svolgimenti - Dipartimento di Matematica

Metodi Matematici per l’Ingegneria
Trasformata di Laplace (svolgimenti)
Svolgimento esercizio 1
1
2
(1) Si ha f (t) = cos(2t+π/3) H(t) =
√
1 s−2 3
2 s2 +4 .
(2) Si ha f (t) = sin2 t H(t) =
1
2
√
cos 2t−
3
2
sin 2t H(t), per cui L[f ](s) =
(1 − cos 2t) H(t), per cui L[f ](s) =
1
2
1
s
−
s
s2 +4
√
3 2
1 s
−
2 s2 +4
2 s2 +4
=
=
2
.
s(s2 +4)
(3) Si ha f (t) = t sin(t − 1) H(t − 1) = (t − 1) sin(t − 1) H(t − 1) + sin(t − 1) H(t − 1), per cui
2 e−s
1
d
+ e−s s21+1 = (s+1)
.
L[f ](s) = e−s L[t sin t](s) + e−s L[sin t](s) = −e−s ds
s2 +1
(s2 +1)2
1
1
1
(4) Si ha f (t) = e2t sinh t H(t) = 21 (e3t − et ) H(t), per cui L[f ](s) = 21 s−3
.
− s−1
= (s−1)(s−3)
1
1 1
Oppure, L[f ](s) = L[sinh t H(t)](s − 2) = s2 −1 s→s−2 = (s−2)2 −1 = s2 −4s+3 .
√
√
√
Γ(1/2)
1 √π
√π =
(5) Si ha f (t) =
t+ √1t H(t) = t1/2 +t−1/2 H(t), per cui L[f ](s) = Γ(3/2)
+
+
=
3/2
1/2
2
s s
s
s
s
√
π(1+2s)
√
.
2s s
(6) Si ha L(f )(s) = 21 L[et sin tH(t)](s) − 21 L[e−t sin tH(t)](s) =
1
1
1
1
1
1
1
2s
1
2 (s−1)2 +1 − 2 (s+1)2 +1 = 2 s2 −2s+2 − 2 s2 −2s+2 = s4 +4 .
1 1 2 s2 +1 s→s−1
−
1 1 2 s2 +1 s→s+1
=
(7) Si ha f (t) = H(t) − H(t − 1) − [H(t − 1) − H(t − 2)] = H(t) − 2H(t − 1) + H(t − 2), per cui
−s 2
−s
−2s
L[f ](s) = 1s − 2es + e s = (1−es ) .
(8) Si ha f (t) = H(t) − H(t − 1) + (t − 2)[H(t − 1) − H(t − 2)] = H(t) + (t − 1)H(t − 1) − 2H(t −
−s −e−2s
−s
−2s
−s
1) − (t − 2)H(t − 2), per cui L[f ](s) = 1s + es2 − 2es − e s2 = s+(1−2s)e
.
s2
(9) Si ha f (t) = sin t [H(t) − H(t − 2π)] = sin t H(t) − sin(t − 2π) H(t − 2π), per cui L[f ](s)
−2πs
−2πs
1
− es2 +1 = 1−e
.
s2 +1
s2 +1
P∞
P∞
(10) Si ha f (t) =
k=0 [H(t − 2k − 1) − H(t − 2k − 2)]
k=0 [H(t − 2k) − H(t − 2k − 1)] −
P∞ e−2ks −2e−(2k+1)s +e−(2k+2)s
P∞
k=0
k=0 [H(t − 2k) − 2H(t − 2k − 1) + H(t − 2k − 2)], per cui L[f ](s) =
s
P∞ −2ks e−2s P∞ −2ks 1
1
1 P∞
1−e−s
−2ks − 2e−s
−s + e−2s )
e
e
+
e
=
(1
−
2e
.
=
k=0
k=0
k=0
s
s
s
s
s(1+e−s )
1−e−2s
=
=
=
Svolgimento esercizio 2
(1) Si ha f (s) =
s
(s+2)(s−1)
(2) Si ha f (s) =
(s+2)2 (s+1)
=
s
2 1
3 s+2
=
1
s+2
+
(3) Si ha f (s) = s2 (s12 −1) = − s12 +
(sinh t − t) H(t).
(4) Si ha f (s) =
1
(s2 +4)2
(5) Si ha f (s) =
1−e−s
s2
1
(6) Poich´e s(s+1)
=
−(t−2)
e
H(t − 2).
