnali utilizzando la trasformata z n 1 x1 (n) = u(n − 1); 4 n 1 x2 (n) = 1 + u(n) 2 4. Calcolare la Trasformata di Fourier tempo discreto (DTFT) della seguente sequenza [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] si assuma che il campione corrispondente ad n = 0 sia quello centrale. La trasformata `e reale o complessa? 5. Sia dato il sistema y(n) = 0.999y(n−1)+x(n) realizzato in aritmetica a virgola fissa a 8 bit. Come viene approssimato il coefficiente che moltiplica y(n−1)? Quale sar`a la potenza del rumore in uscita dovuta all’arrotondamento del moltiplicatore? 6. Valutare la relazione fra y(n) ed x(n) facendo riferimento allo schema seguente (1+z-1)/2 ↓2 ↑2 (1+z-1) + x(n) + (1-z-1) ↓2 ↑2 (z-1-1)/2 + y(n) Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali Anno Accademico 2013-2014 Terzo Appello 16/7/2014 Soluzione degli esercizi proposti 1. Si consideri ad esempio y1 (n) = nx(n) e y2 (n) = nx(n + 1) si ha y2 (n) = ny1 (n + 1) = n(n + 1)x(n + 1) = n(n + 1)δ(n + 1) = 0, y1 (n) = ny2 (n) = n2 x(n ∗ 1) = n2 δ(n + 1) le due risposte all’impulso sono diverse fra loro e quindi invertendo l’ordine (nel caso di sistemi lineari tempo varianti) si cambia il funzionamento del sistema globale. Se si prende y1 (n) = x(n + 1) e y2 (n) = x(n − 2) e si mettono in cascata si ottiene y2 (n) = y1 (n−2) = x(n−1) quindi pur essendo il sistema globale causale, uno dei due sistemi che lo compongono non `e causale. 2. Si ha X(z) = 1 z −2 1 1 + 2z −2 = + =2− −2 −2 1+z 1+z 1 + z −2 1 + z −2 perci` o x(n) = x(n) = π π n u(n) + 2 cos (n − 2) u(n − 2) 2 2 π n u(n) 2δ(n) − cos 2 cos 3. Si ha 1 z −1 4 1 − 41 z −1 1 1 + X2 (z) = −1 1−z 1 − 21 z −1 4 − 43 1 −1 2 3 Y (Z) = X1 (z)X2 (z) = z + + 4 1 − z −1 1 − 41 z −1 1 − 12 z −1 " n−1 n−1 # 1 1 1 1 1 + + u(n − 1) y(n) = − 3 4 3 2 2 X1 (z) = 4. Si ha X(ω) = X x(n)e−jωn n = ej4ω + ej2ω + 1e−j2ω + e−j4ω = 1 + 2 cos(2ω) + 2 cos(4ω) 5. Utilizzando una aritmetica a virgola fissa 8 bit i numeri rappresentabili vanno da 1 − (1/2)7 a −27 /27 = −1, perci` o 0.999 viene approssimato con 1 − (1/2)7 ' 0.992. La potenza dell’errore di arrotondamento `e data σe2 = 2−2·8 1 ' 3.19 · 10−4 3 1 − 0.9922 6. Prima di tutto si ricordi che la cascata di un sotto-campionatore di fattore 2 e di un interpolatore, sempre di fattore 2, con ingresso U (z) ha in uscita 1/2U (z) + 1/2U (−z). L’uscita del ramo superiore sar`a data 14 (1 − z −2 )(1 + z −1 ), mentre l’uscita del ramo inferiore corrisponde a 41 (1 − z −2 )(z −1 − 1) sommando le due uscite parziali si ha Y (z) = 12 z −1 , conseguentemente y(n) = 12 x(n − 1) 1
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