The Rules of the Game: Jutland and British Naval Command

Complementi di Matematica e
Calcolo Numerico
Laboratorio 3 - 24/3/2014
Esercizi di riepilogo
Esercizio 1. Determinare un valore approssimato di π calcolando
con la funzione matlab fzero lo zero della funzione sin(x) vicino
a 3.
Esercizio 2. Disegnare il grafico della seguente funzione nell’intervallo specificato, quindi determinarne le radici utilizzando il
metodo di bisezione. Imporre una tolleranza pari a 1e − 5. Assumere come soluzione esatta quella ottenuta con fzero e controllare
che l’errore vero sia effettivamente minore della tolleranza.
f (x) = sin(ex),
x ∈ [0, 2.5]
Esercizio 3. Ripetere l’esercizio precedente utilizzando il metodo
di Newton scegliendo opportunamente il dato iniziale x0.
Esercizio 4. Si approssimi la radice r ∈ [−1, 5] della funzione
f (x) = arctg(200x) − 1 ( N.B arctg → atan in Matlab):
• utilizzando fzero;
• usando in successione il metodo di bisezione (toll = 0.1) e quello di Newton (toll = 1e-12) passando a Newton come valore di
innesco il valore ottenuto con le bisezioni. In caso il metodo
non convergesse dimezzare la tolleranza richiesta alle bisezioni
sino a convergenza del metodo di Newton. Calcolare l’errore relativo sulla soluzione trovata da Newton (assumere come
soluzione esatta quella ottenuta con fzero).
Esercizio 5. Dato q reale positivo si calcoli 1/q trovando, con
il metodo di Newton, la radice di f (x) = x1 − q (toll = 1e-16).
Si verifichi, per diversi valori di q e di x0, che la condizione di
convergenza `e 0 < x< 2q .
Esercizio 6. (Equazione di stato dei gas)
Il volume occupato da un gas V a una temperatura T e pressione
p obbedisce alla legge:
"
2 #
N
p+a
(V − N b) = kN T
V
a, b= coefficienti caratteristici del gas considerato
N = numero delle molecole nel volume V
k = 1.3806503 10−23JouleK −1 costante di Boltzman
Esempio: per l’anidride carbonica a = 0.401P a m6, b = 42.7 10−6m3.
Si applichi il metodo di Newton con test di arresto per calcolare
il volume (in m3) di N = 1000 molecole di anidride carbonica a
temperatura T = 300K e pressione p = 3.5 · 107.
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Esercizio 7. (Un problema di matematica finanziaria) La funzione
(1 + x)n − 1
n
f (x) = B(1 + x) − R
, x>0
x
rappresenta il prestito rimanente quando si `e ricevuto un prestito
iniziale B, sono passati n anni ed `e stato applicato un tasso di
interesse x (dunque x ∈ [0, 1]), restituendo R alla fine di ogni anno.
Il valore x∗ tale che f (x∗) = 0 rappresenta il tasso di interesse che
vorremmo fosse applicato affinch`e dopo n anni si estingua il debito.
Risolvere l’equazione con il metodo di Newton. Applicare il metodo usando i dati B = 100000, R = 12000, n = 10, in altre
parole simulando il caso di un prestito di 100000 euro, con restituzione di 12000 euro alla fine di ogni anno per 10 anni. Utilizzare
T OL = 10−12 e un punto iniziale x0 “intelligente”.
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