(7) Poich´e
1) H(t)
1
s(s−2)
t→t−1
1
s
= − 21
=
1 1
8 s2 +4
+
+
1 1
3 s−1 ,
2
(s+2)2
1 1
2 s−1
−
per cui L−1 (f )(t) =
−
1
2
1 d
s
8 ds s2 +4 ,
2
3
e−2t + 13 et H(t).
per cui L−1 (f )(t) = e−2t + 2te−2t − e−t H(t).
1
1 t
1 −t
−1
H(t) =
s+1 , per cui L (f )(t) = − t + 2 e − 2 e
1
s+1 ,
per cui L−1 (f )(t) =
1
16
sin(2t) − 18 t cos(2t) H(t).
e−s
,
s2
per cui L−1 (f )(t) = t H(t) − (t − 1) H(t − 1).
−2s
1
e−2s
1
− s+1
, si ha f (s) = s(s+1)
= 1s − s+1
e , per cui L−1 (f )(t) = 1 −
=
1
s2
1
s
+
−
1 1
2 s−2,
che ha antitrasformata
− 21 (e2t − 1) H(t)t→t−2 =
1
2
1
2
(e2t − 1) H(t), si ha L−1 (f )(t) =
(e2(t−1) − 1) H(t − 1) − 12 (e2(t−2) − 1) H(t − 2).
1
1
2
(e2t −
1
1
, che ha antitrasformata −1+t+e−t H(t), si ha L−1 (f )(t) = −1+
(8) Poich´e s2 (s+1)
= − 1s + s12 + s+1
t+e−t H(t)t→t−1 − −1+t+e−t H(t)t→t−3 = −2+t+e−(t−1) H(t−1)− −4+t+e−(t−3) H(t−3).
Svolgimento esercizio 3
(1) Tenendo conto delle condizioni iniziali, e ponendo Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace
dell’equazione `e s2 Y (s) − 13 − sY (s) − 6Y (s) = 1s , cio`e (s2 − s − 6)Y (s) = 1s + 13 = s+3
3s , per cui
1
s+3
Y (s) = 3 s(s2 −s−6) .
1 1
2 1
1
1 −2t
2 3t
−1
= − 12 1s + 10
Poich´e s(s2s+3
+ 15
e
H(t).
s+2 + 5 s−3 , si ha y(t) = L [Y ](t) = − 6 + 30 e
−s−6)
1
3
lims→3 13
Oppure, usiamo i residui. Si ha res0 [Y (s)est ] = lims→0
(s+3)est
1 −2t
lims→−2 31 s(s−3) = 30
e H(t), res3 [Y (s)est ] =
residui si ha la soluzione.
(s+3)est
s2 −s−6
(s+3)est
s(s+2)
= − 16 H(t), res−2 [Y (s)est ] =
=
2
15
e3t H(t), e sommando i
(2) Tenendo conto delle condizioni iniziali, e ponendo Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace
1
1
, cio`e (s2 − 2s)Y (s) = s−1
+ 18 s + 34 , per cui
dell’equazione `e s2 Y (s) − 81 s − 1 − 2sY (s) + 14 = s−1
1
s+6
Y (s) = s(s−1)(s−2)
+ 18 s(s−2)
.
1
1 s+6
1
1
1
1
1
Poich´e s(s−1)(s−2) + 8 s(s−2) = 21 1s − s−1
+ 12 s−2
− 38 1s + 12 s−2
= 18 1s − s−1
+ s−2
, si ha y(t) =
1
−1
t
2t
L [Y ](t) = 8 − e + e
H(t).
st 1
1
st
Oppure, usiamo i residui. Si ha res0 [Y (s)est ] = lims→0 (s−1)(s−2)
+ 81 s+6
s−2 e = 8 H(t), res1 [Y (s)e ] =
st
e
1
st
2t
lims→1 s(s−2)
= −et H(t), res2 [Y (s)est ] = lims→2 s(s−1)
+ 18 s+6
s e = e H(t), e sommando i residui
si ha la soluzione.
