Le ceneri di Gramsci

RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
Politecnico di Torino
RELAZIONE DI IDRAULICA
Relazione esercitazioni.
Anno Accademico 2011/2012
Corso di Idraulica
Professore: L. Ridolfi
Studente: Eleonora Magnotta
Matricola: 162010
1
RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
INDICE
ESERCITAZIONE 8………………………………………………………PAGINA 3
ESERCITAZIONE 10 …………………………………………………… ……………….……………………….. PAGINA 17
ESERCITAZIONE 11 ………………………………………………………………………………………. PAGINA 24
ESERCITAZIONE 12 ………………………………………………………………………………………. PAGINA 29
2
RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
ESERCITAZIONE 8
Moto uniforme nelle correnti a pelo libero.
Un corso d'acqua scorre in un alveo costituito da una parte centrale, trapezia, larga al fondo 4,10 m e sponde
inclinate di 1/1 fino ad un'altezza di 2,05 m e da 2 aree golenali laterali larghe ciascuna 5,00 m e con sponde
inclinate di 2/3. L'alveo centrale e rivestito con blocchi di pietra naturale ben sistemati ( n=0,022m−1/3 / s ),
mentre le golene sono in terra regolarizzata e ricoperta d'erba ( n =0,025m−1/3 /s ). La pendenza del fondo e
del 3 ‰.
1. Tracciare l'andamento della scala di deflusso Q(y);
2. Calcolare la portata di moto uniforme con un'altezza d'acqua di 1 m sulle golene.
3
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Anno Accademico 2011/2012
Svolgimento:
Il tracciamento della scala di deflusso, cioè l'andamento della portata con l'altezza dell'acqua nell'alveo, si
ricava in modo iterativo. Per ogni incremento dell'altezza abbiamo ragionato come segue: per prima cosa
notiamo, dal fatto che l'alveo centrale e rivestito con blocchi di pietra naturale e le golene sono in terra
regolarizzata e ricoperta d'erba, che la sezione presenta 2 scabrezze diverse.
Questo dato ci suggerisce di suddividere la sezione a seconda del coefficiente di Manning in 2 parti: la parte
centrale con n = 0,022 m−1/3 /s, e le zone golenali con n = 0,025 m−1/3 / s.
Calcoleremo la portata dell’ intera sezione come somma della portata dell’ alveo centrale e delle portate delle
due parti laterali golenali.
Lo schema seguente chiarisce la suddivisione:
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Anno Accademico 2011/2012
Per tracciare l’andamento della scala di deflusso tracceremo una tabella su un foglio elettronico mediante la
quale calcoleremo il perimetro bagnato (P), l’ampiezza del fiume in corrispondenza della superficie libera (b),
l’area della sezione in oggetto (Ω), il raggio idraulico (R), il coefficiente di scabrezza (χ), la velocità media (U) e
la portata (Q), tutto ovviamente in funzione della profondità (Y).
Sezione 1:
Innanzitutto effettuiamo alcuni passaggi geometrici per poter esprimere l'area della sezione in funzione dell'altezza.
Base dell'alveo: b=4,10m ;
Larghezza della superficie libera: b1(y)=4,10+2⋅y
L'area di fluido in funzione dell'altezza y e data dall'area del trapezio con basi b e b1 ed altezza y:
(area del trapezio ABCD)
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Anno Accademico 2011/2012
Il perimetro bagnato della sezione 1 e dato dalla somma della base dell'alveo b e dai 2 tratti laterali inclinati di 45°. Per
conoscere la lunghezza delle parti inclinate occorre effettuare un semplice ragionamento trigonometrico che esprime
l'ipotenusa in funzione di uno dei due cateti.
cateto=ipotenusa⋅cos(α) ►
Quindi il perimetro bagnato è dato da: P1= 4.10+2*AB =4.10+(2y/cosα). Calcoliamo la portata con la formula di Chezy:
Q1(y)= χ * Ω *√ (R*iF) in cui:
χ: lo esprimiamo con il coefficiente di Manning n come: χ = (1/n)*R1/6;
R: è il raggio idraulico, che esprimiamo come rapporto tra l’area e il perimetro bagnato: R= Ω/P;
If : è la pendenza del fondo, che in questo caso è costante e vale 3‰: iF=0.003.
