Sistemi e modelli

Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Anno Accademico 2013-2014
Terzo Appello 16/7/2014
Tempo a disposizione 1h:45min
1. Si considerino due sistemi lineari in cascata. Se essi sono tempo-varianti, la risposta all’impulso globale cambia
cambiandone l’ordine? Nel caso entrambi i sistemi siano tempo-invarianti, se la risposta all’impulso globale `e
causale saranno casuali anche le risposte all’impulso dei singoli sistemi? Per entrambi i quesiti mostrare come si
`e giunti alla risposta data.
2. Calcolare l’antitrasformata z della seguente espressione
X(z) =
1 + 2z −2
1 + z −2
Disegnare la posizione di poli e zeri nel piano z
3. Determinare la convoluzione della seguente coppia di segnali utilizzando la trasformata z
n
1
x1 (n) =
u(n − 1);
4
n 1
x2 (n) = 1 +
u(n)
2
4. Calcolare la Trasformata di Fourier tempo discreto (DTFT) della seguente sequenza [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] si
assuma che il campione corrispondente ad n = 0 sia quello centrale. La trasformata `e reale o complessa?
5. Sia dato il sistema y(n) = 0.999y(n−1)+x(n) realizzato in aritmetica a virgola fissa a 8 bit. Come viene approssimato il coefficiente che moltiplica y(n−1)? Quale sar`a la potenza del rumore in uscita dovuta all’arrotondamento
del moltiplicatore?
6. Valutare la relazione fra y(n) ed x(n) facendo riferimento allo schema seguente
(1+z-1)/2
↓2
↑2
(1+z-1)
+
x(n)
+
(1-z-1)
↓2
↑2
(z-1-1)/2
+
y(n)
Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Anno Accademico 2013-2014
Terzo Appello 16/7/2014
Soluzione degli esercizi proposti
1. Si consideri ad esempio y1 (n) = nx(n) e y2 (n) = nx(n + 1) si ha y2 (n) = ny1 (n + 1) = n(n + 1)x(n + 1) =
n(n + 1)δ(n + 1) = 0, y1 (n) = ny2 (n) = n2 x(n ∗ 1) = n2 δ(n + 1) le due risposte all’impulso sono diverse
fra loro e quindi invertendo l’ordine (nel caso di sistemi lineari tempo varianti) si cambia il funzionamento
del sistema globale. Se si prende y1 (n) = x(n + 1) e y2 (n) = x(n − 2) e si mettono in cascata si ottiene
y2 (n) = y1 (n−2) = x(n−1) quindi pur essendo il sistema globale causale, uno dei due sistemi che lo compongono
non `e causale.
2. Si ha
X(z) =
1
z −2
1
1 + 2z −2
=
+
=2−
−2
−2
1+z
1+z
1 + z −2
1 + z −2
perci`
o
x(n)
=
x(n)
=
π π
n u(n) + 2 cos
(n − 2) u(n − 2)
2
2
π n u(n)
2δ(n) − cos
2
cos
3. Si ha
1 z −1
4 1 − 41 z −1
1
1
+
X2 (z) =
−1
1−z
1 − 21 z −1
4
− 43
1 −1
2
3
Y (Z) = X1 (z)X2 (z) = z
+
+
4
1 − z −1
1 − 41 z −1
1 − 12 z −1
"
n−1
n−1 #
1 1 1
1 1
+ +
u(n − 1)
y(n) = −
3 4
3 2 2
X1 (z) =
4. Si ha
X(ω)
=
X
x(n)e−jωn
n
= ej4ω + ej2ω + 1e−j2ω + e−j4ω
=
1 + 2 cos(2ω) + 2 cos(4ω)
5. Utilizzando una aritmetica a virgola fissa 8 bit i numeri rappresentabili vanno da 1 − (1/2)7 a −27 /27 = −1,
perci`
o 0.999 viene approssimato con 1 − (1/2)7 ' 0.992. La potenza dell’errore di arrotondamento `e data
σe2 =
2−2·8
1
' 3.19 · 10−4
3 1 − 0.9922
6. Prima di tutto si ricordi che la cascata di un sotto-campionatore di fattore 2 e di un interpolatore, sempre di fattore
2, con ingresso U (z) ha in uscita 1/2U (z) + 1/2U (−z). L’uscita del ramo superiore sar`a data 14 (1 − z −2 )(1 + z −1 ),
mentre l’uscita del ramo inferiore corrisponde a 41 (1 − z −2 )(z −1 − 1) sommando le due uscite parziali si ha
Y (z) = 12 z −1 , conseguentemente y(n) = 12 x(n − 1)
1

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