(3) Tenendo conto delle condizioni iniziali, e ponendo Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace
+ 4s , cio`e (s2 + 2s + 5)Y (s) = 10
+ 4s + s + 1,
dell’equazione `e s2 Y (s) − s + 1 + 2sY (s) − 2 + 5Y (s) = 10
s2
s2
s+1
per cui Y (s) = s2 (s4s+10
2 +2s+5) + s2 +2s+5 .
s+1
2
2
s+1
Poich´e s2 (s4s+10
2 +2s+5) + s2 +2s+5 = s2 − s2 +2s+5 + s2 +2s+5 =
L−1 [Y ](t) = 2t − e−t sin(2t) + e−t cos(2t) H(t).
2
s2
−
2
(s+1)2 +4
+
s+1
,
(s+1)2 +4
si ha y(t) =
st
d (4s+10)e
Oppure, usiamo i residui. Si ha res0 [Y (s)est ] = lims→0 ds
= 2t H(t), res−1+2i [Y (s)est ] =
s2 +2s+5
s+1
4s+10
4s+10
(−1+2i)t H(t), res
st
+ s+1+2i
est = 1+i
lims→−1+2i s2 (s+1+2i)
−1−2i [Y (s)e ] = lims→−1−2i s2 (s+1−2i) +
2 e
s+1
1−i (−1−2i)t
st
H(t), e sommando i residui si ha la soluzione.
s+1−2i e = 2 e
(4) Tenendo conto delle condizioni iniziali, e ponendo Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace
1
1
, cio`e (s2 − 2s)Y (s) = s−2
+ s − 72 , per cui
dell’equazione `e s2 Y (s) − s + 23 − 2sY (s) + 2 = s−2
s− 72
s(s−2) .
s− 27
1
1 1
Poich´e s(s−2)
2 + s(s−2) = 4 s
L−1 [Y ](t) = 2 − e2t + 12 te2t
Y (s) =
1
s(s−2)2
+
−
1 1
4 s−2
+
1
1
2 (s−2)2
+
7 1
4 s
−
3 1
4 s−2
=
2
s
−
1
s−2
+
1
1
2 (s−2)2 ,
si ha y(t) =
H(t).
Oppure, usiamo i residui. Si ha res0 [Y (s)est ] = lims→0
d
d
8 st
lims→2 ds
(s − 2)2 Y (s)est = lims→2 ds
s − 11
2 + s e =
la soluzione.
s− 72 st
1
+
e = 2 H(t), res2 [Y (s)est ] =
2
(s−2) s−2
1
2t
2 t − 1 e H(t), e sommando i residui si ha
(5) Osserviamo che f (t) = H(t − 1) − H(t − 2). Tenendo conto delle condizioni iniziali, e ponendo
−s
−2s
, cio`e
Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace dell’equazione `e sY (s) − 1 − 2Y (s) = e −e
s
e−s −e−2s
e−s −e−2s
1
(s − 2)Y (s) =
+ 1, per cui Y (s) = s(s−2) + s−2 .
s
2
1 1
1
1 1
, che ha antitrasformata 12 (e2t − 1) H(t), si ha y(t) = L−1 [Y ](t) =
s(s−2) = − 2 s + 2 s−2
e2t H(t) + 12 (e2t − 1) H(t)t→t−1 − 12 (e2t − 1) H(t)t→t−2 = e2t H(t) + 12 (e2(t−1) − 1) H(t − 1) −
1
2(t−2) − 1) H(t − 2).
2 (e
1 st
est
Oppure, usiamo i residui. Posto g(t) := L−1 s(s−2)
(t) = lims→0 s−2
+ lims→2 es H(t) = 12 (e2t −
1) H(t), si ha y(t) = g(t − 1) − g(t − 2) + e2t H(t) = e2t H(t) + 21 (e2(t−1) − 1) H(t − 1) − 12 (e2(t−2) −
Poich´e
1) H(t − 2).
(6) Osserviamo che f (t) = (t − 1)[H(t − 1) − H(t − 2)] = (t − 1) H(t − 1) − (t − 2) H(t − 2) −
−2s
−2s
−s
H(t − 2), che ha trasformata es2 − e s2 − e s . Tenendo conto delle condizioni iniziali, e ponendo
−s
−2s
−2s
Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace dell’equazione `e (s + 1)Y (s) = es2 − e s2 − e s , per cui
−s −e−2s
e−2s
Y (s) = es2 (s+1)
− s(s+1)
.