Avremo dunque per la sezione 1:
per Y < 2,05 m
per Y > 2,05 m
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RELAZIONE DI IDRAULICA
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per Y < 2,05 m
per Y > 2,05 m
per Y < 2,05 m
per Y > 2,05 m
Sezione 2:
Superata l’ altezza di 2.05 metri, l’ acqua non occupa solo più la parte principale, ma inizia a muoversi anche
nelle due zone golenali laterali.
Anche in questo caso possiamo ricavare la portata di acqua in funzione dell’ altezza con alcune considerazioni
geometriche.
La base della golena è fissa ed è pari a b=5m, mentre la larghezza della superficie libera è in funzione dell’
altezza e di calcola come: b2=5+(2/3)*(y-2.05).
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L’ area di fluido in funzione dell’ altezza y è data dall’ area del trapezio con basi b e b2 ed altezza (y-2.05):
Per calcolare il perimetro bagnato, in questo caso, dobbiamo fare attenzione al fatto che il liquido da una
parte e a contatto con il terreno, mentre dall'altra parte e a contatto con l'acqua della parte di alveo centrale,
quindi quest'ultima parte non va considerata come superficie bagnata.
Anche in questa situazione per calcolare l'unica parte inclinata ci viene in aiuto la trigonometria:
calcoliamo l'angolo tra l'orizzontale e il segmento inclinato 2/3 come:
α = arctg (2/ 3) = 33,69°;
calcoliamo il segmento inclinato come: x =y ⋅sin(α) =y ⋅sin (arctg (2/3)) =y ⋅sin (33,69° ) ;
il perimetro bagnato e dato da: P2 ( y ) =5+x = 5+ y ⋅sin (33,69° ) .
Calcoliamo la portata, come visto nel caso precedente, con la formula di Chezy: Q1=χ * Ω * √(R*iF), con l’ accortezza di
cambiare il coefficiente di Manning da n=0.022 m -1/3/s ad n= 0.025 m -1/3/s.
per Y < 2,05 m
per Y > 2,05 m
per Y < 2,05 m
per Y > 2,05 m
per Y < 2,05 m
per Y > 2,05 m
8
RELAZIONE DI IDRAULICA
Segue
elettronico:
il
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processo
iterativo
svolto
con
un
foglio
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Per ottenere infine la portata complessiva:
Il foglio di calcolo che ne risulta costituisce l’allegato 1. Abbiamo inoltre, guardando la tabella, che la
portata di moto uniforme con un’altezza a 1 metro sulle golene, ovvero a Y = 2,05 m + 1 m = 3,05 m è Q(3,05
m) = 107,5
.
16
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ESERCITAZIONE 10
MOTO PERMANENTE DELLE CORRENTI A PELO LIBERO:
Integrazione numerica
Un corso d’acqua con sezione rettangolare ha una larghezza b = 50 m, una pendenza del fondo i f = 0.003 e un
coefficiente di scabrezza n = 0.04 m-1/3s (Manning). Lungo il corso d’acqua e presente un ponte che, con una portata di
piena Q = 600 m3/s.
Determinare la distanza del risalto idraulico dal ponte sotto la seguente condizione:
Profondità all’uscita del ponte = 1.2 m
Per prima cosa occorre calcolare l’altezza critica.
A questo punto è possibile ricavare l’altezza di moto uniforme: definiamo la funzione implicita, esplicitando
la portata tramite la formula pratica di Chezy.
Dove R è il raggio idraulico della sezione che sto considerando e χ è il coefficiente di scabrezza secondo
Manning.
Ricaviamo lo zero della nostra funzione implicita tramite un metodo di calcolo impostato sui parametri noti.
Consideriamo
.
