La definizione di conica data da Apollonio.. ..e quella come luogo geometrico sono equivalenti? Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 1 In geometria una sezione conica, ovvero una figura ottenuta dalla intersezione di un piano con un cono, possiede una o due sfere di Dandelin caratterizzate dalla proprietà: Una sfera di Dandelin è tangente sia al piano che al cono. Il punto nel quale una sfera tocca il piano è un fuoco della sezione conica (Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) matematico franco-belga) Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 2 Un'ellisse possiede due sfere di Dandelin, entrambe tangenti alla stessa falda del cono. I fuochi dell'ellisse sono i punti F e G di tangenza delle due sfere con il piano Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 3 Un’iperbole ha due sfere di Dandelin che toccano le falde opposte del cono. I fuochi dell‘iperbole sono i punti F e F’ ( G) di tangenza delle due sfere con il piano Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 4 Una parabola ha una sola sfera di Dandelin. . F Il fuoco della parabola è il punto F di tangenza della sfera con il piano Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 5 L'illustrazione raffigura un piano che interseca un cono in una curva e mostra anche le due sfere di Dandelin. 1) Siamo sicuri che la curva è un’ellisse come l’abbiamo definita con il metodo del giardiniere? 2) Siamo sicuri che F1 e F2 sono proprio i fuochi dell’ellisse? - Ogni sfera tocca il cono in una circonferenza. - Ogni sfera tocca il piano in un punto. - Denotiamo questi due punti con F1 e F2. - Sia P un punto sulla curva. - Per rispondere alle domande 1 e 2 dobbiamo dimostrare che la somma delle distanze P F1 + P F2 rimane costante al muoversi del punto P lungo la curva. Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 6 Per dimostrare, ricordiamo che…. Nel piano i segmenti di tangente alla circonferenza sono 2, PD e PE, e sono uguali Nello spazio i segmenti di tangente tra V e la sfera sono infiniti, tutti uguali VA=VC=... I punti di tangenza formano una circonferenza. Video Dandelin Spheres Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 7 Osserviamo una qualunque generatrice g del cono e siano: • P1 il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera piccola (G1) tangente in F1 al piano • P2 il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera grande (G2) tangente in F2 al piano. Il punto P è esterno alle due sfere • I due segmenti PF1 e PP1 sono uguali perché tangenti per P alla sfera S1 • Analogamente PF2 = PP2 PP1 + PP2 è la lunghezza del segmento di generatrice tra le 2 circonferenze k1 e k2, che è costante Quindi P F1 + P F2= PP1 + PP2 Se scelgo un’altra generatrice g’, che individua un nuovo punto P’, cosa si può dire di P’ F1 + P’ F2? Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 8 Cosa si può concludere in generale? P F1 + P F2= P’ F1 + P’ F2 = costante QUINDI LA CURVA CONSIDERATA è UN’ ELLISSE Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 9
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