−s 1 −2s
1
1
1
1
1
1
1
Poich´e s2 (s+1) = − s + s2 + s+1
, e s(s+1)
= 1s − s+1
, si ha Y (s) = − 1s + s12 + s+1
e − s2 e , e quindi
y(t) = L−1 [Y ](t) = (−1+t+e−t ) H(t)t→t−1 −t H(t)t→t−2 = t−2+e−(t−1) H(t−1)−(t−2) H(t−2).
1 d est
est
(t) = lims→0 ds
+
lim
Oppure, usiamo i residui. Posto g(t) := L−1 s2 (s+1)
s→−1 s2 H(t) =
s+1
st
st
(s+1)−e
1
est
−t H(t) = (−1 + t + e−t ) H(t), e h(t) := L−1
lims→0 te (s+1)
+
e
(t)
=
lims→0 s+1
+
2
s(s+1)
st
lims→−1 es H(t) = 1 − e−t H(t), si ha y(t) = g(t − 1) − g(t − 2) − h(t − 2) = t − 2 + e−(t−1) H(t −
1) − (t − 2) H(t − 2).
−s
−2s
(7) Osserviamo che f (t) = H(t − 1) − H(t − 2), che ha trasformata e −e
. Tenendo conto delle
s
condizioni iniziali, e ponendo Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace dell’equazione `e (s2 + 3s +
−s
−2s
e−s −e−2s
2)Y (s) = e −e
, per cui Y (s) = s(s
2 +3s+2) .
s
1 1
1
1 1
1
Poich´e s(s2 +3s+2) = 2 s − s+1 + 2 s+2 , che ha antitrasformata 12 − e−t + 21 e−2t H(t) = 12 (e−t −
1)2 H(t), si ha y(t) = L−1 [Y ](t) = 1 (e−t − 1)2 H(t)
− 1 (e−t − 1)2 H(t)
= 1 (e−(t−1) −
2
t→t−1
2
t→t−2
2
1)2 H(t − 1) − 12 (e−(t−2) − 1)2 H(t − 2).
1
est
est
+
Oppure, usiamo i residui. Posto g(t) := L−1 s(s2 +3s+2)
(t) = lims→0 s2 +3s+2
+ lims→−1 s(s+2)
st
e
lims→−2 s(s+1)
H(t) = 12 − e−t + 21 e−2t H(t) = 12 (e−t − 1)2 H(t), si ha y(t) = g(t − 1) − g(t − 2) =
1 −(t−1)
2 (e
− 1)2 H(t − 1) − 21 (e−(t−2) − 1)2 H(t − 2).
(8) Osserviamo che f (t) = [H(t) − H(t − 1)] − [H(t − 1) − H(t − 2)] = H(t) − 2H(t − 1) + H(t − 2),
−s 2
−s
−2s
che ha trasformata 1−2e s −e
= (1−es ) . Tenendo conto delle condizioni iniziali, e ponendo
−s
−2s
Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace dell’equazione `e (s2 + 1)Y (s) = 1−2e s −e , per cui
−s −e−2s
Y (s) = 1−2e
.
s(s2 +1)
1
1
Poich´e s(s2 +1) = s − s2s+1 , che ha antitrasformata 1 − cos t H(t), si ha y(t) = L−1 [Y ](t) =
1 − cos t H(t) − 2 1 − cos t H(t)t→t−1 + 1 − cos t H(t)t→t−2 = 1 − cos t H(t) − 2 1 − cos(t −
1) H(t − 1) + 1 − cos(t − 2) H(t − 2).
st
est
est
H(t) =
Oppure, usiamo i residui. Posto g(t) := L−1 s(s21+1) (t) = lims→0 s2e+1 +lims→i s(s+i)
+lims→−i s(s−i)
1 − 21 eit − 12 e−it H(t) = 1 − cos t H(t), si ha y(t) = g(t) − 2g(t − 1) − g(t − 2) = 1 − cos t H(t) −
2 1 − cos(t − 1) H(t − 1) + 1 − cos(t − 2) H(t − 2).
(9) Osserviamo che f (t) = [H(t) − H(t − 1)] + (2 − t)[H(t − 1) − H(t − 2)] = H(t) − (t − 1) H(t − 1)] +
−s
−2s
(t − 2) H(t − 2), che ha trasformata 1s − e −e
. Tenendo conto delle condizioni iniziali, e ponendo
s2
3
Y (s) = L[y](s), la trasformata di Laplace dell’equazione `e (s2 + 3s + 2)Y (s) =
−s
−2s
1
Y (s) = s(s2 +3s+2)
− s2e(s2−e
.