17
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Y
Ω=b•Y
P = b + 2Y
R = Ω/P
Fu
0,05
2,50
50,10
0,05
599,54
0,10
5,00
50,20
0,10
598,53
0,15
7,50
50,30
0,15
597,11
0,20
10,00
50,40
0,20
595,34
0,25
12,50
50,50
0,25
593,25
0,30
15,00
50,60
0,30
590,87
0,35
17,50
50,70
0,35
588,21
0,40
20,00
50,80
0,39
585,29
0,45
22,50
50,90
0,44
582,12
0,50
25,00
51,00
0,49
578,72
0,55
27,50
51,10
0,54
575,09
0,60
30,00
51,20
0,59
571,24
0,65
32,50
51,30
0,63
567,17
0,70
35,00
51,40
0,68
562,91
0,75
37,50
51,50
0,73
558,44
0,80
40,00
51,60
0,78
553,78
0,85
42,50
51,70
0,82
548,93
0,90
45,00
51,80
0,87
543,90
0,95
47,50
51,90
0,92
538,69
1,00
50,00
52,00
0,96
533,30
1,05
52,50
52,10
1,01
527,74
1,10
55,00
52,20
1,05
522,02
1,15
57,50
52,30
1,10
516,13
1,20
60,00
52,40
1,15
510,08
18
RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
1,25
62,50
52,50
1,19
503,87
1,30
65,00
52,60
1,24
497,51
1,35
67,50
52,70
1,28
490,99
1,40
70,00
52,80
1,33
484,32
1,45
72,50
52,90
1,37
477,51
1,50
75,00
53,00
1,42
470,55
1,55
77,50
53,10
1,46
463,46
1,60
80,00
53,20
1,50
456,22
1,65
82,50
53,30
1,55
448,84
1,70
85,00
53,40
1,59
441,33
1,75
87,50
53,50
1,64
433,68
1,80
90,00
53,60
1,68
425,90
1,85
92,50
53,70
1,72
417,99
1,90
95,00
53,80
1,77
409,96
1,95
97,50
53,90
1,81
401,79
2,00
100,00
54,00
1,85
393,51
2,05
102,50
54,10
1,89
385,10
2,10
105,00
54,20
1,94
376,57
2,15
107,50
54,30
1,98
367,91
2,20
110,00
54,40
2,02
359,14
2,25
112,50
54,50
2,06
350,26
2,30
115,00
54,60
2,11
341,26
2,35
117,50
54,70
2,15
332,14
2,40
120,00
54,80
2,19
322,91
2,45
122,50
54,90
2,23
313,57
2,50
125,00
55,00
2,27
304,12
2,55
127,50
55,10
2,31
294,57
19
RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
2,60
130,00
55,20
2,36
284,90
2,65
132,50
55,30
2,40
275,13
2,70
135,00
55,40
2,44
265,25
2,75
137,50
55,50
2,48
255,27
2,80
140,00
55,60
2,52
245,19
2,85
142,50
55,70
2,56
235,00
2,90
145,00
55,80
2,60
224,72
2,95
147,50
55,90
2,64
214,33
3,00
150,00
56,00
2,68
203,85
3,05
152,50
56,10
2,72
193,27
3,10
155,00
56,20
2,76
182,59
3,15
157,50
56,30
2,80
171,82
3,20
160,00
56,40
2,84
160,95
3,25
162,50
56,50
2,88
149,99
3,30
165,00
56,60
2,92
138,93
3,35
167,50
56,70
2,95
127,79
3,40
170,00
56,80
2,99
116,55
3,45
172,50
56,90
3,03
105,23
3,50
175,00
57,00
3,07
93,81
3,55
177,50
57,10
3,11
82,31
3,60
180,00
57,20
3,15
70,71
3,65
182,50
57,30
3,18
59,04
3,70
185,00
57,40
3,22
47,27
3,75
187,50
57,50
3,26
35,42
3,80
190,00
57,60
3,30
23,49
3,85
192,50
57,70
3,34
11,47
3,90
195,00
57,80
3,37
-0,63
20
RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
3,95
197,50
57,90
3,41
-12,81
Il valore che approssima meglio lo zero risulta dunque essere Y = 3,9 m. Considerando questa altezza come
quella di moto uniforme notiamo subito che
. Siamo dunque in presenza di un alveo a
debole pendenza con corrente veloce.
Poiché questa corrente deve raccordarsi ad una corrente di moto uniforme che è lenta, avremo un profilo di
tipo D3 fino al raggiungimento di un’altezza Y che risulta essere coniugata nel risalto con , vale a dire
avente lo stesso valore di spinta S.