+3s+2)
1
s
−s −e−2s
s2
−e
, per cui
1
1 1
1
−t + 1 e−2t H(t) = 1 (e−t −
s+1 + 2 s+2 , che ha antitrasformata 2 − e
2
2
1
1
1
1)2 H(t), e s2 (s2 +3s+2)
− 14 s+2
, che ha antitrasformata − 34 + 12 t + e−t −
= − 43 1s + 12 s12 + s+1
1 −2t
H(t), si ha y(t) = L−1 [Y ](t) = 12 −e−t + 21 e−2t H(t)− − 34 + 12 t+e−t − 14 e−2t H(t)t→t−1 +
4e
− 43 + 21 t + e−t − 14 e−2t H(t)t→t−2 = 12 − e−t + 21 e−2t H(t) − − 43 + 21 (t − 1) + e−(t−1) −
1 −2(t−1)
H(t − 1) + − 43 + 12 (t − 2) + e−(t−2) − 14 e−2(t−2) H(t
4e
− 2).
est
est
1
−1
+
Oppure, usiamo i residui. Posto g(t) := L
(t) = lims→0 s2 +3s+2
+ lims→−1 s(s+2)
s(s2 +3s+2)
1
Poich´e
s(s2 +3s+2)
=
1 1
2 s
−
est
1
lims→−2 s(s+1)
H(t) = 12 − e−t + 21 e−2t H(t) = 12 (e−t − 1)2 H(t), e h(t) := L−1 s2 (s2 +3s+2)
(t) =
st 2
st (2s+3)
est
est
est
d
+ lims→−1 s2 (s+2)
+ lims→−2 s2 (s+1)
H(t) = lims→0 te (s +3s+2)−e
+
lims→0 ds
s2 +3s+2
(s2 +3s+2)2
e−t − 41 e−2t H(t) = − 34 + 12 t + e−t − 14 e−2t H(t), si ha y(t) = g(t) − h(t − 1) + h(t − 2) =
1 −2t
1
−t
H(t) − − 43 + 12 (t − 1) + e−(t−1) − 14 e−2(t−1) H(t − 1) + − 34 + 12 (t − 2) + e−(t−2) −
2 − e +2 e
1 −2(t−2)
H(t − 2).
4e
Svolgimento esercizio 4
(1) La trasformata di Laplace dell’equazione `e Y (s) =
3 1
2 1
3
2 −5t
H(t).
5 s + 5 s+5 , e quindi y(t) = 5 + 5 e
1
s
s+3
s(s+5)
=
1
s
+
s2 +2
s(s2 −3s+2)
=
2s2 +2
s2 (s2 +5)
=
1
s2
+ s12 Y (s), per cui Y (s) = (s+1)(s−1)
3
(s−1)2
1 t
3
1 2 t
1 −t
t
− 8 e + 8 e + 4 te + 4 t e H(t).
=
(2) La trasformata di Laplace dell’equazione `e Y (s) =
1
s
−
3
s−1
+
3
s−2 ,
e quindi y(t) = (1 −
3et
+
−
3s
s2 +2
(4) La trasformata di Laplace dell’equazione `e Y (s) =
+
1 1
8 s−1
+
3
1
4 (s−1)2
+
1
1
2 (s−1)3 ,
e quindi y(t) =
(5) La trasformata di Laplace dell’equazione `e sY (s) − 1 =
e quindi y(t) = 1 + t + 21 t2 H(t).
(6) La trasformata di Laplace dell’equazione `e sY (s) +
1 1
2 s2 +1
−
1 d
s
2 ds s2 +1 ,
e quindi y(t) =
1
2
Y (s), per cui Y (s) =
Y (s), per cui Y (s) =
3e2t ) H(t).
(3) La trasformata di Laplace dell’equazione `e Y (s) = s22 −
√ 2 1
8
8 1
2
√
5 s2 + 5 s2 +5 , e quindi y(t) = 5 t + 5 5 sin( 5 t) H(t).
1
− 18 s+1
2
s+3
(sin t + t cos t) H(t).
4
1
s
4
s2 +1
s
s+ 1
+
Y (s), per cui Y (s) =
s
s2 +1
Y (s) =
Y (s), per cui Y (s) =
s
,
s2 +1
per cui Y (s) =
s2 +s+1
,
s3
s2
(s2 +1)2
=

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