Ho dunque:
Definiamo allora una nuova funzione implicita
Che esprimiamo in funzione di
fino a ricavare per successivi incrementi di
, il valore di spinta indicato.
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RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
sempre considerando
Y [m]
Ω [m2]
P [m]
R [m]
χ
K
s [m]
Spinta [N]
1,20
60,00
52,40
1,15
25,57
0,017413
0,00
6353016,00
1,25
62,50
52,50
1,19
25,74
0,017468
2,86
6143046,88
1,30
65,00
52,60
1,24
25,90
0,017559
5,71
5952765,04
1,35
67,50
52,70
1,28
26,05
0,017688
8,54
5780119,21
1,40
70,00
52,80
1,33
26,20
0,017858
11,34
5623351,14
1,45
72,50
52,90
1,37
26,35
0,018073
14,10
5480945,12
Come si nota dalla tabella il valore della spinta totale che eguaglia quello all'altezza y u si trova tra un'altezza
di 1,40 m e 1,45 m. Il risalto si trova ad una distanza di circa 13 metri a valle del ponte.
I parametri zF, h, hc e hu servono per il tracciamento dell'andamento del profilo a valle del ponte e sono:
zF indica la quota geometrica del fondo, calcolata come: zF=−i F⋅s ;
h rappresenta l'andamento del profilo, ricavato come: h=y+zF (fino al risalto),
successivamente dopo il risalto h corrisponde all'altezza di moto uniforme che ha una
quota geometrica hu;
hc e la quota critica: h=zF+2,45m ;
hu e la quota di moto uniforme: hu=zF+3,90m .
Lo schema e il seguente:
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RELAZIONE DI IDRAULICA
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RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
ESERCITAZIONE 11
Moti a potenziale
Un acquifero di spessore unitario e caratterizzato da un moto orizzontale con velocità U0 = 0.036 m/h e da un
valore di porosità n = 0.3. All’interno dell’acquifero e presente una zona inquinata delimitata dai punti A (10
m; 10 m), B(40; 10), C(40; -10) e D(10; -10), come mostrato in fig.2.
Per isolare la zona ABCD viene creata una barriera idraulica medianti i due pozzi di immissione (q1 > 0) e
prelievo (q2 = - q1 < 0). Le coordinate dei due pozzi sono rispettivamente P1 (0;0) e P2 (50;0).
Verificare che la portata q1 = 4 m2/h e sufficiente ad isolare idraulicamente la zona inquinata ABCD;
Determinare il valore minimo di portata che permetta di isolare la zona e tracciare la relativa
traiettoria.
[Suggerimento: e sufficiente tracciare un’unica traiettoria passante per uno degli estremi, per es. per A]
Scriviamo il potenziale complesso delle velocità. Questo sarà, per il principio di sovrapposizione degli effetti:
W ( z )= u 0⋅ z +
q1
q
ln ( z− z 1)− 2 ln ( z− z 2)
2π
2π
dove z 1= 0 mentre z 2 = x+ iy= 50+ i⋅ 0= 50
Quindi otteniamo
W (z )= u 0⋅ z +
q
q
ln ( z )−
ln ( z − 50)
2π
2π
Derivando:
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RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
dW
q
q
= u 0+
−
dz
2 πz 2 π( z− 50)
dW
q
q
= u 0+
−
dz
2 π( x+ iy) 2 π( x+ iy− 50)
chiamo b= x− 50
dW
q
x− iy
q
b− iy
= u 0+
−
dz
2 π( x+ iy) x− iy 2 π(b+ iy) b− iy
q (x − iy)
q (x− 50− iy)
dW
= u 0+
2
2 −
dz
2 π( x + y ) 2 π[( x− 50)2+ y 2 ]
q (x− 50)
dW
qx
qy
qy
= u 0+
2
2 −i
2
2 −
2
2 +i
dz
2 π( x + y ) 2 π(x + y ) 2 π[( x− 50) + y ] 2 π[(x− 50)2 + y 2 ]
dW
siccome dz = u− iv
Allora avremo:
u= u 0+
q( x− 50)
qx
2
2 −
2 π( x + y ) 2 π[( x− 50) 2+ y 2 ]
e
v=
qy
qy
−
2
2
2 π(x + y ) 2 π[( x− 50)2+ y 2 ]
Avendo trovato le equazioni di u e v in funzione di x e y, posso calcolare la traiettoria passante per il punto A e
verificare che questa passi anche per il pozzo 2. Ciò significa infatti che la zona inquinata è completamente
isolata. Nessuna traiettoria passante per la zona inquinata può superare il pozzo 2.
Per il calcolo della traiettoria in una tabella excel inserisco le coordinate del punto A iniziale e calcolo la x e
la y ogni 5 ore.
Le formule utilizzate sono:
ui
⋅ Δt
n
v
Δ yi = i⋅ Δ t
n
e
x i+ 1= xi + Δ x i
Δ x i=
y i+ 1= y i+ Δ y i
Otteniamo questa traiettoria:
25
RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
La traiettoria passa proprio per il secondo pozzo. Nel pozzo abbiamo una singolarità, non vale l'equazione di
potenziale complesso delle velocità, per questo la traiettoria segnata è confusa intorno a x=50.
Per determinare il valore minimo di portata procediamo allo stesso modo,cambiando la portata, diminuendola
gradualmente.
In questo grafico è rappresentata la traiettoria passante per il punto A corrispondente ad una portata pari a
3m2 / h .
26
RELAZIONE DI IDRAULICA
Anno Accademico 2011/2012
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Anche in questo caso la portata 3m / h permette di isolare idraulicamente la zona inquinata poiché la
traiettoria termina nel pozzo 2.
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Analizziamo quindi il caso di una portata pari a 2m /h :
In questo caso invece la traiettoria passante per A non termina nel pozzo ma prosegue, ciò significa che questa
portata non è sufficiente a isolare idraulicamente la zona. Servirà una portata maggiore.
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Tentiamo una portata pari a 1,1 m /h :
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RELAZIONE DI IDRAULICA
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Anche in questo caso la portata 1,1 m /h non è sufficiente, la traiettoria non passa per il secondo pozzo.
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Tentiamo la portata 1,2 m /h :
La portata 1,2m2/h è la portata minima che permette di isolare idraulicamente la zona inquinata poiché la
traiettoria termina nel pozzo 2.
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RELAZIONE DI IDRAULICA
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ESERCITAZIONE 12
MOTI DI FILTAZIONE
Una galleria drenante viene progettata per prelevare da una sorgente la portata Q necessaria ad
alimentare l’acquedotto di un centro urbano di 10000 abitanti (si consideri una domanda pari 300
litri/giorno per abitante). L’acquifero freatico è caratterizzato dal coefficiente di conducibilità
idraulica K = 2.6 * 10-3 m/s e dal carico indisturbato H = 7.8 m ad una distanza L = 300 m dalla
galleria.
Calcolare la lunghezza l della galleria assumendo il livello h0 = 0.5 m all’interno della galleria stessa.
[l =130 m]
Considerando il valore di l ottenuto con nel punto precedente, determinare la riduzione di portata nel
caso in cui il livello indisturbato della falda si riduca a H’ = 6.8 m, mentre gli altri parametri non
subiscono variazioni. [Q’ = 0.026 m3/s].
Per prima cosa dobbiamo calcolare la portata necessaria ad alimentare il centro urbano:
Q=domanda * (n°abitanti)=300*10000=3000000 litri/giorno=35l/s=0.035 m3/s.
Consideriamo che il campo di moto, per l'ipotesi di Dupuit, u può essere considerato orizzontale, cioè
caratterizzato da una sola componente orizzontale. Anche se in realtà varia anche in verticale perché ho la
cosiddetta “tavola d’acqua” nella falda freatica.
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RELAZIONE DI IDRAULICA
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Considerando il valore di l = 133 m appena ottenuto, ci e richiesto di determinare la riduzione di portata nel caso in cui il
livello indisturbato della falda si riduca a H’ = 6.8 m, mantenendo costanti gli altri parametri.
Riutilizziamo lo stesso integrale di prima, cambiando gli estremi di integrazione e considerando la portata Q
come incognita:
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